具有某种特定性质的事物的总体称为集合。
组成集合的事物称为元素。
不含任何元素的集合称为空集，记作 $\O$ 。
元素 $a$ 属于集合 $M$，记作$a \in M$ 。
元素 $a$ 不属于集合 $M$，记作 $a \overline{\in} M$ （或 $a \notin M$）。
按某种方式列出集合中的全体元素。
例：有限集合 $A={a_{1}, a_{2},..., a_{n}} = {a_{i}}_{i=1}^{n}$
自然数集 $N={0,1,2,...,n,...}= { n}$
$M$ 为数集：
1.$M^{*}$ 表示 $M$ 中排除 0 的集。
2.$M^{+}$ 表示 $M$ 中排除 0 与负数的集。
$M ={x|x$ 所具有的特征 $}$
例：整数集合 $Z={x| x \in N $ 或 $ -x\in N^{+}}$
有理数集 $\displaystyle Q = {\frac{p}{q} , p \in Z, q \in N^{+} ,, p $ 与 $q$ 互质 $\displaystyle }$
实数集合 $\displaystyle R= {x| x $ 为有理数或无理数 $\displaystyle}$
两个整数互质（或互素）是指它们没有大于 1 的整数公因子。
定义 设有集合 $A,B$，若 $x\in A$ 则必有 $x \in B$，则称 $A$ 是 $B$ 的子集，或称 $B$ 包含 $A$，记作 $A \subset B$。
若 $A \subset B$ 且 $B \subset A$，则称 $A$ 与 $B$ 相等，记作 $A=B$.
例如： $N \subset Z \subset Q \subset R$
N 自然数集，Z 整数集，Q 有理数集，R 实数集
显然有下列关系：
（1）$A \subset A;,A= A ,; \O \subset A$
（2）$A \subset B$ 且 $B \subset C \Rightarrow A\subset C$
给定两个集合 $A,B$，定义下列运算：
并集 $A \cup B = { x|x \in A $ 或 $ x\in B }$
交集 $A \cap B = { x|x \in A $ 且 $ x\in B }$
差集 $A \setminus B = { x|x \in A $ 且 $ x\notin B }$
区间：是指介于某两个实数之间的全体实数，这两个实数叫做区间的端点。
$\forall a,b \in R,$ 且 $a < b$。
${x| a < x < b}$ 称为开区间，记作$(a,b)$。
${x| a\leq x \leq b}$ 称为闭区间，记作$[a,b]$。
${x| a\leq x < b}$ 称为半开区间，记作$[a,b)$
${x| a < x \leq b}$ 称为半开区间，记作$(a,b]$
以上为有限区间。
无限区间：
$[a, +\infty) = {x|a \leq x}$
$(-\infty,b) = {x|x < b}$
设 $x_{0} \in R, \delta > 0$，点 $x_{0}$ 的 $\delta$ 邻域。
$U(x_{0}, \delta) = {x| |x - x_{0}| < \delta}$
$={x|x_{0} -\delta <x < x_{0} + \delta }$
$=(x_{0} - \delta, x_{0} + \delta)$
点 $x_{0}$ 的 $\delta$ 去心邻域
$\overset{\circ}{U}(x_{0}, \delta) = {x|0 <|x - x_{0}| < \delta, x\neq x_{0}$
$={x|x_{0} -\delta <x < x_{0} + \delta, x\neq x_{0} }$
$=(x_{0}-\delta, x_{0}) \cup (x_{0}, x_{0} + \delta) $
设 $X,Y$ 是集合。
若 $\forall x \in X$，$\exists$ 唯一的 $y \in Y$，使得
$f:x \rightarrow y$
则称 $f$ 为 $X$ 到 $Y$ 的一个映射。
记为 $y = f(x)$
y 是 x 在 f 下的像。
x 是 y 的原像
对应法则：$f$
定义域：$D_{f} = X$
值域：$R_{f} = f(X) = { f(x)| x \in X }$
$f: X \rightarrow Y$
$\forall y \in Y, \exist x \in X \Rightarrow f(x) = y$
$Y$ 中每一个元素都是映射 $f$ 的像。
$f: X \rightarrow Y$
$\exist y \in Y, \forall x \in X \Rightarrow f(x) \neq y$
$f: X \rightarrow Y$
$\forall a, b \in X$
$a \neq b \Rightarrow f(a) \neq f(b)$ 或 $f(a) = f(b) \Rightarrow a = b$
不同的元素有不同的像。(或像相同，原像也一定相同)
$f: X \rightarrow Y$
$\exist a,b \in X, a\neq b$ ，但 $ f(a) = f(b)$
至少存在两个不同的元素有相同的像。
