Rörelse som kan beskrivas $x(t) = A\sin(\omega t + \rho)$.
Erhålls då $F=-kx$.
$A$ innebär amplitud, $\omega$ vinkelfrekvens ($rad/s$), $t$ tid och $\rho$ fas / tidsförskjutning. Det handlar alltså om något som rör sig fram och tillbaka med mjukhet.
Den konserverande kraften $F$ har som mål att återfå rörelsen till jämviktsläge. Kraften ökar linjärt med avståndet från jämviktsläget.
Energin hos en harmonsik svängning beskrivs med sambandet $E=\frac{kA^2}{2}$. När massan är i jämviktsläget är energin potentiell i fjädern. I andra lägen är den kinetisk.
Frekvensen beror på vinkelfrekvens, $f=\frac{\omega}{2\pi}\text{Hz}$. Frekvensen beskriver antalet varv per sekund.
Vinkelfrekvensen kan i sin tur därför skrivas $\omega=2\pi f$. Vinkelfrekvensen beskriver antalet delar av en hel svängning (radianer) per sekund ($r/s$).
Vinkelfrekvensen har även ett samband med fjäderkonstanten $k$ och massan $m$ i $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$. Detta samband fick vi från beviset ovan.
Svängningens periodtid beskrivs med $T=\frac{1}{f}$.
Fjäderkonstanten $k$ anges i $N/m$.
Rörelse som beskrivs av $x(t)=A_0e^{-\frac{\gamma}{2}t}\sin(\omega t + \rho)$.
Erhålls då $F=-kx-bv$.
Här innebär $\gamma$ dämpningen, ett värde som saknar en bestämd enhet. $A_0$ är den ursprungliga amplituden. Med dämpning menas att amplituden avtar med tiden. Värdet $b$ beskriver den bromsande kraften eller motståndskoefficienten.
Den ursprungliga vinkelfrekvensen får samma samband som vinkelfrekvensen för harmonisk svängning - $\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$.
Vinkelfrekvensen får istället sambandet $\omega=\sqrt{\omega_0^2-\frac{\gamma}{4}^2}$.
För dämpningen gäller $\gamma=\frac{b}{m}$.
Erhålls då ett dämpat system utsätts för en extern harmonisk kraftpåverkan (fysikers termer) eller störning (civilingenjörers termer).
Uttrycks $F=-kx-bv+F_0\sin(\mu t)$.
Här är $F_0$ kraftamplituden och $\mu$ vinkelfrekvens likt $\omega$. Man använder $\omega$ alternativt $\omega_0$ för att uttrycka systemets frekvens och $\mu$ för att beskriva den tvingande frekvensen.
Inom mekaniska system är man nästan alltid intresserad av jämviktsläget, men sällan vad som händer första millisekunderna. Vi kan alltså försumma en homogen lösning. Vi säger därför att $x(t)=x_p(t)$. I tidigare svängningar har vi enbart tagit hänsyn till den homogena lösningen.
Svängningen beskrivs med funktionen $x(t)=A(\mu)\sin(\mu t + \rho)$. Här innebär $A(\mu)$ respons och $\rho$ fasskillnaden mellan störning och svängning.
När $\mu$ går mot noll blir responsen låg, men den går inte mot noll. När $\mu$ växer och går mot oändligheten går dock responsen mot noll. Detta kallas osynlighetsområdet.
För amplituden gäller $A=\frac{C}{\sqrt{(\omega_0^2-\mu^2)^2+\gamma^2\mu^2}}$. För fjädrar gäller $C=\frac{F_0}{m}$.
Energin $E=E_0e^{-\gamma t}$.
Resonans vid $\mu=\omega_0, \omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$.
Kvalitetsfaktorn $Q=\frac{\omega_0}{\gamma}$ svarar på frågan "är systemet känsligt för interferens?". Lågt $Q$ ges av ett mindre känsligt system, ett högt $Q$ innebär ett mer känsligt system.
$E_{res}=\frac{D}{\gamma^2 \omega_0^2}$
TODO: responskurva
Vågfunktion $s(r, t)=A(r)\sin(\omega t -kr+\rho)$.
Vågtal $k=\frac{2\pi}{\lambda}$.
Vågfart $u=\frac{\omega}{k}=\lambda f$.
Våglängden $\lambda$ är avståndet mellan två vågtoppar.
Vidare gäller $\ddot{S}=u^2s''$ för alla vågor där $\ddot{S}$ är tidsderivata för $S$ och $s''$ är $x$-derivata för $s$. Vidare är $u$ vågfarten.
$I_u$ betecknar intensiteten en meter från källan. $A_u$ betecknar amplituden en meter från källan.
$S(r, t)= A_u\sin(\omega t-kr+\rho)$.
$A(r)=A_u$.
