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課題4 (2016/7/4)

Kandori-Mailath-Rob (KMR) の確率進化モデルのシミュレーションをしてみる．

とりあえず昨年の課題を参照のこと． 「KMR の確率進化動学の説明」をよく読む．

対称 2x2 協調ゲームと p-支配

次のような協調ゲーム (coordination game) を考える：

      1      2
  ---------------
1 | 4, 4 | 0, 3 |
  ---------------
2 | 3, 0 | 2, 2 |
  ---------------

純粋戦略 Nash 均衡は (1, 1) と (2, 2) である．

このゲームにおいて，Nash 均衡 (2, 2) は 1/3-支配的 (1/3-dominant) であるという． ここで，p (0 <= p <= 1) に対して「相手が行動 2 をとる確率が p より小さいならば自分の最適反応は 1，p より大きいならば自分の最適反応は 2」ということが成り立つとき，均衡 (2, 2) を p-支配的という．

今回の分析では，p の値が，与えられた対称 2x2 協調ゲームに関して必要な情報をすべて含んでいる．

KMR 確率進化動学のマルコフ行列

まずは，与えられた p の値 (上で導入した p-支配の値)，プレイヤーの数 N，randomness のパラメタ epsilon に対して，マルコフ行列を返すような関数を書きましょう． 「同時手番」か「逐次手番」かどちらか決めて (あるいは両方に対して) 関数を書きます．

# 同時手番の場合
function kmr_markov_matrix_simultaneous(p::Float64, N::Int, epsilon::Float64)
    P = Array(Float64, N+1, N+1)  # 入れ物を定義する
    
    # 動学の定義にしたがって P の中身を埋めていく
    
    return P
end

# 逐次手番の場合
function kmr_markov_matrix_sequential(p::Float64, N::Int, epsilon::Float64)
    P = zeros(N+1, N+1)  # 0 がたくさんあるので `zeros` で入れ物を定義する
    
    # 動学の定義にしたがって P の中身を埋めていく
    
    return P
end

これで，たとえば p = 1/3; N = 10; epsilon = 0.01 に対して P = kmr_markov_matrix_simultaneous(p, N, epsilon) あるいは P = kmr_markov_matrix_sequential(p, N, epsilon) として， (using QuantEcon とした上で) mc = MarkovChain(P) とすれば，MarkovChain インスタンスが作られるが， state は行動 2 をプレイするプレイヤーの数 0, ..., N なので，state_values を 0:N として mc = MarkovChain(P, 0:N) とするとよい．

mc を使って simulation をしたり (ここ参照)，定常分布を求めたり (ここ参照) する (それらをグラフにプロットしてみる)．

KMR 動学を表すタイプを作る

たとえば，次のような composite type で表してみましょう：

type KMR2x2
    p::Float64
    N::Int
    epsilon::Float64
    revision::Symbol  # simultaneous か sequential を指定する
    mc::MarkovChain
end

Constructor を作ります． たとえば：

function KMR2x2(p::Float64, N::Int, epsilon::Float64;
                revision::Symbol=:simultaneous)  # デフォルトをたとえば simultaneous とする
    if revision == :simultaneous  # 片一方しか作っていない人は，作ってない方は消す
        P = kmr_markov_matrix_simultaneous(p, N, epsilon)
    elseif revision == :sequential
        P = kmr_markov_matrix_sequential(p, N, epsilon)
    else
        throw(ArgumentError)  # エラーを返す
    end
    
    mc = MarkovChain(P, 0:N)
    
    return KMR2x2(p, N, epsilon, revision, mc)  # KMR2x2 インスタンスを返す
end

あとは KMR2x2 に対してメソッドを作ります．