$f: X \rightarrow Y$
既单又满的映射称为双射，或一一映射。
单射 + 满射 = 双射
单射很重要
每一个单射都可以诱导一个双射。
若 $f:X \rightarrow Y$ 是单射，则 $f: X \rightarrow f(X)$ 是双射。
每一个单射也可以诱导一个逆映射。
若 $f:X \rightarrow Y$ 是单射，则 $f:X \rightarrow Y$ 可逆
逆映射 $f^{-1}: f(X) \rightarrow X$
$\forall y \in f(X), \exist $ 唯一的 $ x \in X，f(x) = y \Rightarrow f^{-1}: y \rightarrow x$
$x = f^{-1}(y)$ $y=f(x)$
函数是数集 $X$ 到实数集 $R$ 的映射：
$f: X \rightarrow R$ ， $X \subseteq R$
设 $f:x \rightarrow y$ ，记 $y = f(x)$
对应法则：$f$
定义域：$D_{f} = X$
值域：$R_{f} = f(X) = { f(x)| x \in X }$
$f: X \rightarrow R$
$G = {(x, f(x))| x \in D_{f} }$
若函数 $y = f(x)$ 是单射：
$x_{1} \neq x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) \neq f(x_{2})$
则函数 $f$ 可逆，逆映射
$x = f^{-1}(y)$ 其中 $y = f(x) \in f(D)$
就是 $y = f(x)$ （称为直接函数）的反函数。
$y=f^{-1}(x)$
单调函数的反函数也是同类单调函数
如果直接函数是单增，则反函数也是单增；
如果直接函数是单减，则反函数也是单减。
一个函数有反函数的条件是什么?
定理（反函数的存在性）
一个函数有反函数的条件是它是一个单映射。
单调函数一定有反函数。不是单调的函数可能有反函数。
反函数的图形
反函数的图形与直接函数的图形是同一个图形，且关于直线 $y=x$ 对称。
在不同的范围（区间）用不同的数学表达式来表示的函数称为分段函数。
几个重要的分段函数：
$\displaystyle y = |x|= \left {\begin{matrix} x & x\geq 0 \ -x& x<0 \end{matrix}\right.$
定义域：$(-\infty, +\infty)$
值域：$[0, +\infty)$
它是偶函数。
- 几何意义：$|x| = x$ 与 0 之间的距离。
$|x - a| = x$ 与 $a$ 之间的距离。
-
性质：
$x \geq 0 \Leftrightarrow |x| = x$ $x\leq 0 \Leftrightarrow |x| = -x$
$|x| \leq M \Leftrightarrow-M \leq x \leq M$
$|x|\geq M \Leftrightarrow x \geq M$ 或 $x \leq -M$
$|x-x_{0}|\leq M \Leftrightarrow x_{0}-M \leq x \leq x_{0} + M$
$|x - x_{0}|\geq M \Leftrightarrow x\leq x_{0} - M$ 或 $x \geq x_{0} + M$
$\displaystyle y= sgn(x) = \left{\begin{matrix} 1 &x>0 \ 0 &x=0\ -1 &x<0\end{matrix}\right.$
定义域：$(-\infty, +\infty)$
值域：${-1,0,1}$
图形关于原点堆成，它是奇函数。
-
性质：对任何实数 $x$ ，有
$x = sgn(x) \cdot|x|$ $\displaystyle |x| = sgn(x) \cdot x \Rightarrow sgn(x) = \frac{x}{|x|} = \frac{|x|}{x} ,(x\neq 0)$
$x > 0 \Leftrightarrow sgn(x) = 1$
$x < 0 \Leftrightarrow sgn(x) = -1$
$x > a \Leftrightarrow sgn(x - a) = 1$
$f(x) = [x]$
其中 $[x]$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数，$[x] = max {x \in Z | n \leq x}$
$[x] = \left\lfloor x \right\rfloor$ 向左取整，向下取整
取整函数也是分段函数： $f(x) = [x] = n, n\leq x <n+1 ,(n =0, \pm1, \pm2,...)$
向上取整：$f(x) = ceil(x) = min{n \in Z | n \geq x} = \left\lceil x \right\rceil$
向零取整：$f(x) = trunc(x)$ ，例：$trunc(2.5) = 2,, trunc(-2.5) = -2$
四舍五入函数：$f(x) = round(x)$
设集合 $X \subseteq D_{f}$ （函数 $f(x)$ 的定义域），如果
