201612_Algebraic_Geometry+_Expose_de.tex

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\documentclass{article}
\input{./preamble}

\begin{document}
\maketitle 

\section{Einleitung}
	In diesem Vortrag geht es vor allem um Syzygien und Freie Aufl\"osungen, 
	was der Titel nahe legt.
	Aus dem Titel geht allerdings kein Grund hervor, 
	nach diesen Dingen zu suchen.
	Fangen wir doch damit an, 
	wie eine Syzygie definiert ist um zu sehen,
	was sie ist.
	Auf dem Weg sammeln wir noch ein paar Grundlagen mit ein:
	\begin{defn}[Komplex \nocite{Eis1} ]
		Ein \textbf{Komplex von \( R \)-Modulen} 
		ist eine Sequenz von Modulen 
		\( F_{i} \)
		und Abbildungen
		\( F_{i} \to F_{i-1} \),
		sodass f\"ur alle 
		\( i \) 
		die Komposition
		\( F_{i+1} \to F_{i} \to F_{i-1} \)
		Null wird. \\
		Die \textbf{Homologie} dieses Komplexes in 
		\( F_{i} \)
		ist der  Modul
		\[
			\ker\left( F_{i} \to F_{i-1 } \right) \big/ 
			\im \left( F_{i+1} \to F_{i} \right).
		\]		
		Eine \textbf{freie Aufl\"osung} eines 
		\(R\)-Moduls 
		\(M\)
		ist ein Komplex
		\[
			\mathcal{F}: \dots \to F_{n} 
			\overset{\phi_{n}}{\to} 
			\dots \to F_{1}
			\overset{\phi_{1}}{\to} F_{0}
		\]
		von freien
		\(R\)-Modulen, sodass 
		\( \coker \phi_{1} = M \)
		und
		\( \mathcal{F} \)
		exakt ist.
		(Man schreibt auch gelegentlich ein 
		\( \to 0 \) 
		an das Ende des Komplexes
		und fordert Exaktheit ausser in 
		\( F_{0} \).
		Diese Schreibweise wird h\"aufig missbraucht,
		um zu sagen, 
		dass die exakte Sequenz
		\[
			\mathcal{F}: \dots \to F_{n} 
			\overset{\phi_{n}}{\to} 
			\dots \to F_{1}i
			\overset{\phi_{1}}{\to} F_{0}
			\to M 
			\to 0
		\]
		eine Aufloesung von 
		\(M \)
		ist.
		Das Bild von
		\( \phi_{i} \)
		nennen wir die
		\emph{i-te Syzygie} 
		von 
		\( M \).\\
		Ein Aufl\"osung heisst freie, graduierte Aufl\"osung,
		wenn 
		\( R \) ein graduierter Ring,
		die 
		\( F_{i} \)
		graduierte freie Module
		und die Abbildungen homogen vom Grad 0 sind.
		Wenn es ein
		\( n < \infty \) 
		gibt, sodass 
		\(F_{n+1}=0 \),
		aber 
		\( F_{i} \neq 0 \ \forall \ 0 \le i \le n \),
		nennen wir 
		\( \mathcal{F} \) 
		eine endliche Aufl\"osung von L\"ange 
		\( n \).
	\end{defn}
	Hier eine kurze Auffrischung der Begrifflichkeiten:
	\begin{defn}[Freier Modul\cite{Eis1}{0.3}]
		Ein freier 
		\(R\)-Modul
		ist ein Moduln der isomorph zu einen direkten Summe von 
		\( R \)
		Kopien ist.
	\end{defn}
	\begin{bsp}
		Ein sehr einfaches Beispiel ist 
		\[
			M:= \mathbb{R} \cdot x \oplus
			\mathbb{R} \cdot y \oplus
			\mathbb{R} \cdot z =
			\mathbb{R}^3
		\]
	\end{bsp}
	\begin{defn}[Graduierter Ring\cite{Eis1}{1.5}]
		Ein \bf{graduierter Ring} ist ein Ring 
		\( R \)
		zusammen mit einer direkten Summenzerlegung
		\[
			R=R_{0} \oplus R_{1} \oplus R_{2} \oplus \dots 
			\text{ als abelsche Gruppen,}
		\]
		sodass 
		\[
			R_{i}R_{j} \subset R_{i+1} \text{\ f\"ur \ } i,j \ge 0.
		\]
	\end{defn}
	\begin{bsp}
		Der einfachste graduierte Ring ist der Ring Polynome
		\( S = k\left[ x_{1}, \dots ,x_{r} \right] \)
		mit der Graduierung 
		\[
			S=S_{0} \oplus S_{1} \oplus \dots ,
		\]
		wobei 
		\( S_{d} \) 
		der Vektorraum der homogenen Polynome vom Grad
		\( d \) 
		ist.
	\end{bsp}
	
