From 354d9c13c859ae43014ea4da82f5237754fbd1c2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: what-is-me <2454787428@qq.com>
Date: Fri, 3 Feb 2023 22:10:59 +0800
Subject: [PATCH 1/6] =?UTF-8?q?=E5=B0=86avl=5Ftree=E7=BF=BB=E8=AF=91?=
 =?UTF-8?q?=E6=88=90c++=E4=BB=A3=E7=A0=81=EF=BC=88=E6=96=87=E6=A1=A3?=
 =?UTF-8?q?=E6=98=8E=E5=A4=A9=E8=A1=A5=EF=BC=89?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 codes/cpp/chapter_tree/avl_tree.cpp | 220 ++++++++++++++++++++++++++++
 1 file changed, 220 insertions(+)
 create mode 100644 codes/cpp/chapter_tree/avl_tree.cpp

diff --git a/codes/cpp/chapter_tree/avl_tree.cpp b/codes/cpp/chapter_tree/avl_tree.cpp
new file mode 100644
index 0000000000..43c35769ab
--- /dev/null
+++ b/codes/cpp/chapter_tree/avl_tree.cpp
@@ -0,0 +1,220 @@
+/**
+ * File: avl_tree.cpp
+ * Created Time: 2023-2-3
+ * Author: what-is-me (whatisme@outlook.jp)
+ */
+
+#include "../include/include.hpp"
+/* AVL 树 */
+class AVLTree {
+public:
+    TreeNode* root;  // 根节点
+private:
+    /* 更新结点高度 */
+    void updateHeight(TreeNode* node) {
+        // 结点高度等于最高子树高度 + 1
+        node->height = max(height(node->left), height(node->right)) + 1;
+    }
+    /* 右旋操作 */
+    TreeNode* rightRotate(TreeNode* node) {
+        TreeNode* child = node->left;
+        TreeNode* grandChild = child->right;
+        // 以 child 为原点，将 node 向右旋转
+        child->right = node;
+        node->left = grandChild;
+        // 更新结点高度
+        updateHeight(node);
+        updateHeight(child);
+        // 返回旋转后子树的根节点
+        return child;
+    }
+
+    /* 左旋操作 */
+    TreeNode* leftRotate(TreeNode* node) {
+        TreeNode* child = node->right;
+        TreeNode* grandChild = child->left;
+        // 以 child 为原点，将 node 向左旋转
+        child->left = node;
+        node->right = grandChild;
+        // 更新结点高度
+        updateHeight(node);
+        updateHeight(child);
+        // 返回旋转后子树的根节点
+        return child;
+    }
+    /* 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+    TreeNode* rotate(TreeNode* node) {
+        // 获取结点 node 的平衡因子
+        int _balanceFactor = balanceFactor(node);
+        // 左偏树
+        if (_balanceFactor > 1) {
+            if (balanceFactor(node->left) >= 0) {
+                // 右旋
+                return rightRotate(node);
+            } else {
+                // 先左旋后右旋
+                node->left = leftRotate(node->left);
+                return rightRotate(node);
+            }
+        }
+        // 右偏树
+        if (_balanceFactor < -1) {
+            if (balanceFactor(node->right) <= 0) {
+                // 左旋
+                return leftRotate(node);
+            } else {
+                // 先右旋后左旋
+                node->right = rightRotate(node->right);
+                return leftRotate(node);
+            }
+        }
+        // 平衡树，无需旋转，直接返回
+        return node;
+    }
+    /* 递归插入结点（辅助函数） */
+    TreeNode* insertHelper(TreeNode* node, int val) {
+        if (node == nullptr) return new TreeNode(val);
+        /* 1. 查找插入位置，并插入结点 */
+        if (val < node->val)
+            node->left = insertHelper(node->left, val);
+        else if (val > node->val)
+            node->right = insertHelper(node->right, val);
+        else
+            return node;     // 重复结点不插入，直接返回
+        updateHeight(node);  // 更新结点高度
+        /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+        node = rotate(node);
+        // 返回子树的根节点
+        return node;
+    }
+    /* 获取中序遍历中的下一个结点（仅适用于 root 有左子结点的情况） */
+    TreeNode* getInOrderNext(TreeNode* node) {
+        if (node == nullptr) return node;
+        // 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
+        while (node->left != nullptr) {
+            node = node->left;
+        }
+        return node;
+    }
+    /* 递归删除结点（辅助函数） */
+    TreeNode* removeHelper(TreeNode* node, int val) {
+        if (node == nullptr) return nullptr;
+        /* 1. 查找结点，并删除之 */
+        if (val < node->val)
+            node->left = removeHelper(node->left, val);
+        else if (val > node->val)
+            node->right = removeHelper(node->right, val);
+        else {
+            if (node->left == nullptr || node->right == nullptr) {
+                TreeNode* child = node->left != nullptr ? node->left : node->right;
+                // 子结点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回
+                if (child == nullptr) {
+                    delete node;
+                    return nullptr;
+                }
+                // 子结点数量 = 1 ，直接删除 node
+                else {
+                    delete node;
+                    node = child;
+                }
+            } else {
+                // 子结点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个结点删除，并用该结点替换当前结点
+                TreeNode* temp = getInOrderNext(node->right);
+                node->right = removeHelper(node->right, temp->val);
+                node->val = temp->val;
+            }
+        }
+        updateHeight(node);  // 更新结点高度
+        /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+        node = rotate(node);
+        // 返回子树的根节点
+        return node;
+    }
+
+public:
+    /* 获取结点高度 */
+    int height(TreeNode* node) {
+        // 空结点高度为 -1 ，叶结点高度为 0
+        return node == nullptr ? -1 : node->height;
+    }
+    /* 获取平衡因子 */
+    int balanceFactor(TreeNode* node) {
+        // 空结点平衡因子为 0
+        if (node == nullptr) return 0;
+        // 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
+        return height(node->left) - height(node->right);
+    }
+    /* 插入结点 */
+    TreeNode* insert(int val) {
+        root = insertHelper(root, val);
+        return root;
+    }
+    /* 删除结点 */
+    TreeNode* remove(int val) {
+        root = removeHelper(root, val);
+        return root;
+    }
+    /* 查找结点 */
+    TreeNode* search(int val) {
+        TreeNode* cur = root;
+        // 循环查找，越过叶结点后跳出
+        while (cur != nullptr) {
+            // 目标结点在 cur 的右子树中
+            if (cur->val < val)
+                cur = cur->right;
+            // 目标结点在 cur 的左子树中
+            else if (cur->val > val)
+                cur = cur->left;
+            // 找到目标结点，跳出循环
+            else
+                break;
+        }
+        // 返回目标结点
+        return cur;
+    }
+    /*构造函数*/
+    AVLTree() : root(nullptr) {}
+    /*析构函数*/
+    ~AVLTree() {
+        freeMemoryTree(root);
+    }
+};
+void testInsert(AVLTree& tree, int val) {
+    tree.insert(val);
+    cout << "\n插入结点 " << val << " 后，AVL 树为" << endl;
+    PrintUtil::printTree(tree.root);
+}
+
+void testRemove(AVLTree& tree, int val) {
+    tree.remove(val);
+    cout << "\n删除结点 " << val << " 后，AVL 树为" << endl;
+    PrintUtil::printTree(tree.root);
+}
+int main() {
+    AVLTree avlTree;
+    /* 插入结点 */
+    // 请关注插入结点后，AVL 树是如何保持平衡的
+    testInsert(avlTree, 1);
+    testInsert(avlTree, 2);
+    testInsert(avlTree, 3);
+    testInsert(avlTree, 4);
+    testInsert(avlTree, 5);
+    testInsert(avlTree, 8);
+    testInsert(avlTree, 7);
+    testInsert(avlTree, 9);
+    testInsert(avlTree, 10);
+    testInsert(avlTree, 6);
+
+    /* 插入重复结点 */
+    testInsert(avlTree, 7);
+
+    /* 删除结点 */
+    // 请关注删除结点后，AVL 树是如何保持平衡的
+    testRemove(avlTree, 8);  // 删除度为 0 的结点
+    testRemove(avlTree, 5);  // 删除度为 1 的结点
+    testRemove(avlTree, 4);  // 删除度为 2 的结点
+
+    /* 查询结点 */
+    TreeNode* node = avlTree.search(7);
+    cout << "\n查找到的结点对象为 " << node << "，结点值 = " << node->val << endl;
+}
\ No newline at end of file