För dämpat fall gäller $A=A_ue^{-\alpha(r-1)}$
För snöre gäller $u=\sqrt{\frac{T}{\rho}}$ där $T$ står för tension och $\rho$ för densitet. För snöre gäller $\rho=\frac{m}{l}$.
$S(r, t)=\frac{A_u}{\sqrt{r}}\sin(\omega t-kr+\rho)$.
$A(r)=\frac{A_u}{\sqrt{r}}$
$I=\frac{I_u}{r}$. Intensiteten är i detta fall effekt per area, $I=\frac{P}{r^2}$.
För ljud så är $A_u$ samma sak som tryckamplitud.
Generellt gäller i två dimensioner att vågen varar länge.
$S(r, t)=\frac{A_u}{\sqrt{r}}e^{-\alpha(r-1)}\sin(\omega t-kr+\rho)$.
För dämpat fall gäller $A=e^{-\alpha(r-1)}$.?????
$S(r, t)=\frac{A_u}{r}\sin(\omega t-kr+\rho)$.
$A(r)=\frac{A_u}{r}$ där $A_u=A$ vid en meter från källan.
$I=\frac{I_u}{r^2}$
$I=\frac{P}{4\pi r^2}$ (effekt per volym).
Generellt gäller i tre dimensioner att vågen är kortvarig.
$S(r,t)=\frac{A_u}{r}e^{-\alpha(r-1)}\sin(\omega t-kr+\rho)$.
För dämpat fall gäller $A=e^{-\alpha(r-1)}$.????
Vi begränsar oss till vågor som svänger i fas.
$\Delta r=|r_2-r_1|$
Amplituden för varje punkt ges av $A(\Delta r)=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(k\Delta r)}$ där $k$ är vågtalet.
Vid positiv interferens gäller $A=A_1+A_2\iff\Delta r=n\lambda$
Vid negativ interferens gäller $A=|A_2-A_1|\iff\Delta r=n\lambda+\frac{\lambda}{2}$
Interferens längs en linje mellan källorna. Vid reflektion möts två likadana vågor, varvid en stående våg uppstår. Vi begränsar oss inte längre till vågor som svänger i fas.
$S_1=A_1\sin(\omega t-kr)$ och $S_2=A_2\sin(\omega t + k(r-L)+\rho)$ där vi använder $r-L$ för att nollställa $S_2$s origo till punkten $L$. Konstanten $\rho$ betecknar här fasskillnaden.
Vågen i en punkt längs linjen ges av $S_f=S_1+S_2=A\sin(\omega t + \delta)$.
$A(r)=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1A_2\cos(2kr)}$
$\delta=\arctan\big(\frac{(A_1+A_2)\cos(kr+\frac{\theta}{2})}{(A_2-A_1)\sin(kr+\frac{\theta}{2})}\big)$
$\theta=\rho-kL$
Med bukar menas punkter där vågen svänger som mest ($S_f=0$, i $A$ gäller $\cos=\pm 1$). Med noder menas punkter som inte svänger alls (i $A$ gäller $\cos=0$). Avståndet mellan bukar är $\frac{\lambda}{2}$. Mellan bukar finns en nod.
För två vågkällor som svänger i fas finns alltd en buk mitt mellan vågkällorna.
Återkommande reflektion.
Vid lika sidor gäller $L=\frac{n\lambda}{2}$ där $L$ är den inneslutande längden. $f=\frac{u}{2Ln}$.
Vid olika sidor gäller $L=\frac{n\lambda}{2}+\frac{\lambda}{4}$
TODO: buk, hårda?
$f_m=\frac{u-v_m}{u-v_s}f_s$ där $_m$ är mottagare och $_s$ sändare
Positiv med signalens riktning gentemot mottagaren (minus kvar i formeln).
TODO: bild här
$\Theta=2\arcsin(\frac{u}{v})$
Atomnummer ($z$) - antal protoner - ämnet ("alla atomer med kärnor som har 26 protoner är järn").
Protoner - laddade med $+1e$ (lika många elektroner som protoner).
Masstal ($m$) - antal protoner + neutroner (nukleoner). Förklarar vilken isotop det rör sig om. Det finns ungefär 90 stabila ämnen - många fler isotoper.
Beteckna isotop - $^7\text{Li}$ är en isotop av litium (atomnummer 3) som har 4 neutroner). $^{58}\text{Fe}$ är en isotop av järn (atomnummer 26) som har 32 neutroner.
$E_{tot}=\Delta m*c^2$
$1;\text{eV}=1.602*10^{-19};\text{J}$
$1;\text{u}=1.6605402*10^{-27};\text{kg}$
TODO: infoga bild över instabil och stabil kärna
En alfapartikel består av 2 protoner och 2 neutroner - $^4\text{He}$. Alfastrålning är den minst farliga strålningen utanför kroppen, men den mest farliga inuti.