$\exist M > 0$ ，$\forall x \in X$，使得 $|f(x)| \leq M $
则称函数 $f(x)$ 在集合 $X$ 上有界。
$\forall M>0$ ，$\exists x \in X$ ，使得 $|f(x)| > M$
则称函数 $f(x)$ 在集合 $X$ 上 无界。
$\exists A \in R$ ，$\forall x \in X$ ，使得 $f(x) \geq A$
则称函数 $f(x)$ 在集合 $X$ 上有下界（A 是下界）。
$\exists B \in R$ ，$\forall x \in X$ ，使得 $f(x) \leq B$
则成函数 $f(x)$ 在集合 $X$ 上有上界（B 是上界）。
-
有界性的另一个方便的刻画：
命题：函数 $f(x)$ 在集合 $X$ 上有界的充分必要条件是它在 $X$ 上既有上界又有下界。
证：必要性 若函数 $f(x)$ 在 $X$ 上有界，
则存在 $M > 0$ ，使得 $-M \leq f(x) \leq M$
所以 $f(x)$ 在 $X$ 上有上界 $M$ 和下界 $-M$ 。
充分性 若函数 $f(x)$ 在 $X$ 上既有上界 B 又有下界 A ，即 $A\leq f(x) \leq B$
令 $M = max{|A|, |B|}$ ，
则 $-M \leq A \leq f(x) \leq B \leq M$
得 $|f(x)| \leq M$
所以 $f(x)$ 在集合 $X$ 上有界。
函数的有界性与集合 $X$ 有关。
对于 $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ ，在 $(0,1]$ 内无界，在 $[1, +\infty)$ 内有界。
-
常见的有界函数（在其定义域内有界，整体有界函数）
$|sinx| <\leq 1$
$|cosx| \leq 1$
$\displaystyle -\frac{\pi}{2} < arctanx < \frac{\pi}{2}$
$0 < arccotx < \pi$
$\displaystyle 0 < \frac{1}{1 + x^{2}} \leq 1$
注意：
只要外函数有界，复合函数必有界。
$\displaystyle sin\frac{1}{x}$ $sin(3x^{2} + 1)$ $\displaystyle arctan\frac{3}{1 + x}$
$\Rightarrow$
$\displaystyle|sin\frac{1}{x}| \leq 1$ $|sinx(3x^{2} + 1)| \leq 1$ $\displaystyle|arctan\frac{3}{1 + x}| < \frac{\pi}{2}$
-
几个重要的无界函数：
$y = xsinx$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内无界。
$\displaystyle y = \frac{1}{x}sin\frac{1}{x}$ 在 $(1, +\infty)$ 内有界，在 $(0, 1)$ 内无界。
设函数 $I$ 是函数 $f(x)$ 的定义域内的一个区间。
$\forall x_{1},x_{2} \in I$ $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2})$
则函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调增加。
$\forall x_{1}, x_{2} \in I$ $x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) > f(x_{2})$
则函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调减少。
在一个区间上单调增加或单调减少的函数称为单调函数。
1.可以对式子进行转化，控制 x 的出现次数，从而判断单调性。
2.设 $x_{1} < x_{2} \in I$ ，通过 $f(x_{2}) - f(x_{1})$ 是否为正来判断，大于 0 则单增，小于 0 则单减。
3.设 $x_{1} < x_{2} \in I$ ，通过 $\displaystyle \frac{f(x_{2})}{f(x_{1})}$ 是否大于 1 来判断，大于 1 则单增，小于 1 则单减。
4.利用函数的导数的符号来判定函数的单调性。
设函数 $f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称 ，即 $x \in D \Rightarrow -x \in D$
$\forall x \in D$ $f(x) = f(-x)$
则称函数 $f(x)$ 是偶函数。
$\forall x \in D$ $f(-x) = -f(x)$
则称函数 $f(x)$ 是奇函数。
偶函数图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
若奇函数 $f(x)$ 在 0 处有定义，则必有 $f(0) = 0$ 。
设函数 $f(x)$ 的定义域关于原点对称>，
则
$\displaystyle g(x)= \frac{f(x) + f(-x)}{2}$ 是偶函数：$g(-x) = g(x)$