From 8741061143877464602e356700d4f2c3624951cc Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: what-is-me <2454787428@qq.com>
Date: Sat, 4 Feb 2023 11:31:36 +0800
Subject: [PATCH 2/6] =?UTF-8?q?markdown=E7=BF=BB=E8=AF=91=E4=BA=86?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 docs/chapter_tree/avl_tree.md | 248 ++++++++++++++++++++++++++--------
 1 file changed, 192 insertions(+), 56 deletions(-)

diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.md b/docs/chapter_tree/avl_tree.md
index 20b6329592..f9b3f8312a 100644
--- a/docs/chapter_tree/avl_tree.md
+++ b/docs/chapter_tree/avl_tree.md
@@ -2,7 +2,7 @@
 comments: true
 ---
 
-# 7.4. AVL 树 *
+# 7.4. AVL 树 \*
 
 在「二叉搜索树」章节中提到，在进行多次插入与删除操作后，二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 $O(\log n)$ 劣化至 $O(n)$ 。
 
@@ -42,7 +42,15 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 === "C++"
 
     ```cpp title="avl_tree.cpp"
-    
+    /* AVL 树结点类 */
+    struct TreeNode {
+        int val{};              // 结点值
+        int height = 0;         // 结点高度
+        TreeNode *left{};       // 左子结点
+        TreeNode *right{};      // 右子结点
+        TreeNode() = default;
+        explicit TreeNode(int x) : val(x){}
+    };
     ```
 
 === "Python"
@@ -72,19 +80,19 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 === "JavaScript"
 
     ```js title="avl_tree.js"
-    
+
     ```
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title="avl_tree.ts"
-    
+
     ```
 
 === "C"
 
     ```c title="avl_tree.c"
-    
+
     ```
 
 === "C#"
@@ -128,23 +136,33 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 === "Java"
 
     ```java title="avl_tree.java"
-    /* 获取结点高度 */ 
+    /* 获取结点高度 */
     int height(TreeNode node) {
         // 空结点高度为 -1 ，叶结点高度为 0
         return node == null ? -1 : node.height;
     }
-    
+
     /* 更新结点高度 */
     void updateHeight(TreeNode node) {
         // 结点高度等于最高子树高度 + 1
-        node.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;  
+        node.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;
     }
     ```
 
 === "C++"
 
     ```cpp title="avl_tree.cpp"
-    
+    /* 获取结点高度 */
+    int height(TreeNode* node) {
+        // 空结点高度为 -1 ，叶结点高度为 0
+        return node == nullptr ? -1 : node->height;
+    }
+
+    /* 更新结点高度 */
+    void updateHeight(TreeNode* node) {
+        // 结点高度等于最高子树高度 + 1
+        node->height = max(height(node->left), height(node->right)) + 1;
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -156,7 +174,7 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
         if node is not None:
             return node.height
         return -1
-    
+
     """ 更新结点高度 """
     def __update_height(self, node: Optional[TreeNode]):
         # 结点高度等于最高子树高度 + 1
@@ -191,19 +209,19 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 === "JavaScript"
 
     ```js title="avl_tree.js"
-    
+
     ```
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title="avl_tree.ts"
-    
+
     ```
 
 === "C"
 
     ```c title="avl_tree.c"
-    
+
     ```
 
 === "C#"
@@ -215,7 +233,7 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
         // 空结点高度为 -1 ，叶结点高度为 0
         return node == null ? -1 : node.height;
     }
-    
+
     /* 更新结点高度 */
     private void updateHeight(TreeNode node)
     {
@@ -253,7 +271,7 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 === "Java"
 
     ```java title="avl_tree.java"
-    /* 获取结点平衡因子 */ 
+    /* 获取结点平衡因子 */
     public int balanceFactor(TreeNode node) {
         // 空结点平衡因子为 0
         if (node == null) return 0;
@@ -265,7 +283,13 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 === "C++"
 
     ```cpp title="avl_tree.cpp"
-    
+    /* 获取平衡因子 */
+    int balanceFactor(TreeNode* node) {
+        // 空结点平衡因子为 0
+        if (node == nullptr) return 0;
+        // 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
+        return height(node->left) - height(node->right);
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -297,19 +321,19 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 === "JavaScript"
 
     ```js title="avl_tree.js"
-    
+
     ```
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title="avl_tree.ts"
-    
+
     ```
 
 === "C"
 
     ```c title="avl_tree.c"
-    
+
     ```
 
 === "C#"
@@ -358,13 +382,13 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 如下图所示（结点下方为「平衡因子」），从底至顶看，二叉树中首个失衡结点是 **结点 3**。我们聚焦在以该失衡结点为根结点的子树上，将该结点记为 `node` ，将其左子节点记为 `child` ，执行「右旋」操作。完成右旋后，该子树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。
 
 === "Step 1"
-    ![right_rotate_step1](avl_tree.assets/right_rotate_step1.png)
+![right_rotate_step1](avl_tree.assets/right_rotate_step1.png)
 === "Step 2"
-    ![right_rotate_step2](avl_tree.assets/right_rotate_step2.png)
+![right_rotate_step2](avl_tree.assets/right_rotate_step2.png)
 === "Step 3"
-    ![right_rotate_step3](avl_tree.assets/right_rotate_step3.png)
+![right_rotate_step3](avl_tree.assets/right_rotate_step3.png)
 === "Step 4"
-    ![right_rotate_step4](avl_tree.assets/right_rotate_step4.png)
+![right_rotate_step4](avl_tree.assets/right_rotate_step4.png)
 
 进而，如果结点 `child` 本身有右子结点（记为 `grandChild`），则需要在「右旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子结点。
 
@@ -375,7 +399,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "Java"
 
     ```java title="avl_tree.java"
-    /* 右旋操作 */ 
+    /* 右旋操作 */
     TreeNode rightRotate(TreeNode node) {
         TreeNode child = node.left;
         TreeNode grandChild = child.right;
@@ -393,7 +417,19 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "C++"
 
     ```cpp title="avl_tree.cpp"
-    
+    /* 右旋操作 */
+    TreeNode* rightRotate(TreeNode* node) {
+        TreeNode* child = node->left;
+        TreeNode* grandChild = child->right;
+        // 以 child 为原点，将 node 向右旋转
+        child->right = node;
+        node->left = grandChild;
+        // 更新结点高度
+        updateHeight(node);
+        updateHeight(child);
+        // 返回旋转后子树的根节点
+        return child;
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -434,19 +470,19 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "JavaScript"
 
     ```js title="avl_tree.js"
-    
+
     ```
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title="avl_tree.ts"
-    
+
     ```
 
 === "C"
 
     ```c title="avl_tree.c"
-    
+
     ```
 
