diff --git a/docs/01-python/12-practice/index.mdx b/docs/01-python/12-practice/index.mdx index 9643676c7..152e158b3 100644 --- a/docs/01-python/12-practice/index.mdx +++ b/docs/01-python/12-practice/index.mdx @@ -85,7 +85,7 @@ $\mathrm{gcd}(a, b)$ を $a$ と $b$ の最大公約数とします。 例：$30$ と $18$ の最大公約数を求める。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} \mathrm{gcd}(30, 18) &= \mathrm{gcd}(18, 30 - 18\times 1) \\ &= \mathrm{gcd}(18, 12) \\ &= \mathrm{gcd}(12, 18 - 12\times 1) \\ @@ -93,7 +93,7 @@ $$ &= \mathrm{gcd}(6, 12 - 6\times 2) \\ &= \mathrm{gcd}(6, 0) \\ &= 6 -\end{align*} +\end{aligned} $$ よって、最大公約数は $6$ diff --git a/docs/02-advanced/01-image/index.mdx b/docs/02-advanced/01-image/index.mdx index 4a4a38460..710de47f1 100644 --- a/docs/02-advanced/01-image/index.mdx +++ b/docs/02-advanced/01-image/index.mdx @@ -117,11 +117,11 @@ Python で画像を表現してみましょう。 $$ \left\{ - \begin{align*} + \begin{aligned} R&=(1-t)R_1+tR_2 \\ G&=(1-t)G_1+tG_2 \\ B&=(1-t)B_1+tB_2 - \end{align*} + \end{aligned} \right. $$ @@ -149,11 +149,11 @@ $$ $$ \left\{ - \begin{align*} + \begin{aligned} R&=s\{(1-t)R_1+tR_2\}+(1-s)\{(1-t)R_3+tR_4\} \\ G&=s\{(1-t)G_1+tG_2\}+(1-s)\{(1-t)G_3+tG_4\} \\ B&=s\{(1-t)B_1+tB_2\}+(1-s)\{(1-t)B_3+tB_4\} - \end{align*} + \end{aligned} \right. $$ diff --git a/docs/02-advanced/03-error/index.mdx b/docs/02-advanced/03-error/index.mdx index 17de3b3b2..008028e43 100644 --- a/docs/02-advanced/03-error/index.mdx +++ b/docs/02-advanced/03-error/index.mdx @@ -35,12 +35,12 @@ $$ 10 進数の $0.1$ を 2 進数で表すことを考えます。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} 0.1_{(10)} &= 0.0625_{(10)} + 0.03125_{(10)} + 0.00390625_{(10)} + 0.00195332_{(10)} + \cdots \\ &= \frac{1}{16}_{(10)} + \frac{1}{32}_{(10)} + \frac{1}{256}_{(10)} + \frac{1}{512}_{(10)} + \cdots \\ &= 0.0001_{(2)} + 0.00001_{(2)} + 0.0000001_{(2)} + 0.00000001_{(2)} + \cdots \\ &= 0.000110011\cdots_{(2)} -\end{align*} +\end{aligned} $$ このように $0.1_{(10)}$ は 2 進数では有限桁で表せません。 @@ -82,14 +82,14 @@ $$ 実は今回の場合は、回避策があります。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} \sqrt{1001}-\sqrt{999} &= \frac{(\sqrt{1001}-\sqrt{999})(\sqrt{1001}+\sqrt{999})}{\sqrt{1001}+\sqrt{999}} \\ &= \frac{1001-999}{\sqrt{1001}+\sqrt{999}} \\ &= \frac{2}{\sqrt{1001}+\sqrt{999}} \\ &\simeq \frac{2}{31.63858+31.60696} \\ &= \frac{2}{63.24554} \\ &\simeq 0.03162278 -\end{align*} +\end{aligned} $$ 今回の場合ならば、これで桁落ちを回避できます。 @@ -111,19 +111,19 @@ $$ 次の場合、有効数字が 5 桁なら $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} 1.0000\times 10^4 + 1.0000 &= 1.0001 \times 10^4 \\ &\simeq 1.0001 \times 10^4 -\end{align*} +\end{aligned} $$ となって正しく計算できますが、有効数字が 4 桁だと、 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} 1.000\times 10^4 + 1.000 &= 1.0001 \times 10^4 \\ &\simeq 1.000 \times 10^4 -\end{align*} +\end{aligned} $$ となって正しく計算できません。 @@ -131,12 +131,12 @@ $$ 次のように、何度も足す場合には深刻になってきます。