$E_\alpha = \underbrace{E_{k\alpha}}\text{kinetisk energi}+\underbrace{E{0\alpha}}_{viloenergi}$.
$E_{0\alpha}=3.72738;\text{GeV}$
$E_0=m_0c^2$
$z^m\text{A}\rightarrow\ ^{m-4}{z-2}\text{B}+\ ^4_2\text{He}$
TODO: infoga spektrum här.
$z^m\text{A}\rightarrow\ ^{m}{z\pm1}\text{B}+e^\pm+\stackrel{\text{(-)}}{\cup}$
$^m_{z\pm1}\text{B}$ och $e^\pm$ har motsatt laddning. Neutrinon $\stackrel{\text{(-)}}{\cup}$ har samma laddning som elektronen.
TODO: infoga spektrum här
Den relativistiska kinetisk energin $E_k=(\gamma-1)E_0$ där $E_0=mc^2$, gammafaktorn $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}$ och rapiditeten $r=\frac{v}{c}$.
TODO: infoga bild över fission här
En kärna delas i två eller fler dotterkärnor. Spontan fission sker från ett grundtillstånd. Stimulerad fission sker från ett eciterat tillstånd - exempelvis neutroninducerat.
Antal reaktioner i en viss isotop med massan $M(^mA)$ för en viss massa $m$ är $\frac{m}{M(^mA)}$. Exempelvis är antalet reaktioner för $1;\text{kg}$ $^2H$ med massan $M(^2H)=2.014102$ $ n=\frac{1}{2.1014102;\text{u}}=2.866*10^{26};\text{st}$.
Uran:
$^{235}\text{u}+n\rightarrow\ ^{236}\text{u}*\rightarrow\text{massa kärnor}+\text{neutroner}+\text{energi}$
I snitt $215 MeV$ och $2.4$ neutroner.
Plutonium:
$^{239}\text{Pu}+n\rightarrow\ ^{240}\text{Pu}*\rightarrow\text{massa kärnor}+\text{neutroner}+\text{energi}$
Två kärnor "smälter" samman till en.
PP-kedjan
$$
\begin{align}{}
p+p\rightarrow\ ^2\text{He}\stackrel{\beta}{\rightarrow}\ ^2\text{H}&\
&\rightarrow\ ^4\text{He}\
p+p\rightarrow\ ^2\text{He}\stackrel{\beta}{\rightarrow}\ ^2\text{H}&
\end{align}
$$
CNO-cykeln
$$
\underbrace{^{12}\text{C}}\text{stabil}+4p\rightarrow\ \underbrace{^{13}\text{N}}\text{instabil}+3p\stackrel{\beta}{\rightarrow}\ \underbrace{^{13}\text{C}}\text{instabil}+3p\rightarrow\ \underbrace{^{14}\text{N}}\text{stabil}+2p\rightarrow\ \underbrace{^{15}\text{O}}_\text{instabil}+p\stackrel{\beta}{\rightarrow}\ ^{15}\text{N}+p\rightarrow\ ^{16}\text{O}*\stackrel{\alpha}{\rightarrow}\ ^{12}\text{C}+\ ^4_2\text{He}
$$
$PV=nRT$ där $n$ är antal mol
$PV=Nk_BT$ där $N$ är antal partiklar och $k_B$ är Boltzmanns konstant
Med adiabatisk menas att inget är konstant.
Isoterm innebär att temperaturen är konstant, vilket innebär att $PV$ är konstant. TODO: infoga bild här. $\Delta E=P_iV_i*ln(\frac{V_B}{V_A})$
Isobar innebär att trycket är konstant, vilket innebär att $\frac{V}{T}$ är konstant. TODO: infoga bild här. $\Delta E=P\Delta V$
Isokor innebär att volymen är konstant vilket innebär att $\frac{P}{T}$ är konstant. TODO: infoga bild här. $\Delta E=0$
Energin per partikel varierar. För en atom gäller $E=\frac{3}{2}k_BT$. För två atomer gäller $E=\frac{5}{2}k_BT$. För tre atomer gäller $E=3k_BT$. Allitd gäller $\frac{mv^2}{2}=\frac{3}{2}k_BT$.
Effekten vid reflektion genom flera av samma medium $P=T^nP$ där $T=1-R$
Reflektansen $R=\big(\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1}\big)^2$ där $Z=\rho*u$ där $\rho$ är densiteten och $u$ ljudets hastighet för ett vist medium.
Hastigheten $u=\frac{Z}{\rho}$ där $Z$ är den akustiska impedansen för ett visst medium.
Reflektansen $R=\big(\frac{n_2-n_1}{n_2+n_1}\big)^2$ där brytningsindexet $n=\frac{c}{u}$
Brewstervinkeln: Vid $\Theta_B$ (Brewstervinkeln) blir allt reflekterat ljus polariserat.