$\displaystyle h(x) = \frac{f(x) - f(-x)}{2}$ 是奇函数：$h(-x) = -h(x)$
且 $f(x) = g(x) + h(x)$
所以，
如果函数 $f(x)$ 的定义域关于原点对称，
则
$f(x) + f(-x)$ 是偶函数
$f(x) - f(-x)$ 是奇函数。
例如指数函数 $\displaystyle y = e^{x} (-\infty < x < + \infty)$
$\displaystyle chx =\frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$ 是偶函数 称为双曲余弦。
$\displaystyle shx = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$ 是奇函数 称为双曲正弦。
-
讨论函数奇偶性：
1.首先判断定义域是否关于原点对称 ，如果定义域不对称，则该函数没有奇偶性。
2.可以通过将函数转化成 $a-b$ 或 $a + b$ 的格式，再通过函数的奇偶分解来判断。
3.将 $f(-x)$ 代入转化，得出结果 $f(-x) = -f(x)$。
例如：
$f(x) = ln(x + \sqrt{x^{2} + 1})$
解：函数的定义域是 $(-\infty, +\infty)$
$\displaystyle f(-x) = ln(-x + \sqrt{(-x)^{2} + 1}) = ln(-x + \sqrt{x^{2} + 1}) $
$\displaystyle = \frac{x^{2} + 1 - x^{2}}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} = -ln(x+ \sqrt{x^{2} + 1}) = -f(x)$
所以函数是奇函数。
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$。
如果存在一个正数 $l$，使得 $\forall x \in D \Rightarrow x \pm l \in D$
且 $f(x + l) = f(x)$ 恒成立，
则称 $f(x)$ 为以 $l$ 为周期的周期函数。
若 $l$ 是函数 $f(x)$ 的周期，则 $2l,3l,...$ 也是函数的周期。通常我们说的周期是函数的最小正周期。
| 函数 |
最小正周期 |
|
$sinx$ $cosx$
|
$l=2\pi$ |
|
$tanx$ $cotx$
|
$l = \pi$ |
|
$C$ （常数） |
以任何整数为周期
（没有最小正周期） |
- 若函数 $f(x)$ 以 $l$ 为周期数，则 $f(ax + b)$ 以 $\displaystyle\frac{l}{a}$ （$a > 0$）为周期。
- 狄利克雷函数是没有最小正周期的周期函数，每一个正有理数都是函数的周期。
证明: $\displaystyle D(x) = \left{\begin{matrix} 1&，当 x 是有理数 \ 0 &，当x时无理数 \end{matrix}\right.$ 狄利克雷函数以任何有理数为周期。
证：设 $l$ 是一个正有理数， $\forall x \in R$
若 $x$ 是有理数，则 $x + l$ 也是有理数，有 $D(x + l) = 1 = D(x)$
若 $x$ 是无理数，则 $x+ l$ 也是无理数，有 $D(x + l) = 0 = D(x)$
设函数 $y = f(u)$ 的定义域为 $D_{f}$ ，
函数 $u=g(x)$ 的 定义域为 $D_{g}$ ，值域为 $R_{g}$ 。
若集合 $D = {x \in D_{g} | g(x) \in D_{f}}\neq \O$
则由下式确定一个 $D$ 上的函数
$y = f[g(x)] (x \in D)$
称为函数 $y = f(u)$ 和 $u = g(x)$ 的复合函数。
$y=f(u)$ 称为外函数， $u=g(x)$ 称为内函数。$u$ 为中间变量。
例如，
$y = f(u) = \sqrt{u}$ 的定义域 $D_{f} = [0, +\infty)$
$u=g(x) = 1- x^{2}$ 的定义域 $D_{g} = (-\infty, +\infty)$ ，值域 $R_{g} = (-\infty, 1]$
$D = {x \in D_{g} | g(x) \in D_{f} } = {x |1-x^{2} \geq 0} = [-1, 1] \neq \O$
$f(u)$ 和 $g(x)$ 可以构成 $D$ 上的复合函数：
$y=f[g(x)] = \sqrt{1-x^{2}}(-1 \leq x\leq 1)$
复合函数的定义域一般是内函数定义域的一个子集。
又如，
$y=f(u)=\sqrt{u}$ 的定义域 $D_{f} = [0,+\infty)$
$u=g(x) = -1-x^{2}$ 的定义域 $D_{g} = (-\infty, +\infty)$ ，值域 $R_{g} = (-\infty, -1]$
$D={x\in D_{g} | g(x) \in D_{f}} = {x| -1-x^{2} \geq 0}= \O$
$f(x)$ 和 $g(x)$ 不能构成复合函数。
并非每两个函数都能构成复合函数。