	Also das hat jetzt nicht so viel zum Verst\"andnis beigetragen, 
	wie ich dachte;  
	wobei,
	unsere Syzygie besteht also aus Punkten 
	aus einer direkten Summe, 
	sozusagen einem 
	\(n\)-Tupel 
	\(a_{1},\dots,a_{n}\).
	Desweiteren folgt aufgrund der Exaktheit und der Tatsache, 
	das unsere Abbildungen von Grad 0 sind,
	d.h. sie sind jeweils der Form
	\[
		f\left( x \right)=x_{1}f_{1} + \dots + x_{k}f_{k},
	\]
	dass alle Punkte der Syzygie die folgende Gleichung erf\"ullen:
	\[
		a_{1} f_{1} + \dots + a_{n} f_{n} = 0	
	\]
	Also sind unsere Syzygien L\"osungen von linearen Gleichungen.
	
	Syzygien werden in Computeralgebra System verwendet,
	um multivariate Gleichungen zu l\"osen\nocite{WA_1}

	
\section{Das Hilbertsche Syzygientheorem}
	\begin{thm}[Das Hilbert'sche Syzygien Theorem \cite{Eis1}{1.13}]
		Wenn 
		\( R = k \left[ x_1,\dots,x_r \right] \)
		gilt,
		dann hat jeder endlich erzeugte graduierte 
		\(R \)-Modul 
		eine endlich erzeugte freie Aufl\"osung von L\"ange 
		\( \le r \) 
		aus endlich erzeugten freien Moduln.
	\end{thm}
	Um das jetzt aber zu beweisen m\"ussen wir etwas ausholen, 
	doch wollen wir mit einem Beispiel beginnen.
	\begin{bsp}[\nocite{Eis1}{Exercise 1.22}]
		Sei 
		\( R = k\left[ x \right] \)
		Dann haben alle endlich erzeugten 
		\(R\)-Module 
		eine endliche freie Aufl\"osung.
		\begin{proof}
			{\color{red} REPLACE ME \\ }
			Sei 
			\( M \) 
			ein beliebiger endlich erzeugter Modul \"uber 
			\( R \),
			dann gilt: \\
			\( M \simeq \oplus_{i=1}^{n} R \) 
			f\"ur ein 
			\( n < \infty . \) \\
			Desweiteren gilt 
		\end{proof}
	\end{bsp}	
	\begin{thm}[Struktursatz f\"ur endlich erzeugte Moduln \"uber Hauptidealringen\cite{Wiki_1}]
		Wenn ein Modul 
		\( M \)
		\"uber einem K\"orper 
		\( F \) 
		endlich erzeugt ist, 
		dann k\"onnen wir eine Basis aus
		\( n \) 
		Elementen finden,
		sodass 
		\(
			M \simeq F^{n} 
		\)
		und 
		\( n < \infty \).
	\end{thm}
	\begin{bsp}
		Sei 
		\( R= k\left[ x \right] \big/ \left( x^{n} \right) \),
		dann sehen die freien Aufl\"osungen von 
		\( R\big/ \left( x^{m} \right) \) 
		f\"ur alle 
		\( m \le n \)
		als 
		{\color{red}MISSING}
		geschrieben werden k\"onnen.
		\begin{proof}
			{\color{red} REPLACE ME }