 === "C#"
@@ -466,7 +502,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         // 返回旋转后子树的根节点
         return child;
     }
-    
+
     ```
 
 === "Swift"
@@ -508,7 +544,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "Java"
 
     ```java title="avl_tree.java"
-    /* 左旋操作 */ 
+    /* 左旋操作 */
     private TreeNode leftRotate(TreeNode node) {
         TreeNode child = node.right;
         TreeNode grandChild = child.left;
@@ -526,7 +562,19 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "C++"
 
     ```cpp title="avl_tree.cpp"
-    
+    /* 左旋操作 */
+    TreeNode* leftRotate(TreeNode* node) {
+        TreeNode* child = node->right;
+        TreeNode* grandChild = child->left;
+        // 以 child 为原点，将 node 向左旋转
+        child->left = node;
+        node->right = grandChild;
+        // 更新结点高度
+        updateHeight(node);
+        updateHeight(child);
+        // 返回旋转后子树的根节点
+        return child;
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -567,19 +615,19 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "JavaScript"
 
     ```js title="avl_tree.js"
-    
+
     ```
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title="avl_tree.ts"
-    
+
     ```
 
 === "C"
 
     ```c title="avl_tree.c"
-    
+
     ```
 
 === "C#"
@@ -695,7 +743,35 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "C++"
 
     ```cpp title="avl_tree.cpp"
-    
+    /* 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+    TreeNode* rotate(TreeNode* node) {
+        // 获取结点 node 的平衡因子
+        int _balanceFactor = balanceFactor(node);
+        // 左偏树
+        if (_balanceFactor > 1) {
+            if (balanceFactor(node->left) >= 0) {
+                // 右旋
+                return rightRotate(node);
+            } else {
+                // 先左旋后右旋
+                node->left = leftRotate(node->left);
+                return rightRotate(node);
+            }
+        }
+        // 右偏树
+        if (_balanceFactor < -1) {
+            if (balanceFactor(node->right) <= 0) {
+                // 左旋
+                return leftRotate(node);
+            } else {
+                // 先右旋后左旋
+                node->right = rightRotate(node->right);
+                return leftRotate(node);
+            }
+        }
+        // 平衡树，无需旋转，直接返回
+        return node;
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -765,19 +841,19 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "JavaScript"
 
     ```js title="avl_tree.js"
-    
+
     ```
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title="avl_tree.ts"
-    
+
     ```
 
 === "C"
 
     ```c title="avl_tree.c"
-    
+
     ```
 
 === "C#"
@@ -877,7 +953,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         root = insertHelper(root, val);
         return root;
     }
-    
+
     /* 递归插入结点（辅助函数） */
     TreeNode insertHelper(TreeNode node, int val) {
         if (node == null) return new TreeNode(val);
@@ -899,7 +975,28 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "C++"
 
     ```cpp title="avl_tree.cpp"
-    
+    /* 插入结点 */
+    TreeNode* insert(int val) {
+        root = insertHelper(root, val);
+        return root;
+    }
+
+    /* 递归插入结点（辅助函数） */
+    TreeNode* insertHelper(TreeNode* node, int val) {
+        if (node == nullptr) return new TreeNode(val);
+        /* 1. 查找插入位置，并插入结点 */
+        if (val < node->val)
+            node->left = insertHelper(node->left, val);
+        else if (val > node->val)
+            node->right = insertHelper(node->right, val);
+        else
+            return node;     // 重复结点不插入，直接返回
+        updateHeight(node);  // 更新结点高度
+        /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+        node = rotate(node);
+        // 返回子树的根节点
+        return node;
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -909,7 +1006,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
     def insert(self, val) -> TreeNode:
         self.root = self.__insert_helper(self.root, val)
         return self.root
-    
+
     """ 递归插入结点（辅助函数）"""
     def __insert_helper(self, node: Optional[TreeNode], val: int) -> TreeNode:
         if node is None:
@@ -962,19 +1059,19 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "JavaScript"
 
     ```js title="avl_tree.js"
-    
+
     ```
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title="avl_tree.ts"
-    
+
     ```
 
 === "C"
 
     ```c title="avl_tree.c"
-    
+
     ```
 
 === "C#"
@@ -986,7 +1083,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         root = insertHelper(root, val);
         return root;
     }
-    
+
     /* 递归插入结点（辅助函数） */
     private TreeNode? insertHelper(TreeNode? node, int val)
     {
@@ -1056,7 +1153,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         root = removeHelper(root, val);
         return root;
     }
-    
+
     /* 递归删除结点（辅助函数） */
     TreeNode removeHelper(TreeNode node, int val) {
         if (node == null) return null;
@@ -1092,7 +1189,46 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "C++"
 
     ```cpp title="avl_tree.cpp"
-    
+    /* 删除结点 */
+    TreeNode* remove(int val) {
+        root = removeHelper(root, val);
+        return root;
+    }
+
+    /* 递归删除结点（辅助函数） */
+    TreeNode* removeHelper(TreeNode* node, int val) {
+        if (node == nullptr) return nullptr;
+        /* 1. 查找结点，并删除之 */
+        if (val < node->val)
+            node->left = removeHelper(node->left, val);
+        else if (val > node->val)
+            node->right = removeHelper(node->right, val);
+        else {
+            if (node->left == nullptr || node->right == nullptr) {
+                TreeNode* child = node->left != nullptr ? node->left : node->right;
+                // 子结点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回
+                if (child == nullptr) {
+                    delete node;
+                    return nullptr;
+                }
+                // 子结点数量 = 1 ，直接删除 node
+                else {
+                    delete node;
+                    node = child;
+                }
+            } else {
+                // 子结点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个结点删除，并用该结点替换当前结点
+                TreeNode* temp = getInOrderNext(node->right);
+                node->right = removeHelper(node->right, temp->val);
+                node->val = temp->val;
+            }
+        }
+        updateHeight(node);  // 更新结点高度
+        /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+        node = rotate(node);
+        // 返回子树的根节点
+        return node;
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -1102,7 +1238,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
     def remove(self, val: int):
         root = self.__remove_helper(self.root, val)
         return root
-    
+
     """ 递归删除结点（辅助函数） """
     def __remove_helper(self, node: Optional[TreeNode], val: int) -> Optional[TreeNode]:
         if node is None:
@@ -1139,7 +1275,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         root := removeHelper(t.root, val)
         return root
     }
-    
+
     /* 递归删除结点（辅助函数） */
     func removeHelper(node *TreeNode, val int) *TreeNode {
         if node == nil {
@@ -1182,19 +1318,19 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 === "JavaScript"
 