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} 1.000\times 10^4 + 4.000 + 4.000 + 4.000 &= 1.0004 \times 10^4 + 4.000 + 4.000 \\ &\simeq 1.000 \times 10^4 + 4.000 + 4.000 \\ &\simeq \cdots \\ &\simeq 1.000 \times 10^4 -\end{align*} +\end{aligned} $$ このように、絶対値の大きい数と絶対値の小さい数を加減算したときに、絶対値の小さな数字が無視されてしまうことを情報落ちといいます。 @@ -148,12 +148,12 @@ $$ 小さい数を先に足して、その後に大きい数を足せば回避できます。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} 4.000 + 4.000 + 4.000 + 1.000\times 10^4 &= 8.000 + 4.000 + 1.000 \times 10^4 \\ &= 12.000 + 1.000 \times 10^4 \\ &= 1.0012 \times 10^4 \\ &\simeq 1.001 \times 10^4 \\ -\end{align*} +\end{aligned} $$ これで、有効数字 4 桁で正しい計算ができました。 diff --git a/docs/03-simulation/01-simulation/01-uniform_linear_motion/index.mdx b/docs/03-simulation/01-simulation/01-uniform_linear_motion/index.mdx index 5b2663932..a52395422 100644 --- a/docs/03-simulation/01-simulation/01-uniform_linear_motion/index.mdx +++ b/docs/03-simulation/01-simulation/01-uniform_linear_motion/index.mdx @@ -22,11 +22,11 @@ $$ この微分方程式は解析的に解けますが、差分化して差分方程式を作ってみましょう。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} \frac{x_{n+1} - x_n}{\Delta t} &= v_0 \\ \therefore x_{n + 1} - x_n &= v_0 \Delta t \\ \therefore x_{n + 1} &= x_n + v_0 \Delta t -\end{align*} +\end{aligned} $$ ## プログラムの作成 @@ -41,12 +41,12 @@ $\Delta t$ を十分小さくとって $x_1,x_2,x_3 \dots$ を順に求めてい この微分方程式は、次のようにすれば簡単に解けます。確かにこの結果を用いれば、簡単にプログラムを書けるので、差分方程式を使う必要性があまり感じられないかもしれません。しかし、世の中には解析的に解けない微分方程式も多いので、差分方程式を使って近似解を求めることも時には重要になってきます。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= v_0 \\ \therefore dx &= v_0 dt \\ \therefore \int dx &= \int v_0 dt \\ \therefore x &= v_0t+C -\end{align*} +\end{aligned} $$ 初期条件 $t = 0$ で $x = x_0$ を代入して、 diff --git a/docs/03-simulation/01-simulation/02-parabolic_motion/index.mdx b/docs/03-simulation/01-simulation/02-parabolic_motion/index.mdx index a6328c267..b9b6dce33 100644 --- a/docs/03-simulation/01-simulation/02-parabolic_motion/index.mdx +++ b/docs/03-simulation/01-simulation/02-parabolic_motion/index.mdx @@ -18,33 +18,33 @@ import Answer from "@site/src/components/Answer"; これらの関係は、次のようになります。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= u \\ \frac{dy}{dt} &= v \\ \frac{du}{dt} &= 0 \\ \frac{dv}{dt} &= -g -\end{align*} +\end{aligned} $$ これを差分化してみましょう。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} \frac{x_{n + 1} - x_n}{\Delta t} &= u_n \\ \therefore x_{n + 1} - x_n &= u_n \Delta t \\ \therefore x_{n + 1} &= x_n + u_n \Delta t -\end{align*} +\end{aligned} $$ 他も同様にすると、次のようになります。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} x_{n + 1} &= x_n + u_n \Delta t \\ y_{n + 1} &= y_n + v_n \Delta t \\ u_{n + 1} &= u_n \\ v_{n + 1} &= v_n - g\Delta t -\end{align*} +\end{aligned} $$ ## プログラムの作成 @@ -69,19 +69,19 @@ $$ $x$ 軸方向は次のように解けます。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} \frac{d^2x}{dt^2} &= 0 \\ \therefore \frac{dx}{dt} &= C \\ -\end{align*} +\end{aligned} $$ 初期条件 $t = 0$ で $\frac{dx}{dt} = v_0 \cos \theta$ を代入して、 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} \frac{dx}{dt} &=v_0 \cos \theta \\ \therefore x &= v_0 t \cos \theta + D \\ -\end{align*} +\end{aligned} $$ 初期条件 $t = 0$ で $x = 0$ を代入して、 @@ -93,19 +93,19 @@ $$ $y$ 軸方向は次のように解けます。