		\end{proof}
	\end{bsp}
\section{Syzygientricks}
	\begin{defn}[GCD,LCM]
		Im folgenden werden wir f\"ur den kleinsten gemeinsamen Teiler
		\( \LCM \)
		und f\"ur den gr\"ossten gemeinsamen Teiler
		\( GCD \)
		schreiben
	\end{defn}
	\begin{nota}[\cite{Eis1}{322}\label{syzygygenerationnotation}]
		Sei 
		\( F \) 
		ein freies Modul mit Basis 
		und
		\( M \)
		Untermodul von 
		\( F \)
		der von 
		\( m_{1} , \dots , m_{t} \)
		erzeugt wird.
		Sei
		\begin{align*}
			\phi:	& \oplus_{j=1}^{t} S\epsilon_{j} &\to   F \\
				& \phi\left( \epsilon_{j} \right) &:=  m_{j}
		\end{align*}
		die Abbildung eines freien Moduls, dessen Bild
		\( M \)
		ist.
		F\"ur alle Indexpaare 	
		\( i,j \),
		sodass 
		\( m_{i}\)
		und 
		\( m_{j}\)
		dasselbe Basiselement von 
		\( F \),
		definieren wir 
		\[
			m_{ij} := m_{i}/\GCD\left( m_{i},m_{j} \right) ,
		\]
		und sonst die 
		\( \sigma_{ij}\)
		wie folgt als Elemente von 
		\( \ker \phi \)
		definieren:
		\[
			\sigma_{ij} := m_{ji}\epsilon_{i}-m_{ij}\epsilon_{j} .
		\]

