估计方法:MUSIC (MUltiple SIgnal Classification) 首先，我们认为信号有 $p$ 个频率分量，定义信号幅度矢量为
$$\pmb{S} = [s_1,s_2,...,s_p]^\mathrm{T}$$
而我们测出 $M$ 个测量值( $M{\leqslant}p+1$ )，那么定义旋转矢量（Steering Vector）
$$\pmb{a}(\omega) = [1,e^{j\omega},e^{j2\omega},...,e^{j(M-1)\omega}]^\mathrm{T}$$
他表示 $M$ 个等相位差测量装置的相位分布情况，而 $\omega$ 即为相邻接收装置的相位差；
现假设第1个接收装置接收到的信号没有相位差，那么他接收到的信号应为 $x_1 = [1,1,...,1]\pmb{S}$ ，自然也就知道了第 $m$ 个接收装置接收到的信号为
$$x_m = e^{j(m-1)\omega}x_1$$
设接收信号矢量
$$\pmb{X}=[x_1,x_2,...,x_M]^\mathrm{H}$$
把他展开，可以提取出 $\pmb{a}(\omega)$ 得到
$$\pmb{X} = \pmb{A}\pmb{S}$$
其中
$$\pmb{A} = [\pmb{a}(\omega_1),\pmb{a}(\omega_2),...,\pmb{a}({\omega}_p)]$$
是一个由旋转矢量组成的范德蒙矩阵(Vandermonde matrix)；
除此之外，信号在传输过程中会出现噪声，我们设噪声为 $\pmb{N}$ ，它的各个分量都是方差为 $\sigma^2$ 的白噪声且互相正交；从而得到接收信号最终的建模为
$$\pmb{X} = \pmb{A}\pmb{S}+\pmb{N}$$
我们拿到了信号 $\pmb{X}$ ，先求其自相关矩阵
$$\pmb{R}_x = E[\pmb{X}\pmb{X}^\mathrm{H}]$$
代入可得
$$\pmb{R}_x = E[(\pmb{A}\pmb{S} + \pmb{N})(\pmb{S}^\mathrm{T}\pmb{A}^\mathrm{T} + \pmb{N}^\mathrm{T})]$$
展开得
$$\pmb{R}_x = E[\pmb{A}\pmb{S}\pmb{S}^\mathrm{T}\pmb{A}^\mathrm{T}] + E[\pmb{A}\pmb{S}\pmb{N}^\mathrm{T}] + E[\pmb{N}\pmb{S}^\mathrm{T}\pmb{A}^\mathrm{T}] + E[\pmb{N}\pmb{N}^\mathrm{T}]$$
由于 $\pmb{N}$ 的性质，得 $E[\pmb{A}\pmb{S}\pmb{N}^\mathrm{T}] = E[\pmb{N}\pmb{S}^\mathrm{T}\pmb{A}^\mathrm{T}] = 0$ ，所以我们有
$$\pmb{R}_x = \pmb{A}(E[\pmb{S}\pmb{S}^\mathrm{T}])\pmb{A}^\mathrm{T} + E[\pmb{N}\pmb{N}^\mathrm{T}]$$
即
$$\pmb{R}_x = \pmb{A}\pmb{R}_s\pmb{A}^\mathrm{T} + \pmb{R}_n$$
最终可以得到
$$\pmb{R}_x = \pmb{A}\pmb{R}_s\pmb{A}^\mathrm{T} + \sigma^2\pmb{I}$$
其中 $\pmb{R}_x$ 是 $M$ 阶方阵，而 $\pmb{R}_s$ 是 $p$ 阶方阵。
根据自相关矩阵的性质，接收信号 $\pmb{X}$ 的自相关矩阵 $\pmb{R}_x$ 一定是一个厄米矩阵，所以可以进行特征值分解且特征值一定为实数；将分解后得特征值按照从大到小得顺序排列，得到特征向量组 ${\pmb{v}_1,\pmb{v}_2,...,\pmb{v}_M}$ ，定义前 $p$ 个特征向量组 $\pmb{U}_s = [\pmb{v}_1,\pmb{v}_2,...,\pmb{v}p]$ 即为信号子空间；
而后 $M-p$ 个特征向量组 $\pmb{U}n = [\pmb{v} {p+1},\pmb{v} {p+2},...,\pmb{v}_M]$ 为噪声子空间，且与信号子空间正交；
由此，我们可以定义信号矢量 $\pmb{e}$ 与噪声子空间的平方范数
$$d^2 = {\Vert{\pmb{U}_n^\mathrm{H}\pmb{e}}\Vert}^2 = \pmb{e}^\mathrm{H}\pmb{U}_n\pmb{U}n^\mathrm{H}\pmb{e} = \sum {i=p+1}^{M}{|\pmb{e}^\mathrm{H}\pmb{v}i|}^2$$
其表征了 $\pmb{e}$ 在噪声子空间投影的大小，自然如果 $\pmb{e}$ 完全由信号组成，则其与噪声子空间正交，其平方范数 $d^2=0$ ，那么 $d^2$ 的倒数会产生一个尖峰，也就是功率谱中信号频率位置的冲激函数。最后，MUSIC方法估计的功率谱为
$$\hat{P}(e^{j\omega}) = \frac{1}{d^2} = \frac{1}{\sum {i=p+1}^M{|\pmb{b}^\mathrm{H}\pmb{v}_i|}^2}$$