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} \frac{d^2y}{dt^2} &= -g \\ \therefore \frac{dy}{dt} &= -gt + C \\ -\end{align*} +\end{aligned} $$ 初期条件 $t = 0$ で $\frac{dy}{dt} = v_0 \sin \theta$ を代入して、 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} \frac{dy}{dt} &= -gt + v_0 \sin \theta \\ \therefore y &= -\frac{1}{2}gt^2 + v_0 t \sin \theta + D \\ -\end{align*} +\end{aligned} $$ 初期条件 $t = 0$ で $y = 0$ を代入して、 diff --git a/docs/03-simulation/01-simulation/03-resisted_motion/index.mdx b/docs/03-simulation/01-simulation/03-resisted_motion/index.mdx index 52e60a4d9..f67709e54 100644 --- a/docs/03-simulation/01-simulation/03-resisted_motion/index.mdx +++ b/docs/03-simulation/01-simulation/03-resisted_motion/index.mdx @@ -18,28 +18,28 @@ import Answer from "@site/src/components/Answer"; 運動方程式は次のようになります。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} m\frac{d^2y}{dt^2} &= -mg - kv \\ \therefore \frac{d^2y}{dt^2} &= -g - \frac{k}{m}v -\end{align*} +\end{aligned} $$ よって、これらの関係は次のようになります。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} \frac{dy}{dt} &= v \\ \frac{dv}{dt} &= -g - \frac{k}{m}v -\end{align*} +\end{aligned} $$ これを差分化して、差分方程式を作ると次のようになります。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} y_{n + 1} &= y_n + v_n\Delta t \\ v_{n + 1} &= v_n - g\Delta t - \frac{k}{m}v_n \Delta t -\end{align*} +\end{aligned} $$ ## プログラムの作成 @@ -56,7 +56,7 @@ $$ この微分方程式も少し大変ですが、解析的に解くことができます。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} \frac{d^2y}{dt^2} &= -g - \frac{k}{m}v \\ \therefore \frac{dv}{dt} &= -g - \frac{k}{m}v \\ \therefore dv &= \left(-g - \frac{k}{m}v\right) dt \\ @@ -65,27 +65,27 @@ $$ \therefore \log \left(\frac{m}{k}g + v\right) &= -\frac{k}{m}t + C \\ \therefore v + \frac{m}{k}g &= e^{-\frac{k}{m}t + C} \\ \therefore v &= -\frac{m}{k}g + Ce^{-\frac{k}{m}t} -\end{align*} +\end{aligned} $$ 初期条件 $t = 0$ で $v = 0$ を代入して、 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} C &= \frac{mg}{k}\\ \therefore v &= \frac{mg}{k}\left(e^{-\frac{k}{m}t} - 1\right) \\ \therefore x &= \frac{mg}{k}\left(-\frac{m}{k}e^{-\frac{k}{m}t} - t\right) + D \\ -\end{align*} +\end{aligned} $$ 初期条件 $t = 0$ で $x = 0$ を代入して、 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} D &= \frac{m^2g}{k^2} \\ \therefore x &= \frac{mg}{k}\left(-\frac{m}{k}e^{-\frac{k}{m}t}-t\right) + \frac{m^2g}{k^2} \\ \therefore x &= \frac{m^2g}{k^2}\left(1 - e^{-\frac{k}{m}t}\right) - \frac{mg}{k}t -\end{align*} +\end{aligned} $$ これを使って、プログラムを作ると次のようになります。 diff --git a/docs/04-algorithms/01-recursion/index.mdx b/docs/04-algorithms/01-recursion/index.mdx index 369cffb6c..648ea56d2 100644 --- a/docs/04-algorithms/01-recursion/index.mdx +++ b/docs/04-algorithms/01-recursion/index.mdx @@ -23,11 +23,11 @@ $a_1 = 1$、$a_n = a_{n - 1} + 1$ とします。