	\end{nota}

	\begin{lem}[\cite{Eis1}{15.1}\label{syzygygen}]
		Mit der Notation  \ref{syzygygenerationnotation} gilt,
		dass 
		\( \ker \phi \)
		von den
		\( \sigma_{ij} \)
		erzeugt wird.
		\begin{proof}
			\label{uniquesum}
			\[
				\phi\left( \sigma_{ij} \right) 
				= \phi \left(m_{ji} \epsilon_{i}\right) 
				- \phi \left(  m_{ij} \epsilon_{j}  \right)
				= \frac{m_{j}}{\GCD\left( m_{i} ,m_{j} \right) } \dot m_{i} 
				-\frac{m_{i}}{\GCD\left( m_{i} ,m_{j} \right) } \dot m_{j}
				= 0 ,
			\]
			somit sind die 
			\( \sigma_{ij} \in \ker \phi \).
			\( \ker \phi\)
			ist ein 
			\( k \)-Vektorraum ,
			also k\"onnen wir annehmen, dass 
			\( 
				\ker \phi = 
				\underset{
					n \in F 
				}{
					\oplus
				}
				\left( 
					\ker \phi 
				\right)_{n}  
			\),
			wobei
			\[ 
				\left( \ker \phi \right)_{n} 
				= \left\{ 
					\sum a_{v} n_{v} \epsilon_{v} \in \ker \phi 
					\big| m_{v} \ \text{teilt} \  n, 
					\ n_{v} = n \slash m_{v} 
					\ \text{and} \ a_{v} \in k  
				\right\}
			\]
			geschrieben wird.
			Angenommen
			\[
				\sigma = \sum p_{i} \epsilon_{i} \in S^{t}, \qquad p_{i} \in S
			\]
			ist eine Syzygie,
			sodass
			\( \sum P_{i}m_{i} =0 \).
			F\"ur jedes Monom 
			\( n \)
			aus 
			\(F\),
			das in einem der 
			\( p_{j}m_{j} \)
			vorkommt,
			und f\"ur alle 
			\(i\) 
			sei 
			\( p_{i,n}\)
			der Term von
			\( p_{i} \),
			sodass 
			\( p_{i,n}m_{i} \)
			ein Vielfaches von 
			\( n\)
			ist.
			Es muss gelten
			\( \sum p_{i,n} m_{i}=0 \),
			damit 
			\( \sum p_{i,n} \epsilon_{i} \)
			aus 
			\( \left( \ker \phi \right)_{n}\).
			Nehmen wir an, dass 
			\( \sigma= \sum a_{v} n_{v}
			\in
			\left( \ker \phi \right)_{n} \).
			Wenn 
			\( \sigma \neq 0 \).
			dann sind mindestens zwei der 
			\( a_{v} n_{v} \neq 0 \),
			da 
			\( \sigma \) eine Syzygie ist.
			OBdA die 
			\(i\)-te 
			und die
			\(j\)-te
			, wobei 
			\( i<j \).
			Es folgt 
			\( n \) 
			wird von
			\( m_{i} \)
			und 
			\( m_{j} \) 
			geteilt.
			und somit ist 
			\( n_{i} \)
			teilbar durch
			\[
				\LCM\left( m_{i},m_{j} \right)/m_{i} 
				= m_{j} / \GCD\left( m_{i},m_{j} \right) 
				= m_{ji} 
			\]
			Somit k\"onnen wir ein Vielfaches von 
			\( \left( n_{i}/m_{ji} \right)\sigma_{ij} \)
			von 
			\( \sigma \) 
			abziehen um unsere Relation zu reduzieren.
		\end{proof}
	\end{lem}
	\begin{lem}[\cite{Eis1}{323}]
		Mit der Notation aus \ref{syzygygen} erhalten wir,
		dass jedes Element von 
		\( \ker \phi \)
		eindeutig als ein Summe von Elementen 
		\( \tau = \sum n_{ij} \sigma_{ij} \in \ker \phi\)
		schreiben k\"onnen, 
		sodass 
		\( n_{v}, m_{v} \)
		zum gleichen Monom 
		\( n\in F \)
		\"aquivalent sind.
		Solche Elemente k\"onnen wir als
		\[ 
			\tau = \sum n_{ij} \sigma_{ij} ,
		\]
		wobei \"uber alle 
		\( i<j \), 
		sodass 
		\( \LCM \left( m_{i},m_{j} \right)  | n \)
		und
		\( n_{ij} \)
		ein Vielfaches von 
		\( n/ \LCM\left( m_{i},m_{j} \right)
		=n_{i} / m_{ji}\)
		ist,
		summieren.
		\begin{proof}
			Die Eindeutigkeit folgt aus \ref{uniquesum}.
			Da wir im letzten Schritt des obigen Beweises nur Terme entfernen,
			k\"onnen wir die 
			\(\sigma_{ij} \) 
			von dort nehmen.
		\end{proof}
	\end{lem}
	Diese 
	\( \sigma_{ij}\)
	nennt man oft 
	\textbf{geteilte Koszul Relationen}.


\section{Gr\"obner Basen}
	\begin{defn}[Initialer Term \cite{Eis1}{325}]
		Wenn 
		\( > \)
		eine Ordnung auf Monomen ist,
		dann definieren wir f\"ur alle 
		\( f \in F \)
		den \textbf{initialen Term von \( f\) },
		geschrieben als 
		\( \ini_{>} \left( f \right) \),
		als den gr\"ossten Term von 
		\( f \) 
		bez\"uglich der Ordnung
		\( > \).
		Wenn 
		\( M \) 
		ein Untermodul von 
		\( F \) 
		ist,
		dann bezeichnet 
		\( \ini_{>} \left( M \right) \)
		den Untermodul, 
		der von 
		\( \left\{ \ini_{>} \left( f \right) \big| f \in F \right\}\)
		erzeugt wird.
		Wir werden oft 
		\( \ini_{>} \)
		mit 
		\( \ini \)
		abk\"urzen,
		wenn die Ordnung klar ist.
	\end{defn}
	\begin{bsp}
		Sei 
		\( >_{lex} \) 
		Die Ordung in der gilt
		\( x > y \),
		dann ist 
		\( \ini_{>_{lex}} \left( x^{2}+xy +y^{2} \right)=x^{2} \)

