QAP.go

package qap

import (
	"math/big"
)

// 基础结构定义
type Fr big.Int      // 有限域元素
type Polynomial []Fr // 多项式表示为系数数组

// R1CS约束系统
type R1CSConstraint struct {
	A []Fr // 左向量
	B []Fr // 右向量
	C []Fr // 输出向量
}

// QAP系统
type QAP struct {
	U []Polynomial // 左输入多项式组
	V []Polynomial // 右输入多项式组
	W []Polynomial // 输出多项式组
	T Polynomial   // 目标多项式(零化多项式)
}

// 示例：将 R1CS 转换为 QAP
func ConvertR1CStoQAP(constraints []R1CSConstraint) QAP {
	numVariables := len(constraints[0].A) // 变量数量
	numConstraints := len(constraints)    // 约束数量

	// 1. 生成评估点
	evaluationPoints := generatePoints(numConstraints)

	// 2. 为每个变量创建多项式
	U := make([]Polynomial, numVariables)
	V := make([]Polynomial, numVariables)
	W := make([]Polynomial, numVariables)

	// 3. 对每个变量进行插值
	for i := 0; i < numVariables; i++ {
		// 收集每个约束中变量的系数
		uPoints := make([]Fr, numConstraints)
		vPoints := make([]Fr, numConstraints)
		wPoints := make([]Fr, numConstraints)

		for j := 0; j < numConstraints; j++ {
			uPoints[j] = constraints[j].A[i]
			vPoints[j] = constraints[j].B[i]
			wPoints[j] = constraints[j].C[i]
		}

		// 通过插值构造多项式
		U[i] = interpolate(evaluationPoints, uPoints)
		V[i] = interpolate(evaluationPoints, vPoints)
		W[i] = interpolate(evaluationPoints, wPoints)
	}

	// 4. 构造目标多项式 t(x)
	T := computeVanishingPolynomial(evaluationPoints)

	return QAP{U, V, W, T}
}

// 使用拉格朗日插值构造多项式
func interpolate(points []Fr, values []Fr) Polynomial {
	result := make(Polynomial, len(points))

	for i := range points {
		basis := computeLagrangeBasis(points, i)
		for j := range result {
			term := mulFr(basis[j], values[i])
			result[j] = addFr(result[j], term)
		}
	}

	return result
}

// 计算零化多项式
func computeVanishingPolynomial(points []Fr) Polynomial {
	// t(x) = (x-r₁)(x-r₂)...(x-rₙ)
	result := Polynomial{Fr{1}} // 从1开始

	for _, point := range points {
		// 乘以 (x-rᵢ)
		term := Polynomial{negFr(point), Fr{1}} // -rᵢ + x
		result = multiplyPolynomials(result, term)
	}

	return result
}

// 验证QAP解
func VerifyQAPSolution(qap QAP, assignment []Fr) bool {
	// 1. 计算左边多项式
	left := evaluatePolynomialSum(qap.U, assignment)
	left = multiplyPolynomials(left, evaluatePolynomialSum(qap.V, assignment))

	// 2. 计算右边多项式
	right := evaluatePolynomialSum(qap.W, assignment)

	// 3. 计算 h(x)
	h := computeQuotientPolynomial(left, right, qap.T)

	// 4. 验证等式
	rightWithH := addPolynomials(right, multiplyPolynomials(h, qap.T))

	return polynomialsEqual(left, rightWithH)
}

// 示例使用
func Example() {
	// 示例：(2x + y)(3x + z) = w
	constraint := R1CSConstraint{
		A: []Fr{Fr{2}, Fr{1}, Fr{0}, Fr{0}}, // 2x + y
		B: []Fr{Fr{3}, Fr{0}, Fr{1}, Fr{0}}, // 3x + z
		C: []Fr{Fr{0}, Fr{0}, Fr{0}, Fr{1}}, // w
	}

	// 转换为QAP
	qap := ConvertR1CStoQAP([]R1CSConstraint{constraint})

	// 验证解 x=1, y=2, z=3, w=11
	assignment := []Fr{Fr{1}, Fr{2}, Fr{3}, Fr{11}}
	if VerifyQAPSolution(qap, assignment) {
		println("QAP solution is valid!")
	}
}

// 辅助函数
func addFr(a, b Fr) Fr {
	// 有限域加法
	return Fr{}
}

func mulFr(a, b Fr) Fr {
	// 有限域乘法
	return Fr{}
}

func negFr(a Fr) Fr {
	// 有限域取负
	return Fr{}
}

func generatePoints(n int) []Fr {
	// 生成n个不同的域元素作为评估点
	points := make([]Fr, n)
	// 实现点的生成逻辑
	return points
}

func evaluatePolynomialSum(polys []Polynomial, assignment []Fr) Polynomial {
	// 计算多项式线性组合
	return Polynomial{}
}

func multiplyPolynomials(a, b Polynomial) Polynomial {
	// 多项式乘法
	return Polynomial{}
}

func addPolynomials(a, b Polynomial) Polynomial {
	// 多项式加法
	return Polynomial{}
}

func computeQuotientPolynomial(a, b, t Polynomial) Polynomial {
	// 计算商多项式 h(x)
	return Polynomial{}
}

func polynomialsEqual(a, b Polynomial) bool {
	// 检查两个多项式是否相等
	return true
}