     ```js title="avl_tree.js"
-    
+
     ```
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title="avl_tree.ts"
-    
+
     ```
 
 === "C"
 
     ```c title="avl_tree.c"
-    
+
     ```
 
 === "C#"
@@ -1206,7 +1342,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         root = removeHelper(root, val);
         return root;
     }
-    
+
     /* 递归删除结点（辅助函数） */
     private TreeNode? removeHelper(TreeNode? node, int val)
     {
@@ -1303,8 +1439,8 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 
 ## 7.4.4. AVL 树典型应用
 
-- 组织存储大型数据，适用于高频查找、低频增删场景；
-- 用于建立数据库中的索引系统；
+-   组织存储大型数据，适用于高频查找、低频增删场景；
+-   用于建立数据库中的索引系统；
 
 !!! question "为什么红黑树比 AVL 树更受欢迎？"
-    红黑树的平衡条件相对宽松，因此在红黑树中插入与删除结点所需的旋转操作相对更少，结点增删操作相比 AVL 树的效率更高。
+红黑树的平衡条件相对宽松，因此在红黑树中插入与删除结点所需的旋转操作相对更少，结点增删操作相比 AVL 树的效率更高。

From 59133b703aa2fe2a0345f22d9f0b80fb6cf727d3 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: what-is-me <2454787428@qq.com>
Date: Sat, 4 Feb 2023 11:34:21 +0800
Subject: [PATCH 3/6] =?UTF-8?q?avl=5Ftree.cpp=E7=BF=BB=E8=AF=91=E4=BA=86?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 docs/chapter_tree/avl_tree.md | 171 ++++++++++++++++++++++++----------
 1 file changed, 121 insertions(+), 50 deletions(-)

diff --git a/docs/chapter_tree/avl_tree.md b/docs/chapter_tree/avl_tree.md
index f9b3f8312a..b258b8af17 100644
--- a/docs/chapter_tree/avl_tree.md
+++ b/docs/chapter_tree/avl_tree.md
@@ -2,7 +2,7 @@
 comments: true
 ---
 
-# 7.4. AVL 树 \*
+# 7.4. AVL 树 *
 
 在「二叉搜索树」章节中提到，在进行多次插入与删除操作后，二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 $O(\log n)$ 劣化至 $O(n)$ 。
 
@@ -31,13 +31,14 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
     ```java title="avl_tree.java"
     /* AVL 树结点类 */
     class TreeNode {
-        public int val;         // 结点值
-        public int height;      // 结点高度
-        public TreeNode left;   // 左子结点
-        public TreeNode right;  // 右子结点
+        public int val; // 结点值
+        public int height; // 结点高度
+        public TreeNode left; // 左子结点
+        public TreeNode right; // 右子结点
         public TreeNode(int x) { val = x; }
     }
-    ```
+
+````
 
 === "C++"
 
@@ -63,7 +64,10 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
             self.height = 0     # 结点高度
             self.left = left    # 左子结点引用
             self.right = right  # 右子结点引用
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "Go"
 
@@ -81,7 +85,7 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 
     ```js title="avl_tree.js"
 
-    ```
+````
 
 === "TypeScript"
 
@@ -93,7 +97,9 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 
     ```c title="avl_tree.c"
 
-    ```
+
+
+````
 
 === "C#"
 
@@ -123,7 +129,8 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
             height = 0
         }
     }
-    ```
+
+````
 
 === "Zig"
 
@@ -147,7 +154,10 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
         // 结点高度等于最高子树高度 + 1
         node.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;
     }
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "C++"
 
@@ -179,7 +189,8 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
     def __update_height(self, node: Optional[TreeNode]):
         # 结点高度等于最高子树高度 + 1
         node.height = max([self.height(node.left), self.height(node.right)]) + 1
-    ```
+
+````
 
 === "Go"
 
@@ -210,7 +221,9 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 
     ```js title="avl_tree.js"
 
-    ```
+
+
+````
 
 === "TypeScript"
 
@@ -222,7 +235,7 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 
     ```c title="avl_tree.c"
 
-    ```
+````
 
 === "C#"
 
@@ -256,7 +269,10 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
         // 结点高度等于最高子树高度 + 1
         node?.height = max(height(node: node?.left), height(node: node?.right)) + 1
     }
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "Zig"
 
@@ -278,7 +294,8 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
         // 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
         return height(node.left) - height(node.right);
     }
-    ```
+
+````
 
 === "C++"
 
@@ -302,7 +319,10 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
             return 0
         # 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
         return self.height(node.left) - self.height(node.right)
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "Go"
 
@@ -322,7 +342,7 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 
     ```js title="avl_tree.js"
 
-    ```
+````
 
 === "TypeScript"
 
@@ -334,7 +354,9 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
 
     ```c title="avl_tree.c"
 
-    ```
+
+
+````
 
 === "C#"
 
@@ -359,7 +381,8 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
         // 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
         return height(node: node.left) - height(node: node.right)
     }
-    ```
+
+````
 
 === "Zig"
 
@@ -382,15 +405,22 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 如下图所示（结点下方为「平衡因子」），从底至顶看，二叉树中首个失衡结点是 **结点 3**。我们聚焦在以该失衡结点为根结点的子树上，将该结点记为 `node` ，将其左子节点记为 `child` ，执行「右旋」操作。完成右旋后，该子树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。
 
 === "Step 1"
+
 ![right_rotate_step1](avl_tree.assets/right_rotate_step1.png)
+
 === "Step 2"
+
 ![right_rotate_step2](avl_tree.assets/right_rotate_step2.png)
+
 === "Step 3"
+
 ![right_rotate_step3](avl_tree.assets/right_rotate_step3.png)
+
 === "Step 4"
+
 ![right_rotate_step4](avl_tree.assets/right_rotate_step4.png)
 
-进而，如果结点 `child` 本身有右子结点（记为 `grandChild`），则需要在「右旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子结点。
+进而，如果结点 `child` 本身有右子结点（记为 `grandChild` ），则需要在「右旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子结点。
 
 ![right_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/right_rotate_with_grandchild.png)
 
@@ -412,7 +442,10 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         // 返回旋转后子树的根节点
         return child;
     }
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "C++"
 