	\end{bsp}
	\begin{defn}[Gr\"obnerbasis \cite{Eis1}{328}]
		Eine \textbf{Gr\"obnerbasis} bez\"uglich einer Ordnung 
		\( > \)
		auf einem freien Modul mit Basis
		\(F \)
		ist eine Menge von Elementen
		\( g_{1},\dots,g_{t} \in F,\)
		sodass wenn 
		\( M \) 
		ein Untermodul von 
		\( F \) 
		erzeugt von
		\( g_{1}, \dots , g_{t} \)
		ist,
		gilt, dass die
		\( \ini_{>}  \left(  g_{1} \right),
		\dots,
		\ini_{>} \left( g_{t} \right) \)
		\( \ini_{>} \left( M \right) \)
		erzeugen. \\
		Wir sagen dann,
		dass
		\( g_{1},\dots,g_{t} \)
		eine
		\textbf{Gr\"obnerbasis von \( M \)}
		sind.


	\end{defn}
	\begin{propdef}[\cite{Eis1}{15.6}]
		Sei
		\( F \) 
		ein freier 
		\( S \)-Modul
		mit einer Basis und {Monomordnung 
		\(>\).} 
		Wenn 
		\( f,g_1,\dots,g_t \in F \) 
		dann gibt es einen Ausdruck 
		\[
			f= \sum f_i g_i +f' \text{mit} f' \in F, f_i \in S_i ,
		\]
		bei dem kein 
		\( f' \)
		in
		\( \left( \ini\left(g_1\right),\dots,\ini\left(g_t\right) \right) \) 
		vorkommt und 
		\[
			\ini\left( f \right) \ge \ini\left( f_i g_i  \right)
		\]
		f\"ur alle 
		\( i \).
		Jedes solches 
		\( f' \)
		heisst \textbf{Rest} von 
		\( f \) 
		in Bezug auf 
		\( g_{1},\dots,g_{t} \)
		und ein Ausdruck 
		\( f=\sum f_{i} g_{i} + f' \),
		der die Bedingungen von oben erf\"ullt,
		heisst
		\textbf{Standard Ausdruck} f\"ur 
		\(f\) 
		ausgedr\"uckt in
		\( g_{i} \).
	\end{propdef}
	\begin{algo}[Divisionsalgorithmus \cite{Eis1}{15.7}]
		Sei 
		\( F \)
		ein freier 
		\( S\)-Modul
		mit Basis und fester Monomordnung.
		Wenn
		\( f,g_1,\dots,g_t \in F \),
		dann k\"onnen wir einen Standard Ausdruck
		\[
		        f=\sum m_u g_{s_u} +f'
		\]
		von
		\( f \)
		bez\"uglich 
		\( g_1,\dots,g_t \)
		finden,
		indem wir die Indices
		\( s_{u} \)
		und die Terme
		\(m_{u} \)
		induktiv definieren.
		Wenn wir bereits 
		\( s_1,\dots,s_p \)
		und
		\( m_1,\dots,m_p\) \ ,
		gew\"ahlt haben,
		dann w\"ahlen wir, 
		\[
			f'_p:=f-\sum_{u=1}^{p} m_u g_{s_u},
		\]
		falls  
		\( f'_{p} \neq 0 \)
		und
		\( m \) 
		der maximale Term von 
		\(f'_p \),
		der durch eines der der
		\( \ini\left( g_i \right) \)
		teilbar ist,
		\[
			s_{p+1}=i , \\
			m_{p+1}=m / \ini\left( g_i \right)
		\].
		Dieser Vorgang bricht entweder ab, wenn 
		\( f'_p=0 \) \
		oder wenn keines der
		\( \ini\left( g_i \right) \) 
		ein Monom aus 
		\( f'_p\)
		teilt;
		der Rest 
		\(f'\) 
		ist dann 
		\( f'_p \).
	\end{algo}
	\input{Divisionsalgorithmus}
	\begin{nota}[\cite{Eis1}{331}\label{criterionnotation}]
		Sei 
		\( F \) 
		ein freier Modul \"uber
