Задачи.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "import numpy as np\n",
    "import matplotlib.pyplot as plt\n",
    "%matplotlib inline"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Задачи по курсу «Системы компьютерной математики»\n",
    "*Н. Ю. Золотых*\n",
    "\n",
    "Выполнение зачетного задания включает:\n",
    "\n",
    "* Изучение темы\n",
    "* Написание ноутбука с кодом и отчетом\n",
    "\n",
    "Ваш отчет должен содержать постановку задачи, комментарии, ответы на все поставленные в задании вопросы и выводы"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Список зачетных заданий"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 1. Ряд Тейлора для синуса\n",
    "Напишите функцию `mysin(x, n)`, вычисляющую сумму первых $n$\n",
    "членов ряда Тейлора для функции $\\sin x$:\n",
    "$$\n",
    "\\sin x = x - \\frac{x^3}{3!} + \\frac{x^5}{5!} - \\dots\n",
    "$$\n",
    "Функция должна выполнять $O(n)$ операций и не содержать питоновских циклов. \n",
    "Постройте графики получающихся функций для разных $n$.\n",
    "Вариант этой функции `mysin(x)` должен вычислять столько слагаемых,\n",
    "пока результат перестанет изменяться (он может содержать циклы).\n",
    "Протестируйте функцию на значениях \n",
    "$x=\\frac{\\pi}{2},\\,\\frac{11\\pi}{2},\\,\\frac{21\\pi}{2},\\,\\frac{31\\pi}{2}$.\n",
    "Постройте графики зависимости точности от числа слагаемых $n$.\n",
    "Какова точность результатов, полученных для таких $x$? \n",
    "Сколько членов потребовалось?\n",
    "Каков максимальный по абсолютному значению член?\n",
    "Попробуйте объяснить, почему результаты\n",
    "неудовлетворительные."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 2. Численное вычисление интеграла\n",
    "Используя интеграл\n",
    "$$\n",
    "\\pi = \\int_0^1\\frac{4}{1+x^2}dx\n",
    "$$\n",
    "можно найти приближение к $\\pi$.\n",
    "\n",
    "Используйте правило прямоугольников, трапеций и Симпсона \n",
    "с $2$, $4$, $8$, $16$, $32$, $64$ и $128$ узлами. Затабулируйте погрешность.\n",
    "Как уменьшается погрешность при удвоении числа элементарных отрезков?\n",
    "Почему с некоторого момента погрешность не уменьшается?\n",
    "Составленная программа должна выводить графики подинтегральных функций,\n",
    "табулированные погрешности и значения интегральных сумм с графиками."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 3. Численное вычисление интеграла\n",
    "Используя интеграл\n",
    "$$-\\frac{4}{9} = \\int_0^1 \\sqrt{x}\\ln x dx$$\n",
    "можно найти приближение к $-4/9$.\n",
    "Задание такое же, как в № 2."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 4. Численное интегрирование. Светимость черного тела\n",
    "Согласно *формуле Планка* спектральная плотность энергетической светимости \n",
    "абсолютно чёрного тела\n",
    "равна\n",
    "$$\n",
    "\\varphi(\\lambda, T) =\\frac{2 \\pi h c^2}{\\lambda^5 \\left(e^{\\frac{h c}{\\lambda k T}} - 1\\right)},\n",
    "$$\n",
    "где\n",
    "$h = 6.6261 \\times 10^{-34}$ (постоянная Планка, $\\mbox{Вт}\\cdot\\mbox{с}^2$);\n",
    "$k = 1.3806 \\times 10^{-23}$ (постоянная Больцмана, Вт с/K);\n",
    "$c = 2.9979 \\times 10^{8}$   (скорость света, м/с);\n",
    "$T = 5778$ (эффективная температура Солнца, К).\n",