@@ -447,7 +480,8 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         self.__update_height(child)
         # 返回旋转后子树的根节点
         return child
-    ```
+
+````
 
 === "Go"
 
@@ -471,7 +505,9 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 
     ```js title="avl_tree.js"
 
-    ```
+
+
+````
 
 === "TypeScript"
 
@@ -483,7 +519,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 
     ```c title="avl_tree.c"
 
-    ```
+````
 
 === "C#"
 
@@ -521,7 +557,10 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         // 返回旋转后子树的根节点
         return child
     }
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "Zig"
 
@@ -535,7 +574,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 
 ![left_rotate](avl_tree.assets/left_rotate.png)
 
-同理，若结点 `child` 本身有左子结点（记为 `grandChild`），则需要在「左旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的右子结点。
+同理，若结点 `child` 本身有左子结点（记为 `grandChild` ），则需要在「左旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的右子结点。
 
 ![left_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/left_rotate_with_grandchild.png)
 
@@ -557,7 +596,8 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         // 返回旋转后子树的根节点
         return child;
     }
-    ```
+
+````
 
 === "C++"
 
@@ -592,7 +632,10 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         self.__update_height(child)
         # 返回旋转后子树的根节点
         return child
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "Go"
 
@@ -616,7 +659,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 
     ```js title="avl_tree.js"
 
-    ```
+````
 
 === "TypeScript"
 
@@ -628,7 +671,9 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 
     ```c title="avl_tree.c"
 
-    ```
+
+
+````
 
 === "C#"
 
@@ -665,7 +710,8 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         // 返回旋转后子树的根节点
         return child
     }
-    ```
+
+````
 
 === "Zig"
 
@@ -738,7 +784,10 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         // 平衡树，无需旋转，直接返回
         return node;
     }
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "C++"
 
@@ -801,7 +850,8 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
                 return self.__left_rotate(node)
         # 平衡树，无需旋转，直接返回
         return node
-    ```
+
+````
 
 === "Go"
 
@@ -842,7 +892,9 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 
     ```js title="avl_tree.js"
 
-    ```
+
+
+````
 
 === "TypeScript"
 
@@ -854,7 +906,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 
     ```c title="avl_tree.c"
 
-    ```
+````
 
 === "C#"
 
@@ -931,7 +983,10 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         // 平衡树，无需旋转，直接返回
         return node
     }
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "Zig"
 
@@ -963,14 +1018,15 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         else if (val > node.val)
             node.right = insertHelper(node.right, val);
         else
-            return node;     // 重复结点不插入，直接返回
-        updateHeight(node);  // 更新结点高度
+            return node; // 重复结点不插入，直接返回
+        updateHeight(node); // 更新结点高度
         /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
         node = rotate(node);
         // 返回子树的根节点
         return node;
     }
-    ```
+
+````
 
 === "C++"
 
@@ -1023,7 +1079,10 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         self.__update_height(node)
         # 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡
         return self.__rotate(node)
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "Go"
 
@@ -1060,7 +1119,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 
     ```js title="avl_tree.js"
 
-    ```
+````
 
 === "TypeScript"
 
@@ -1072,7 +1131,9 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 
     ```c title="avl_tree.c"
 
-    ```
+
+
+````
 
 === "C#"
 
@@ -1133,7 +1194,8 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         // 返回子树的根节点
         return node
     }
-    ```
+
+````
 
 === "Zig"
 
@@ -1178,13 +1240,16 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
                 node.val = temp.val;
             }
         }
-        updateHeight(node);  // 更新结点高度
+        updateHeight(node); // 更新结点高度
         /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
         node = rotate(node);
         // 返回子树的根节点
         return node;
     }
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "C++"
 
@@ -1265,7 +1330,8 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         self.__update_height(node)
         # 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡
         return self.__rotate(node)
-    ```
+
+````
 
 === "Go"
 
@@ -1319,7 +1385,9 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 
     ```js title="avl_tree.js"
 
-    ```
+
+
+````
 
 === "TypeScript"
 
@@ -1331,7 +1399,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
 
     ```c title="avl_tree.c"
 
-    ```
+````
 
 === "C#"
 
@@ -1425,7 +1493,10 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影
         // 返回子树的根节点
         return node
     }
-    ```
+
+
+
+````
 
 === "Zig"
 

From 0739d0cddfff073d87901ca49db52e154d086913 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: what-is-me <2454787428@qq.com>
Date: Sat, 4 Feb 2023 13:21:17 +0800
Subject: [PATCH 4/6] =?UTF-8?q?=E5=A0=86=E7=9A=84cpp=E7=BF=BB=E8=AF=91?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 codes/cpp/chapter_heap/heap.cpp    |  71 ++++++++++++
 codes/cpp/chapter_heap/my_heap.cpp | 168 +++++++++++++++++++++++++++++
 docs/chapter_heap/heap.md          | 127 +++++++++++++++++++++-
 3 files changed, 364 insertions(+), 2 deletions(-)
 create mode 100644 codes/cpp/chapter_heap/heap.cpp
 create mode 100644 codes/cpp/chapter_heap/my_heap.cpp