		\(S\)
		mit Basis und Monomordnung
		\( > \).
		Seien
		\( {0 \neq g_{1},\dots,g_{t} \in F} \)
		und 
		\( \oplus S \epsilon_{i} \)
		ein freier Modul mit Basis 
		\( \left\{ \epsilon_{i} \right\} \)
		die den 
		\( \left\{ g_{i} \right\}\)
		aus 
		\( F \)
		\"uber die folgenden Abbildungen 
		\begin{align*}
			\phi:& \oplus S \epsilon_{i} & \to F \\
			& \epsilon_{i} & \mapsto g_{i} 
		\end{align*}
		entsprechen. \\
		F\"ur jedes Indexpaar 
		\( i, j \),
		sodass 
		\( \ini \left( g_{i} \right) \)
		und
		\( \ini \left( g_{j} \right) \)
		dasselbe Basiselement von
		\( F \)
		enthalten,
		definieren wir ein neues
		\[
			m_{ij} 
			= \ini \left( g_{i} \right) 
			/ \GCD \left( \ini\left( g_{i} \right), 
			\ini \left( g_{j} \right) \right) \in S
		\]
		und setzen
		\[
			\sigma_{ij} 
			= m_{ji} \epsilon_{i} 
			- m_{ij} \epsilon_{j}
		.\]
		Diese 
		\( \sigma_{ij} \)
		Erzeugen die Syzygie auf den 
		\( \ini \left( g_{i} \right) \)
		nach \ref{syzygygen} und sind auch an die dortige Notation angepasst.
		Desweiteren w\"ahlen wir f\"ur jedes der Indexpaare einen Standardausdruck 
		\[ 
			m_{ji} g_{i} -m_{ij} g_{j} = \sum f_{u}^{\left( ij \right) } g_{u} + h_{ij}
		\]
		f\"ur 
		\(  m_{ji} g_{i} -m_{ij} g_{j} \)
		bez\"uglich der
		\( g_{1},\dots , g_{t} . \)
		Man kann sehen, 
		dass 
		\( \ini \left( f_{u}^{ij} g_{u} \right) < \ini \left( m_{ji}g_{i} \right) \)
		Zur Vereinfachung setzen wir
		\( h_{ij} = 0 \),
		falls 
		\( \ini\left( g_{i} \right) \)
		und 
		\( \ini\left( g_{j} \right) \)
		verschiedene Basiselemente von 
		\( F \)
		enthalten sind.
	\end{nota}
	\begin{thm}[Buchberger Kriterium \cite{Eis1}{15.8}\label{criterion}]
		Mit der Notation aus \ref{criterionnotation} folgt,
		dass die 
		\( g_{1},\dots,g_{t} \)
		eine Gr\"obnerbasis bilden,
		genau dann wenn 
		\( h_{ij} \)
		f\"ur alle 
		\( i \)
		und 
		\( j\).
		\begin{proof}
			Der Autor von \cite{Eis1} 
			meint man sehe dieses Aussage leicht, 
			doch das stimmt nur,
			wenn man es einmal gesehen hat:\\
			``\( \Rightarrow \)'' Wenn die 
			\( g_{1},\dots,g_{t} \) 
			eine Gr\"obnerbasis bilden,
			dann k\"onnen wir, 
			da es eine \emph{Basis} ist,
			alle Elemente in den 
			\( g_{1},\dots,g_{t} \)
			ohne Rest geschrieben werden.
			``\(\Leftarrow \)'' Wenn wir alle Elemente ohne Rest
			\( \left( h_{ij} = 0 \right) \)
			schreiben koennen, 
			dann bilden die 
			\( g_{1},\dots,g_{t} \)
			ein erzeugendes System.
			Es fehlt noch die Minimalit\"at,
			die aus dem folgenden Algorithmus folgt.
		\end{proof}
	\end{thm}