    "Формула Планка позволяет узнать, какую энергию излучает единица поверхности тела с эффективной температурой $T$\n",
    "за единицу времени на каждой единице длины волны $\\lambda$.\n",
    "Для определения энергии, излучаемой телом в определенном диапазоне частот\n",
    "$\\lambda_1$, $\\lambda_2$, необходио найти интеграл\n",
    "$$\n",
    "R(\\lambda_1,\\lambda_2,T) = \\int_{\\lambda_1}^{\\lambda_2} \\varphi(\\lambda, T) d\\lambda.\n",
    "$$\n",
    "Применим эти знания к Солнцу.\n",
    "Нас не должно удивлять, что формулу для абсолютно черного тела мы\n",
    "применяем к Солцну. Среди тел нашей системы Солнце всех лучше\n",
    "удовлетворяет свойствам абсолютно черного тела.\n",
    "\n",
    "Чтобы узнать полную энергетическую светимость Солнца надо умножить\n",
    "$R(\\lambda_1,\\lambda_2,T)$ на площадь поверхности Солнца.\n",
    "Пригодится его радиус: $R = 6.957\\times 10^8$ (м)\n",
    "\n",
    " 1. Постройте для Солнца график зависимости $\\varphi(\\lambda, T)$ от $\\lambda$.\n",
    "\n",
    " 2. С помощью численного интегрирования найдите светимость Солнца\n",
    "на видимой области длин волн, т.\\,е. для $\\lambda$ в диапазоне от \n",
    "$\\lambda_1 = 3.5\\times 10^{-7}$ до $\\lambda_2 = 7\\times 10^{-7}$.\n",
    "\n",
    " 3. Найдите также светимость Солнца для всех длин волн: от $0$ до $\\infty$\n",
    "(вам придется брать несобственный интеграл).\n",
    "\n",
    " 4. Этот интеграл, оказывается, можно взять аналитически\n",
    "и энергетическая светимость равна $R^* = \\sigma T^4$,\n",
    "где \n",
    "$$\n",
    "\\sigma = \\frac{8\\pi^5 k^4}{15 c^3 h^3}\n",
    "$$\n",
    "Это так называемый закон *Стефана–Больцмана*.\n",
    "Константа $\\sigma$ называется константой Стефана–Больцмана.\n",
    "Чтобы узнать полную энергетическую светимость не забудьте $R^*$\n",
    "умножить на площадь поверхности Солнца. Сравните полученный результат с результатом из предыдущего пункта.\n",
    "\n",
    " 5. Найдите так называемую *солнечную постоянную* –\n",
    "мощность солнечного излучения, падающего перпендикулярно на единичную площадку\n",
    "на высоте верхней границы атмосферы Земли.\n",
    "Вам пригодится расстояние от Солна до Земли: $149.6\\times 10^9$ м\n",
    "\n",
    " 6. Попробуйте найти вычисленные вами величины в литературе и сравните ваши значения с найденными.\n",
    " \n",
    " 7. Сделайте выводы."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 5. Интерполяция и численное интегрирование. Формула ошибок\n",
    "\n",
    "Постройте $11$ точек, взяв\n",
    "$$\n",
    "x_i = \\frac{i-1}{10}, \\quad y_i = {\\rm erf} x_i\\quad (i=1,\\dots,11),\n",
    "$$\n",
    "где\n",
    "$$\n",
    "{\\rm erf} x = \\frac{2}{\\sqrt{\\pi}} \\int_0^x e^{-t^2} dt\n",
    "$$\n",
    "– *функция ошибок*. Для вычисления ${\\rm erf} x$\n",
    "воспользуйтесь `scipy.special.erf`.\n",
    "\n",
    "* Составьте систему линейных уравнений для нахождения\n",
    "коэффициентов интерполирующего многочлена $10$-й степени.\n",
    "С помощью функции `scipy.linalg.cond` найдите\n",
    "число обусловленности этой системы. Решите составленную систему.\n",
    "Насколько достоверно полученное решение? С помощью построенного\n",
    "интерполянта протабулируйте значение функции в промежуточных точках.\n",