diff --git a/codes/cpp/chapter_heap/heap.cpp b/codes/cpp/chapter_heap/heap.cpp
new file mode 100644
index 0000000000..5413e15a97
--- /dev/null
+++ b/codes/cpp/chapter_heap/heap.cpp
@@ -0,0 +1,71 @@
+#include "../include/include.hpp"
+template <typename Tp, typename _Compare = less<Tp>>
+class Heap : public priority_queue<Tp, vector<Tp>, _Compare>
+/**
+ * 1. c++的priority_queue，即堆，默认的是大根堆
+ * 2. priority_queue没有提供迭代器,但是注意到存数据的容器是protected的,可以在继承之后使用
+ */
+{
+public:
+    Heap() = default;
+    template <typename _InputIterator>
+    Heap(_InputIterator __first, _InputIterator __last) : priority_queue<Tp, vector<Tp>, _Compare>(__first, __last) {}
+    void testPush(Tp val) {
+        this->push(val);  // 元素入堆
+        cout << "\n元素 " << val << " 入堆后" << endl;
+        print();
+    }
+    void testPoll() {
+        int val = this->top();  // 堆顶元素
+        this->pop();            // 堆顶元素出堆
+        cout << "\n元素 " << val << " 出堆后" << endl;
+        print();
+    }
+    void print() {
+        cout << "堆的数组表示：" << endl;
+        PrintUtil::printVector(this->c);
+        cout << "堆的树状表示：" << endl;
+        TreeNode* tree = vecToTree(this->c);
+        PrintUtil::printTree(tree);
+        freeMemoryTree(tree);
+    }
+};
+int main() {
+    // 初始化小顶堆
+    Heap<int, greater<int>> minHeap;
+    // 初始化大顶堆
+    Heap<int> maxHeap;
+
+    cout << "\n以下测试样例为大顶堆" << endl;
+
+    /* 元素入堆 */
+    maxHeap.testPush(1);
+    maxHeap.testPush(3);
+    maxHeap.testPush(2);
+    maxHeap.testPush(5);
+    maxHeap.testPush(4);
+
+    /* 获取堆顶元素 */
+    int peek = maxHeap.top();
+    cout << "\n堆顶元素为 " << peek << endl;
+
+    /* 堆顶元素出堆 */
+    maxHeap.testPoll();
+    maxHeap.testPoll();
+    maxHeap.testPoll();
+    maxHeap.testPoll();
+    maxHeap.testPoll();
+
+    /* 获取堆大小 */
+    int size = maxHeap.size();
+    cout << "\n堆元素数量为 " << size << endl;
+
+    /* 判断堆是否为空 */
+    bool isEmpty = maxHeap.empty();
+    cout << "\n堆是否为空 " << isEmpty << endl;
+    vector<int> tmp({1, 3, 2, 5, 4});
+    minHeap = Heap<int, greater<int>>(tmp.begin(), tmp.end());
+    cout << endl
+         << "输入列表并建立小顶堆后" << endl;
+    minHeap.print();
+}
\ No newline at end of file
diff --git a/codes/cpp/chapter_heap/my_heap.cpp b/codes/cpp/chapter_heap/my_heap.cpp
new file mode 100644
index 0000000000..b225123c3e
--- /dev/null
+++ b/codes/cpp/chapter_heap/my_heap.cpp
@@ -0,0 +1,168 @@
+#include "../include/include.hpp"
+/* 最大堆类 */
+class MaxHeap {
+private:
+    // 使用vector而非数组，这样无需考虑扩容问题
+    vector<int> maxHeap;
+
+    /* 获取左子结点索引 */
+    int left(int i) {
+        return 2 * i + 1;
+    }
+
+    /* 获取右子结点索引 */
+    int right(int i) {
+        return 2 * i + 2;
+    }
+
+    /* 获取父结点索引 */
+    int parent(int i) {
+        return (i - 1) / 2;  // 向下整除
+    }
+
+    /* 交换元素 */
+    void swap(int i, int j) {
+        int a = maxHeap[i],
+            b = maxHeap[j],
+            tmp = a;
+        maxHeap[i] = b;
+        maxHeap[j] = tmp;
+    }
+
+    /* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
+    void siftUp(int i) {
+        while (true) {
+            // 获取结点 i 的父结点
+            int p = parent(i);
+            // 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
+            if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[i])
+                break;
+            // 交换两结点
+            swap(i, p);
+            // 循环向上堆化
+            i = p;
+        }
+    }
+
+    /* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
+    void siftDown(int i) {
+        while (true) {
+            // 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
+            int l = left(i), r = right(i), ma = i;
+            if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
+                ma = l;
+            if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
+                ma = r;
+            // 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
+            if (ma == i) break;
+            // 交换两结点
+            swap(i, ma);
+            // 循环向下堆化
+            i = ma;
+        }
+    }
+
+public:
+    /* 构造函数，建立空堆 */
+    MaxHeap() = default;
+
+    /* 构造函数，根据输入列表建堆 */
+    MaxHeap(vector<int> nums) {
+        // 将列表元素原封不动添加进堆
+        maxHeap = nums;
+        // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
+        for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
+            siftDown(i);
+        }
+    }
+
+    /* 获取堆大小 */
+    int size() {
+        return maxHeap.size();
+    }
+
+    /* 判断堆是否为空 */
+    bool isEmpty() {
+        return size() == 0;
+    }
+
+    /* 访问堆顶元素 */
+    int peek() {
+        return maxHeap.front();
+    }
+
+    /* 元素入堆 */
+    void push(int val) {
+        // 添加结点
+        maxHeap.push_back(val);
+        // 从底至顶堆化
+        siftUp(size() - 1);
+    }
+
+    /* 元素出堆 */
+    int poll() {
+        // 判空处理
+        if (isEmpty())
+            throw out_of_range("堆已空\n");
+        // 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
+        swap(0, size() - 1);
+        // 删除结点
+        int val = maxHeap.back();
+        maxHeap.pop_back();
+        // 从顶至底堆化
+        siftDown(0);
+        // 返回堆顶元素
+        return val;
+    }
+
+    /* 打印堆（二叉树） */
+    void print() {
+        cout << "堆的数组表示：" << endl;
+        PrintUtil::printVector(this->maxHeap);
+        cout << "堆的树状表示：" << endl;
+        TreeNode *tree = vecToTree(this->maxHeap);
+        PrintUtil::printTree(tree);
+        freeMemoryTree(tree);
+    }
+};
+void testPush(MaxHeap &maxHeap, int val) {
+    maxHeap.push(val);  // 元素入堆
+    cout << "\n添加元素 " << val << " 后" << endl;
+    maxHeap.print();
+}
+
+void testPoll(MaxHeap &maxHeap) {
+    int val = maxHeap.poll();  // 堆顶元素出堆
+    cout << "出堆元素为 " << val << endl;
+    maxHeap.print();
+}
+
+int main() {
+    /* 初始化大顶堆 */
+    MaxHeap maxHeap({9, 8, 6, 6, 7, 5, 2, 1, 4, 3, 6, 2});
+    cout << "\n输入列表并建堆后" << endl;
+    maxHeap.print();
+
+    /* 获取堆顶元素 */
+    int peek = maxHeap.peek();
+    cout << "\n堆顶元素为 " << peek << endl;
+
+    /* 元素入堆 */
+    int val = 7;
+    maxHeap.push(val);
+    cout << "\n元素 " << val << " 入堆后" << endl;
+    maxHeap.print();
+
+    /* 堆顶元素出堆 */
+    peek = maxHeap.poll();
+    cout << "\n堆顶元素 " << peek << " 出堆后" << endl;
+    maxHeap.print();
+
+    /* 获取堆大小 */
+    int size = maxHeap.size();
+    cout << "\n堆元素数量为 " << size << endl;
+
+    /* 判断堆是否为空 */
+    bool isEmpty = maxHeap.isEmpty();
+    cout << "\n堆是否为空 " << isEmpty << endl;
+}
\ No newline at end of file
diff --git a/docs/chapter_heap/heap.md b/docs/chapter_heap/heap.md
index 62d093c29f..1f0662c577 100644
--- a/docs/chapter_heap/heap.md
+++ b/docs/chapter_heap/heap.md
@@ -85,7 +85,49 @@ comments: true
 === "C++"
 
     ```cpp title="heap.cpp"
+    /* 初始化堆 */
+    // 初始化小顶堆,必须要使用greater，如果是自定义的类，要么自己实现greater类，要么重载大于号
+    priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> minHeap;
+    // 初始化大顶堆
+    priority_queue<int> maxHeap;
+    
+    /* 元素入堆 */
+    maxHeap.push(1);
+    maxHeap.push(3);
+    maxHeap.push(2);
+    maxHeap.push(5);
+    maxHeap.push(4);
+    
+    /* 获取堆顶元素 */
+    int peek = maxHeap.top(); // 5
+    
+    /* 堆顶元素出堆 */
+    // 出堆元素会形成一个从大到小的序列
+    // 注意，c++中的出队不会返回堆顶的值
+    peek = maxHeap.top();  // 5
+    heap.pop();         //出队
+    peek = maxHeap.top();  // 4
+    heap.pop();         //出队
+    peek = maxHeap.top();  // 3
+    heap.pop();         //出队
+    peek = maxHeap.top();  // 2
+    heap.pop();         //出队
+    peek = maxHeap.top();  // 1
+    heap.pop();         //出队
+
+    
+    /* 获取堆大小 */
+    int size = maxHeap.size();
+    
+    /* 判断堆是否为空 */
+    bool isEmpty = maxHeap.empty();
 