	\begin{algo}[Buchberger Algorithmus \cite{Eis1}{333}]
		Unter den Vorraussetzungen aus \ref{criterion} 
		sei
		\( M \)
		ein Untermodul von
		\( F \)
		und 
		\( g_{1},\dots,g_{t}\)
		seien  Erzeuger von 
		\( M \), 
		dann gilt
		\( M = \ker \phi .\)
		Berechne die Reste
		\( h_{ij} \).
		Wenn alle 
		\( h_{ij} = 0 \),
		dann bilden die 
		\(g_{i} \)
		eine Gr\"obnerbasis von 
		\( M \).
		Wenn einige der 
		\( h_{ij} \neq 0 \)
		dann ersetze 
		\( g_{1},\dots,g_{t}\)
		mit 
		\( g_{1},\dots,g_{t},h_{ij} \)
		und wiederhole dann den Prozess.
		Da der von
		\( g_{1},\dots,g_{t},h_{ij} \)
		erzeugte Untermodul echt gr\"osser als der von
		\( g_{1},\dots,g_{t}\)
		erzeugte Untermodul ist, 
		terminiert der Prozess nach endlich vielen Schritten. \\
		Die obere Schranke 
		\[
			b=\left( 
				\left( r+1 \right)
				\left( d+1 \right)+1 
			\right)^{2^{(s+1)}(r+1) }
		\]	
		h\"alt f\"ur
		\begin{align*}	
			r = &\text{Anzahl der Variablen} \\
			d = &\text{maximal Grad von \( g_i\) , und  } \\
			s = &\text{dem Grad des Hilbertpolynoms} \\
			    &\text{(  dieser ist um eins kleiner als die Dimension;
			    er liegt zwischen \( 0 \) und \(r-1\) ).}
		\end{align*}