函数的复合可以涉及两个以上的函数。
教材 17 页 13 题
设 $\displaystyle f(x) = \left{\begin{matrix} 1,&|x|<1 \ 0, &|x|=1 \ -1,&|x|>1\end{matrix}\right.$ $g(x) = e^{x}$ ，
求 $f[g(x)]$ 和 $g[f(x)]$ ，并作图。
$\displaystyle f[g(x)] = \left{\begin{matrix} 1, &|g(x)|=e^{x}<1 \ 0,&|g(x)|=e^{x}=1 \ -1, &|g(x)|=e^{x} > 1 \end{matrix}\right. = \left{\begin{matrix}1, & x<0 \ 0, &x=0 \ -1,&x>0 \end{matrix}\right. = -sgnx$
$\displaystyle g[f(x)]=\left{\begin{matrix}e^{1}, &|x|<1 \ 1, &|x|=1 \ e^{-1}, &|x|>1 \end{matrix}\right. $
由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和复合，并且能用一个公式表示的函数。
分段函数一般不是初等函数，因为它不能用一个公式表示。
同理，符号函数和取整函数都不是初等函数。
但是，绝对值函数 $\displaystyle y = |x| = \left{\begin{matrix} -x, &x < 0 \ x, &x> 0 \end{matrix}\right.$ 也可以写成 $y = \sqrt{x^{2}}$ ，所以绝对值函数式初等函数。
基本初等函数（五类）
1.幂函数
2.指数函数
3.对数函数
4&5.三角函数&反三角函数
初等函数在其单调区间内有反函数，2和3 、4和5 互为反函数。而1的反函数还是1。
在一些工程应用中，会涉及到一些与指数函数 $e^{x}$ 有关的函数。这就是即将介绍的双曲函数。
设函数 $f(x)$ 的定义域关于原点对称，则 $f(x)$ 可以分解成一个奇函数和一个偶函数的和
现将指数函数 $e^{x}$ 作这样的分解：
$\displaystyle y = sinhx = shx = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} $
它是奇函数，它的定义域和值域都是一切实数，它还是单调增加的函数。
$\displaystyle y = coshx = chx = \frac{e^{x} + e^{-x}}{2}$
它是偶函数，定义域是一切实数，值域是 $[1, +\infty)$ ，最小值在 0 处取得 $ch(0) = 1。
-
双曲函数及其渐进曲线
双曲余弦 $y=chx$ 的应用：悬链线。
特点：张力全在切线方向。
$\displaystyle y = tanhx = thx = \frac{sinhx}{coshx}= \frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}}$
它是奇函数，奇函数与偶函数的商是奇函数。定义域是一切实数，值域是 $(-1,1)$ 。
$\displaystyle y = cothx = cthx = \frac{coshx}{sinhx} = \frac{e^{x} + e^{-x}}{e^{x} - e^{-x}}$
它是奇函数，奇函数与偶函数的商是奇函数。定义域是一切非零实数，值域是 $|x| > 1$ 。
双曲函数的运算性质与三角函数有很多类似或可比较的地方：
$y = shx$ 是单调增加的函数，故有反函数。
$\displaystyle y = shx = \frac{e^{x} - e^{-x}}{2}$ $\displaystyle 2y = e^{x} - e^{-x} = e^{x} - \frac{1}{e^{x}}$
令 $u = e^{x}$ ，$\displaystyle 2y = u - \frac{1}{u}$ $2yu = u^{2} - 1$ $u^{2} - 2yu + 1 = 0$
用求根公式，$\displaystyle u = \frac{2y \pm \sqrt{(-2y)^{2} - 4(-1)}}{2} = y \pm \sqrt{y^{2} + 1}$
因为 $u = e^{x} > 0$ 故 $u = y + \sqrt{y^{2}+1}$
交换 $x,y$ ，$x = \ln{(y + \sqrt{y^{2} + 1})} \Rightarrow y = arshx = \ln{(x + \sqrt{x^{2}+ 1})}$
$y = chx$ 不是单调函数，固整体没有反函数。
$y = chx$ 在 $[0, +\infty)$ 上是单调增加的函数，固有反函数。
同理可得，
反双曲余弦：$y = archx = \ln{(x + \sqrt{x^{2}-1})},,,,,,,(x\geq 1)$
$y = thx$ 是单调增加的函数，故有反函数。
同理可得，
$\displaystyle y = arthx = \ln{\sqrt{\frac{1+x}{1-x}}} = \frac{1}{2}\ln{\frac{1+x}{1-x}} ,,,,,,,,(|x| < 1)$