+    /* 输入列表并建堆 */
+    vector<int> tmp({1, 3, 2, 5, 4});
+    minHeap = priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>(tmp.begin(), tmp.end());
+
+    // priority_queue里的序列是protected的，所以要输出就得继承
+    // 顺带一提，装元素的容器不仅可以是vector，还可以是deque，一般都用vector
     ```
 
 === "Python"
@@ -255,7 +297,23 @@ comments: true
 === "C++"
 
     ```cpp title="my_heap.cpp"
+    // 使用vector而非数组，这样无需考虑扩容问题
+    vector<int> maxHeap;  
 
+    /* 获取左子结点索引 */
+    int left(int i) {
+        return 2 * i + 1;
+    }
+
+    /* 获取右子结点索引 */
+    int right(int i) {
+        return 2 * i + 2;
+    }
+
+    /* 获取父结点索引 */
+    int parent(int i) {
+        return (i - 1) / 2;  // 向下整除
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -368,7 +426,10 @@ comments: true
 === "C++"
 
     ```cpp title="my_heap.cpp"
-
+    /* 访问堆顶元素 */
+    int peek() {
+        return maxHeap.front();
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -481,7 +542,28 @@ comments: true
 === "C++"
 
     ```cpp title="my_heap.cpp"
+    /* 元素入堆 */
+    void push(int val) {
+        // 添加结点
+        maxHeap.push_back(val);
+        // 从底至顶堆化
+        siftUp(size() - 1);
+    }
 
+    /* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
+    void siftUp(int i) {
+        while (true) {
+            // 获取结点 i 的父结点
+            int p = parent(i);
+            // 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
+            if (p < 0 || maxHeap[i] <= maxHeap[i])
+                break;
+            // 交换两结点
+            swap(i, p);
+            // 循环向上堆化
+            i = p;
+        }
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -659,7 +741,39 @@ comments: true
 === "C++"
 
     ```cpp title="my_heap.cpp"
+    /* 元素出堆 */
+    int poll() {
+        // 判空处理
+        if (isEmpty())
+            throw out_of_range("堆已空\n");
+        // 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
+        swap(0, size() - 1);
+        // 删除结点
+        int val = maxHeap.back();
+        maxHeap.pop_back();
+        // 从顶至底堆化
+        siftDown(0);
+        // 返回堆顶元素
+        return val;
+    }
 
+    /* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
+    void siftDown(int i) {
+        while (true) {
+            // 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
+            int l = left(i), r = right(i), ma = i;
+            if (l < size() && maxHeap[l] > maxHeap[ma])
+                ma = l;
+            if (r < size() && maxHeap[r] > maxHeap[ma])
+                ma = r;
+            // 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
+            if (ma == i) break;
+            // 交换两结点
+            swap(i, ma);
+            // 循环向下堆化
+            i = ma;
+        }
+    }
     ```
 
 === "Python"
@@ -811,7 +925,16 @@ comments: true
 === "C++"
 
     ```cpp title="my_heap.cpp"
-
+    /* 构造函数，根据输入列表建堆 */
+    MaxHeap(vector<int> nums) {
+        // 将列表元素原封不动添加进堆
+        maxHeap = nums;
+        // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
+        for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
+            siftDown(i);
+        }
+    }
+    // Tip: std::make_heap() 函数可以原地建堆。
     ```
 
 === "Python"

From 38cfd3754035fca2add95275fa29230777715fd6 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: what-is-me <2454787428@qq.com>
Date: Sat, 4 Feb 2023 15:17:03 +0800
Subject: [PATCH 5/6] modify the code format

---
 codes/cpp/chapter_heap/heap.cpp     | 10 ++++++++++
 codes/cpp/chapter_heap/my_heap.cpp  |  4 +++-
 codes/cpp/chapter_tree/avl_tree.cpp | 15 +++++++++++++++
 docs/chapter_heap/heap.md           | 11 +++++------
 4 files changed, 33 insertions(+), 7 deletions(-)

diff --git a/codes/cpp/chapter_heap/heap.cpp b/codes/cpp/chapter_heap/heap.cpp
index 5413e15a97..41e4a158e3 100644
--- a/codes/cpp/chapter_heap/heap.cpp
+++ b/codes/cpp/chapter_heap/heap.cpp
@@ -1,4 +1,5 @@
 #include "../include/include.hpp"
+
 template <typename Tp, typename _Compare = less<Tp>>
 class Heap : public priority_queue<Tp, vector<Tp>, _Compare>
 /**
@@ -8,19 +9,23 @@ class Heap : public priority_queue<Tp, vector<Tp>, _Compare>
 {
 public:
     Heap() = default;
+
     template <typename _InputIterator>
     Heap(_InputIterator __first, _InputIterator __last) : priority_queue<Tp, vector<Tp>, _Compare>(__first, __last) {}
+
     void testPush(Tp val) {
         this->push(val);  // 元素入堆
         cout << "\n元素 " << val << " 入堆后" << endl;
         print();
     }
+
     void testPoll() {
         int val = this->top();  // 堆顶元素
         this->pop();            // 堆顶元素出堆
         cout << "\n元素 " << val << " 出堆后" << endl;
         print();
     }
+
     void print() {
         cout << "堆的数组表示：" << endl;
         PrintUtil::printVector(this->c);
@@ -30,7 +35,9 @@ class Heap : public priority_queue<Tp, vector<Tp>, _Compare>
         freeMemoryTree(tree);
     }
 };
+
 int main() {
+    /* 初始化堆 */
     // 初始化小顶堆
     Heap<int, greater<int>> minHeap;
     // 初始化大顶堆
@@ -63,6 +70,9 @@ int main() {
     /* 判断堆是否为空 */
     bool isEmpty = maxHeap.empty();
     cout << "\n堆是否为空 " << isEmpty << endl;
+
+    /* 输入列表并建堆 */
+    // 时间复杂度为 O(n) ，而非 O(nlogn)
     vector<int> tmp({1, 3, 2, 5, 4});
     minHeap = Heap<int, greater<int>>(tmp.begin(), tmp.end());
     cout << endl
diff --git a/codes/cpp/chapter_heap/my_heap.cpp b/codes/cpp/chapter_heap/my_heap.cpp
index b225123c3e..dd463678af 100644
--- a/codes/cpp/chapter_heap/my_heap.cpp
+++ b/codes/cpp/chapter_heap/my_heap.cpp
@@ -1,8 +1,9 @@
 #include "../include/include.hpp"
+
 /* 最大堆类 */
 class MaxHeap {
 private:
-    // 使用vector而非数组，这样无需考虑扩容问题
+    // 使用 vector 而非数组，这样无需考虑扩容问题
     vector<int> maxHeap;
 