このとき、$a_n$ を求め この漸化式は、次のように数学的に解くことができます。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} a_n &= a_{n-1} + 1 \\ \therefore a_n &= a_1 + (n-1)\times 1 \\ \therefore a_n &= n -\end{align*} +\end{aligned} $$ よって、この結果を使えば次のように簡単に解けます。 @@ -103,11 +103,11 @@ flowchart RL フィボナッチ数列($F_n$)は、次のように定義されます。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} &F_0 = 0 \\ &F_1 = 1 \\ &F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2} \quad (n\geq 2) -\end{align*} +\end{aligned} $$ 次のような数列になっています。 @@ -201,10 +201,10 @@ $$ 漸化式は、次のようになります。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} &a_1=1 \\ &a_n=a_{n - 1} + n -\end{align*} +\end{aligned} $$ @@ -240,7 +240,7 @@ $$ つまり、$18$ と $30$ の最大公約数を求めるとき、$\mathrm{gcd}(a, b)$ を $a$ と $b$ の最大公約数とすると、 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} \mathrm{gcd}(18, 30) &= \mathrm{gcd}(30, 18 - 30\times 0) \\ &= \mathrm{gcd}(30, 18) \\ &= \mathrm{gcd}(18, 30 - 18\times 1) \\ @@ -250,7 +250,7 @@ $$ &= \mathrm{gcd}(6, 12 - 6\times 2) \\ &= \mathrm{gcd}(6, 0) \\ &= 6 -\end{align*} +\end{aligned} $$ となります。 @@ -276,11 +276,11 @@ $$ リュカ数列($L_n$)は次のように定義されます。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} &L_0 = 2 \\ &L_1 = 1 \\ &L_n = L_{n - 1} + L_{n - 2} \quad (n\geq 2) -\end{align*} +\end{aligned} $$ リュカ数列は次のようになります。 @@ -294,11 +294,11 @@ $$ リュカ数列の一般項は、フィボナッチ数列の時のように計算すると、次のようになります。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} (\alpha-\beta)L_n &= (\alpha^n - \beta^n)L_1 - L_0 (\beta \alpha^n - \alpha \beta^n) \\ \therefore (\alpha-\beta)L_n &= (1 - 2\beta)\alpha^n - (2\alpha - 1)\beta^n \\ \therefore L_n &= \sqrt{5} \cdot \frac{\alpha^n + \beta^n}{\alpha-\beta} -\end{align*} +\end{aligned} $$ $$ @@ -321,12 +321,12 @@ $$ トリボナッチ数列($T_n$)は次のように定義されます。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} &T_0 = 0 \\ &T_1 = 0 \\ &T_2 = 1 \\ &T_n = T_{n - 1} + T_{n - 2} + T_{n - 3} \quad (n\geq 3) -\end{align*} +\end{aligned} $$ トリボナッチ数列は次のようになります。 diff --git a/docs/04-algorithms/02-order/index.mdx b/docs/04-algorithms/02-order/index.mdx index 820757695..6572e896c 100644 --- a/docs/04-algorithms/02-order/index.mdx +++ b/docs/04-algorithms/02-order/index.mdx @@ -128,14 +128,14 @@ flowchart 計算量を $T(n)$ とします。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} T(n) &= T(n-1) + T(n-2) \\ &<2T(n-1) \quad (\because T(n-2)2T(n-2) \quad (\because T(n-1)>T(n-2)) \\ &>2^2T(n-4) \\ &>\cdots \\ &>2^{\frac{n}{2}}T(0) \\ &=2^{\frac{n}{2}} = \left(\sqrt{2}\right)^n \\ -\end{align*} +\end{aligned} $$ ::: @@ -166,12 +166,12 @@ $$ これは、漸化式を解けば求まります。この漸化式は、フィボナッチ数列と同じです。