	\end{algo}
	\input{./Buchberger}
	\begin{defn}[\cite{Eis1}{334}\label{taunotation}]
		Wir definieren
		\[
			\tau_{ij}:=
			m_{ji}\epsilon_{i} - 
			m_{ij} \epsilon_{j} - 
			\sum_{u} {f_{u}}^{\left( ij \right) } 
			\epsilon_{u} 
		,\]
		f\"ur
		\( i < j \),
		sodass 
		\( \ini \left( g_{i}  \right) \)
		und
		\( \ini \left( g_{j}  \right) \)
		dasselbe Basiselement von \( F \)
		enthalten.
	\end{defn}
	\begin{thm}[Schreyer \cite{Eis1}[15.10]
		Mit der Notation von \ref{taunotation}, 
		k\"onnen wir annehmen,
		dass
		\( g_1,\dots,g_t\)
		eine Gr\"obnerbasis sind.
		Sei jetzt 
		\( > \) 
		eine Monomordnung auf 
		\( \oplus_{j=1}^t S \epsilon_{j} \),
		f\"ur die gilt
		\( m \epsilon_{u} > n \epsilon_{v} \) \\
		\(\iff\)
		\[
			\ini\left(  m g_{u} \right) > \ini\left( n g_{v} \right) 
			\text{bez\"uglich der Ordnung auf } F 
		\]
		oder
		\[
			\ini\left( m g_{u} \right) = \ini\left( n g_{v} \right) 
			\left( \text{bis auf Vielfachheit} \right) \text{\ und \ } u < v.
		\].
		Die
		\( \tau_{ij} \) 
		erzeugen die Syzygien auf den
		\( g_{i} \).
		Insbesondere sind die
		\( \tau_{ij} \)
		eine Gr\"obnerbasis der Syzygien bez\"uglich der Ordnung
		\( > \)
		und es gilt
		\( \ini\left( \tau_{ij} \right) = m_{ji}\epsilon_{i}.\)
		\begin{proof}
			Wir beginnen damit zu zeigen, dass
			\( \ini \left( \tau_{ij} \right) 
			=
			m_{ji} \epsilon_{i} \).
			Es gilt 
			\[
				m_{ji} \ini \left( g_{i} \right) 
				= \frac{
					\ini \left(g_{j}\right) 
				}{
					\GCD\left( 
					\ini \left( g_{i} \right),
					\ini \left( g_{j} \right) 
					\right)
				}
				\cdot 
				\ini \left( g_{i} \right) 
				= \frac{
					\ini \left( g_{j}  \right)
					\cdot \left( g_{i} \right)
				}{
					\GCD\left( 
					\ini \left( g_{i} \right),
					\ini \left( g_{j} \right)
					\right)
				}
				=\frac{
					\ini \left( g_{i} \right)
				}{
					\GCD\left( 
					\ini \left( g_{i} \right),
					\ini \left( g_{j} \right)
					\right)
				}
				\ini \left( g_{j} \right)
				= m_{ij} \ini \left( g_{j} \right),
			\]
			und diese Terme sind nach Annahme gr\"osser als alle,
			die in den 
			\( f_{u}^{\left( ij \right)} g_{u} \)
			vorkommen.
			Deshalb ist
			\( \ini\left( \tau_{ij} \right) \)
			entweder
			\( (a) \ m_{ji} \epsilon_{i} \)
			oder
			\( (b) \ -m_{ij}\epsilon_{j} \)
			aufgrund des ersten Teils der Definition der Monomordnung
			\( > \),
			und da
			\( i < j \)
			gilt
			\( m_{ji} \epsilon_{i} 
			> m_{ij}\epsilon_{j} \)
			und somit sind wir im Fall 
			\( (a) \).\\
			Jetzt ist noch zu zeigen,
			dass die 
			\( \tau_{ij} \)
			eine Gr\"obnerbasis bilden.  \\
			Sei 
			\( \tau = \sum f_{v} \epsilon_{v}\)
			eine beliebige Syzygie.
			Wir m\"ussen nun zeigen,
			dass 
			\( \ini\left( \tau \right) \)
			durch eine der 
			\( \ini\left( \tau_{ij} \right)\)
			teilbar ist,
			also
			\( \ini\left( \tau \right) \)
			ein Vielfaches von einem
			\( m_{ji} \epsilon_{i} \)
			mit
			\( i<j \).\\
			F\"ur jeden Index
			\(v \),
			sei
			\(n_{v} \epsilon_{v}
			=\ini\left( f_{v}\epsilon_{v} \right) \).
			Da diese Terme sich gegenseitig nicht k\"urzen,
			schliesslich befinden wir uns in einer direkten Summe,
			gilt
			\( { \ini\left( \sum f_{v}\epsilon_{v} \right)=
			n_{i}\epsilon_{i} }\)
			f\"ur ein 
			\( i\).
			Sei
			\( \sigma=\sum'n_{v} \epsilon_{v} \)
			die Summe \"uber alle Indices
			\( v \)
			f\"ur die gilt
			\( n_v \ini \left( g_{v} \right)
			=n_{i} \ini\left( g_{i} \right) \)
			bis auf Skalarmultiplikation.
			Alle Indices
			\( v \)
			in dieser Summer sind 
			\( \ge i \),
			da wir angenommen haben,
			dass 
			\( n_{i} \epsilon_{i} \)
			der initiale Term von 
			\( \tau \)
			ist. \\
			Deshalb ist 
			\( \sigma \)
			eine Syzygie auf den
			\( \in\left( g_{v} \right) \)
			mit 
			\( v \ge i\).
			Aus  \ref{syzygygen} 
			folgt, 
			dass alle solche Syzygien von den
			\( \sigma_{uv} \)
			f\"ur 
			\( u,v \ge i \),
			und die 
			\( \sigma_{uv} \) ,
			in denen 
			\( \epsilon_{i} \) 
			vorkommen,
			sind die
			\( \sigma_{ij}\)
			mit
			\( j > i \).
			Daraus folgt, 
			dass die Koeffizienten 
			\(n_{i}\)
			in dem von den 
			\(m_{ji}\) 
			erzeugten Ideal liegt,
			f\"ur 
			\( j> i \)
			und damit folgt die Behauptung.
		\end{proof}
	\end{thm}
	Dieser komplette Vortrag mit allen LaTeX Documenten findet sich unter \cite{GitHub927589452}.

\input{./bibtex}

\end{document}