     /* 获取左子结点索引 */
@@ -125,6 +126,7 @@ class MaxHeap {
         freeMemoryTree(tree);
     }
 };
+
 void testPush(MaxHeap &maxHeap, int val) {
     maxHeap.push(val);  // 元素入堆
     cout << "\n添加元素 " << val << " 后" << endl;
diff --git a/codes/cpp/chapter_tree/avl_tree.cpp b/codes/cpp/chapter_tree/avl_tree.cpp
index 43c35769ab..e657c242f4 100644
--- a/codes/cpp/chapter_tree/avl_tree.cpp
+++ b/codes/cpp/chapter_tree/avl_tree.cpp
@@ -5,6 +5,7 @@
  */
 
 #include "../include/include.hpp"
+
 /* AVL 树 */
 class AVLTree {
 public:
@@ -15,6 +16,7 @@ class AVLTree {
         // 结点高度等于最高子树高度 + 1
         node->height = max(height(node->left), height(node->right)) + 1;
     }
+
     /* 右旋操作 */
     TreeNode* rightRotate(TreeNode* node) {
         TreeNode* child = node->left;
@@ -42,6 +44,7 @@ class AVLTree {
         // 返回旋转后子树的根节点
         return child;
     }
+
     /* 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
     TreeNode* rotate(TreeNode* node) {
         // 获取结点 node 的平衡因子
@@ -71,6 +74,7 @@ class AVLTree {
         // 平衡树，无需旋转，直接返回
         return node;
     }
+
     /* 递归插入结点（辅助函数） */
     TreeNode* insertHelper(TreeNode* node, int val) {
         if (node == nullptr) return new TreeNode(val);
@@ -87,6 +91,7 @@ class AVLTree {
         // 返回子树的根节点
         return node;
     }
+
     /* 获取中序遍历中的下一个结点（仅适用于 root 有左子结点的情况） */
     TreeNode* getInOrderNext(TreeNode* node) {
         if (node == nullptr) return node;
@@ -96,6 +101,7 @@ class AVLTree {
         }
         return node;
     }
+
     /* 递归删除结点（辅助函数） */
     TreeNode* removeHelper(TreeNode* node, int val) {
         if (node == nullptr) return nullptr;
@@ -137,6 +143,7 @@ class AVLTree {
         // 空结点高度为 -1 ，叶结点高度为 0
         return node == nullptr ? -1 : node->height;
     }
+
     /* 获取平衡因子 */
     int balanceFactor(TreeNode* node) {
         // 空结点平衡因子为 0
@@ -144,16 +151,19 @@ class AVLTree {
         // 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
         return height(node->left) - height(node->right);
     }
+
     /* 插入结点 */
     TreeNode* insert(int val) {
         root = insertHelper(root, val);
         return root;
     }
+
     /* 删除结点 */
     TreeNode* remove(int val) {
         root = removeHelper(root, val);
         return root;
     }
+
     /* 查找结点 */
     TreeNode* search(int val) {
         TreeNode* cur = root;
@@ -172,13 +182,16 @@ class AVLTree {
         // 返回目标结点
         return cur;
     }
+
     /*构造函数*/
     AVLTree() : root(nullptr) {}
+
     /*析构函数*/
     ~AVLTree() {
         freeMemoryTree(root);
     }
 };
+
 void testInsert(AVLTree& tree, int val) {
     tree.insert(val);
     cout << "\n插入结点 " << val << " 后，AVL 树为" << endl;
@@ -191,7 +204,9 @@ void testRemove(AVLTree& tree, int val) {
     PrintUtil::printTree(tree.root);
 }
 int main() {
+    /* 初始化空 AVL 树 */
     AVLTree avlTree;
+
     /* 插入结点 */
     // 请关注插入结点后，AVL 树是如何保持平衡的
     testInsert(avlTree, 1);
diff --git a/docs/chapter_heap/heap.md b/docs/chapter_heap/heap.md
index 1f0662c577..d5940537f3 100644
--- a/docs/chapter_heap/heap.md
+++ b/docs/chapter_heap/heap.md
@@ -86,7 +86,7 @@ comments: true
 
     ```cpp title="heap.cpp"
     /* 初始化堆 */
-    // 初始化小顶堆,必须要使用greater，如果是自定义的类，要么自己实现greater类，要么重载大于号
+    // 初始化小顶堆,必须要使用 greater，如果是自定义的类，要么自己实现比较类，要么重载大于号
     priority_queue<int,vector<int>,greater<int>> minHeap;
     // 初始化大顶堆
     priority_queue<int> maxHeap;
@@ -103,7 +103,7 @@ comments: true
     
     /* 堆顶元素出堆 */
     // 出堆元素会形成一个从大到小的序列
-    // 注意，c++中的出队不会返回堆顶的值
+    // 注意，c++ 中的出队不会返回堆顶的值
     peek = maxHeap.top();  // 5
     heap.pop();         //出队
     peek = maxHeap.top();  // 4
@@ -115,10 +115,9 @@ comments: true
     peek = maxHeap.top();  // 1
     heap.pop();         //出队
 
-    
     /* 获取堆大小 */
     int size = maxHeap.size();
-    
+
     /* 判断堆是否为空 */
     bool isEmpty = maxHeap.empty();
 
@@ -126,8 +125,8 @@ comments: true
     vector<int> tmp({1, 3, 2, 5, 4});
     minHeap = priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>(tmp.begin(), tmp.end());
 
-    // priority_queue里的序列是protected的，所以要输出就得继承
-    // 顺带一提，装元素的容器不仅可以是vector，还可以是deque，一般都用vector
+    // priority_queue 里的序列是 protected 的，所以要读取就得继承
+    // 顺带一提，装元素的容器不仅可以是 vector，还可以是 deque，一般都用 vector
     ```
 
 === "Python"

From 44ad89cba653ac7ceb63f6eec9cef8e257266e6c Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Yudong Jin <krahets@163.com>
Date: Sat, 4 Feb 2023 15:49:16 +0800
Subject: [PATCH 6/6] Update heap.md

---
 docs/chapter_heap/heap.md | 2 +-
 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-)

diff --git a/docs/chapter_heap/heap.md b/docs/chapter_heap/heap.md
index d5940537f3..512e38c672 100644
--- a/docs/chapter_heap/heap.md
+++ b/docs/chapter_heap/heap.md
@@ -296,7 +296,7 @@ comments: true
 === "C++"
 
     ```cpp title="my_heap.cpp"
-    // 使用vector而非数组，这样无需考虑扩容问题
+    // 使用 vector 而非数组，这样无需考虑扩容问题
     vector<int> maxHeap;  
 
     /* 获取左子结点索引 */