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} T(n) &= T(n-1) + T(n-2) \\ &\cdots \\ \therefore T(n) &= \frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)^n\right\} \\ &= O\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n\right) -\end{align*} +\end{aligned} $$ ::: diff --git a/docs/04-algorithms/05-gaussian-elimination/index.mdx b/docs/04-algorithms/05-gaussian-elimination/index.mdx index 3720eb03d..6cd492eab 100644 --- a/docs/04-algorithms/05-gaussian-elimination/index.mdx +++ b/docs/04-algorithms/05-gaussian-elimination/index.mdx @@ -13,39 +13,37 @@ import Answer from "@site/src/components/Answer"; $$ \left\{ -\begin{alignat}{3.5} - & x_1 - {} & 2 & x_2 + {} & 3 & x_3 = 3 \\ - -& x_1 + {} & 3 & x_2 - {} & 2 & x_3 = 1 \\ - & x_1 - {} & & x_2 + {} & 6 & x_3 = 11 -\end{alignat} +\begin{alignedat}{3.5} + & x_1 - {} & 2 & x_2 + {} & 3 & x_3 = 3 & \quad (1)\\ + -& x_1 + {} & 3 & x_2 - {} & 2 & x_3 = 1 & \quad (2)\\ + & x_1 - {} & & x_2 + {} & 6 & x_3 = 11 & \quad (3) +\end{alignedat} \right. $$ $(1) + (2)$ より、 $$ -\begin{equation} - x_2 + x_3 = 4 -\end{equation} +x_2 + x_3 = 4 \quad (4) $$ $(2) + (3)$ より、 $$ -\begin{align} - 2x_2 + 4x_3 &= 12 \notag \\ - \therefore x_2 + 2x_3 &= 6 -\end{align} +\begin{alignedat} + 2x_2 + 4x_3 &= 12 & \\ + \therefore x_2 + 2x_3 &= 6 & \quad (5) +\end{alignedat} $$ $(4),(5)$ より、 $$ \left\{ -\begin{align*} +\begin{aligned} x_2 &= 2 \\ x_3 &= 2 -\end{align*} +\end{aligned} \right. $$ @@ -53,11 +51,11 @@ $$ $$ \left\{ -\begin{align*} +\begin{aligned} x_1 &= 1 \\ x_2 &= 2 \\ x_3 &= 2 -\end{align*} +\end{aligned} \right. $$ @@ -75,14 +73,14 @@ Gauss の消去法は、前進消去と後退代入の二段階から成りま $$ \left\{ -\begin{alignat*}{5} +\begin{alignedat}{5} a_{1, 1} & x_1 + {} & a_{1, 2} & x_2 + {} & a_{1, 3} & x_3 + \dots + {} & a_{1, n} & x_n = c_1 \\ a_{2, 1} & x_1 + {} & a_{2, 2} & x_2 + {} & a_{2, 3} & x_3 + \dots + {} & a_{2, n} & x_n = c_2 \\ a_{3, 1} & x_1 + {} & a_{3, 2} & x_2 + {} & a_{3, 3} & x_3 + \dots + {} & a_{3, n} & x_n = c_3 \\ & \cdots\cdot\cdot \\ a_{n-1, 1} & x_1 + {} & a_{n-1, 2} & x_2 + {} & a_{n-1, 3} & x_3 + \dots + {} & a_{n-1, n} & x_n = c_{n-1} \\ a_{n, 1} & x_1 + {} & a_{n, 2} & x_2 + {} & a_{n, 3} & x_3 + \dots + {} & a_{n, n} & x_n = c_n -\end{alignat*} +\end{alignedat} \right. $$ @@ -119,7 +117,7 @@ $$ 基本行列は、次に定義されていました。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} P_{i, j} &= \begin{pmatrix} 1 \\ @@ -154,7 +152,7 @@ $$ & & & & & \ddots \\ & & & & & & 1 \\ \end{pmatrix} -\end{align*} +\end{aligned} $$ ::: @@ -179,14 +177,14 @@ $$ $$ \left\{ -\begin{alignat*}{5} +\begin{alignedat}{5} & x_1 + {} & b_{1,2} & x_2 + {} & b_{1,3} & x_3 + \dots + {} & b_{1,n-1} & x_{n-1} + {} & b_{1, n} & x_n = d_1 \\ & & & x_2 + {} & b_{2,3} & x_3 + \dots + {} & b_{2,n-1} & x_{n-1} + {} & b_{2, n} & x_n = d_2 \\ & & & & & x_3 + \dots + {} & b_{3,n-1} & x_{n-1} + {} & b_{3, n} & x_n = d_3 \\ &\dots \\ & & & & & & & x_{n-1} + {} & b_{n-1,n} & x_n = d_{n-1} \\ & & & & & & & {} & & x_n = d_n \\ -\end{alignat*} +\end{alignedat} \right. $$ @@ -197,18 +195,18 @@ Gauss の消去法を次の方程式系について行ってみます。 $$ \left\{ -\begin{alignat*}{3.5} +\begin{alignedat}{3.5} & x_1 - {} & 2 & x_2 + {} & 3 & x_3 = 3 \\ -& x_1 + {} & 3 & x_2 - {} & 2 & x_3 = 1 \\ & x_1 - {} & & x_2 + {} & 6 & x_3 = 11 -\end{alignat*} +\end{alignedat} \right. $$ まずは、前進消去を行います。基本変形を繰り返して、行階段行列を作っていきます。 $$ -\begin{alignat*}{2} +\begin{alignedat}{2} \tilde{A} & = & & \left( @@ -250,13 +248,13 @@ $$ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right) -\end{alignat*} +\end{alignedat} $$ 次に、連立方程式に戻して後退代入を行っていきます。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} & \left\{ \begin{alignedat}{3} x_1 - 2 & x_2 + {} & 3 & x_3 & {} = {} & 3 \\ @@ -288,7 +286,7 @@ $$ x_3 &= 2 \end{aligned} \right. -\end{align*} +\end{aligned} $$ :::info @@ -318,14 +316,14 @@ $$ $$ \left\{ -\begin{alignat*}{6} +\begin{alignedat}{6} & x_1 & & & & & & & & & & = d_1 \\ & & & x_2 & & & & & & & & = d_2 \\ & & & & & x_3 & & & & & & = d_3 \\ & \ldots \\ & & & & & & & x_{n-1} & & & & = d_{n-1} \\ & & & & & & & & & x_n & & = d_n \\ -\end{alignat*} +\end{alignedat} \right. $$ @@ -336,16 +334,16 @@ Gauss-Jordan の消去法を次の方程式系について行っていきます $$ \left\{ -\begin{alignat*}{3.5} +\begin{alignedat}{3.5} & x_1 - {} & 2 & x_2 + {} & 3 & x_3 = 3 \\ -& x_1 + {} & 3 & x_2 - {} & 2 & x_3 = 1 \\ & x_1 - {} & & x_2 + {} & 6 & x_3 = 11 -\end{alignat*} +\end{alignedat} \right. $$ $$ -\begin{alignat*}{5} +\begin{alignedat}{5} \tilde{A} & = & & \left( @@ -411,24 +409,24 @@ $$ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \\ -\end{alignat*} +\end{alignedat} $$ $$ \left\{ -\begin{alignat*}{4} +\begin{alignedat}{4} & x_1 + {} & 0 & x_2 + {} & 0 & x_3 & & = 1 \\ 0 & x_1 + {} & & x_2 + {} & 0 & x_3 & & = 2 \\ 0 & x_1 + {} & 0 & x_2 + {} & & x_3 & & = 2 -\end{alignat*} +\end{alignedat} \right. \\ \therefore \left\{ -\begin{align*} +\begin{aligned} x_1 &= 1 \\ x_2 &= 2 \\ x_3 &= 2 -\end{align*} +\end{aligned} \right. $$ @@ -460,11 +458,11 @@ $x_n = d_n$ になります。求まった $x_n$ をそれよりも上の式す $$ \left\{ -\begin{alignat*}{3.5} +\begin{alignedat}{3.5} & & -2 & x_2 + {} & 3 & x_3 = 2 \\ -& x_1 + {} & 3 & x_2 - {} & 2 & x_3 = 1 \\ & x_1 - {} & & x_2 + {} & 6 & x_3 = 11 -\end{alignat*} +\end{alignedat} \right. $$ @@ -478,7 +476,7 @@ $$ 先程の連立方程式なら、次のように計算していきます。1 つ目から、2 つ目への変形が部分ピボット選択によるものです。 $$ -\begin{alignat*}{2} +\begin{alignedat}{2} & & & \left( \begin{array}{ccc|c} @@ -535,7 +533,7 @@ $$ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right) \\ -\end{alignat*} +\end{alignedat} $$ 部分ピボット選択を入れると、次のようなプログラムになります。 @@ -569,7 +567,7 @@ $$ この逆行列は次のようにして求めます。 $$ -\begin{alignat*}{2} +\begin{alignedat}{2} (A|E) & = & & \left( \begin{array}{cc|cc} @@ -598,7 +596,7 @@ $$ 0 & 1 & 1 & -1 \end{array} \right) -\end{alignat*} +\end{alignedat} $$ よって、 diff --git a/docs/04-algorithms/06-dp/index.mdx b/docs/04-algorithms/06-dp/index.mdx index 46d6d90c0..09e3fe296 100644 --- a/docs/04-algorithms/06-dp/index.mdx +++ b/docs/04-algorithms/06-dp/index.mdx @@ -17,11 +17,11 @@ import Hint from "@site/src/components/Hint"; フィボナッチ数列 $F_n$ ( $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 \cdots$ )は、次のように定義されるのでした。 $$ -\begin{align*} +\begin{aligned} &F_0 = 0 \\ &F_1 = 1 \\ &F_n = F_{n - 1} + F_{n - 2} \quad (n\geq 2) -\end{align*} +\end{aligned} $$ ### 再帰を使ったフィボナッチ数列