    "Чему равны абсолютная и относительная ошибки?\n",
    "* Сравните коэффициенты построенного интерполирующего многочлена\n",
    "с коэффициентами многочлена, который можно получить с помощью функции\n",
    "`numpy.polyfit`. В чем разница?\n",
    "\n",
    "* Постройте кубический эрмитов интерполянт (`scipy.interpolate.pchip`) и кубический сплайн\n",
    "(`scipy.interpolate.spline`). Найдите значения интерполянтов в тех же точках, что и в предыдущих\n",
    "пунктах и сравните результаты.\n",
    "\n",
    "Составленная программа должна выводить исходные точки,\n",
    "графики интерполируемой функции и интерполянтов\n",
    "и графики зависимости чисал обусловленности от степени интерполяционного многочлена\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 6. Интерполяция параметрически заданной функции\n",
    "\n",
    "Рассмотрим задачу поиска интерполирующей кривой по точкам\n",
    "$p_1, p_2, \\dots, p_n$, $p_i = (x_i, y_i)$ ($i=1,\\dots,n$).\n",
    "Предположим, что форму этой кривой\n",
    "нельзя описать функцией вида $y=f(x)$. Например, этого нельзя сделать\n",
    "для кривой в форме буквы S и др. (функция была бы неоднозначной).\n",
    "\n",
    "Рассмотрим два набора данных $(i, x_i)$ и $(i, y_i)$ ($i=1,\\dots,n$).\n",
    "Их можно независимо интерполировать функциями $f(t)$, $g(t)$. Тогда кривая,\n",
    "заданная параметрически,\n",
    "$$\n",
    "\\left\\{\n",
    "\\begin{array}{l}\n",
    "x=f(t) \\\\\n",
    "y=g(t)\n",
    "\\end{array}\n",
    "\\right.\n",
    "$$\n",
    "будет интерполировать наши данные.\n",
    "\n",
    "Другой способ – интерполировать данные $(\\sum_{i=1}^{i-1} d_i, x_i)$\n",
    "и $(\\sum_{i=1}^{i-1} d_i, y_i)$ ($i=1,\\dots,n$), где $d_i$ – расстояние между точками\n",
    "$p_i$ и $p_{i+1}$.\n",
    "\n",
    "Нарисуйте букву S (или любую другую) и измерьте координаты $8$ точек $p_i$,\n",
    "лежащих на ней. Интерполируйте эти данные обоими способами, описанными выше\n",
    " * кубическим интерполяетом;\n",
    " * кубическим сплайном.\n",
    " \n",
    "Изобразите полученные кривые и сравните результаты."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 7. Хорошо обусловленные матрицы\n",
    "\n",
    "Провести серию экспериментов, тестирующую функции `scipy.linalg.solve`, `numpy.linalg.cond`\n",
    "на хорошо обусловленных матрицах. Число\n",
    "обусловленности на следующих классах матриц с ростом порядка матрицы $n$\n",
    "растет *умеренно*:\n",
    "\n",
    "* $A=LU$, где $L$, $U$ – случайные нижняя треугольная и верхняя треугольная\n",
    "матрицы соответственно с диагональным преобладанием.\n",
    "\n",
    "* $A=LL^T$, где $L$ – случайные нижняя треугольная матрица с диагональным преобладанием.\n",
    "\n",
    "Экспериментальным путем для каждого из перечисленных классов установить\n",
    "диапазон изменения порядка матрицы, при котором число обусловленности не\n",
    "превосходит ведичины порядка $10^{16}$. Построить графики значений, выдаваемых\n",
    "функцией `cond`.\n",
    "Построить графики используемого этими функциями времени. Для каждой матрицы\n",
    "задать случайно решение $x$. По матрице $A$ и решению $x$ сгенерировать правую часть \n",
    "системы линейных уравнений $b$. Решить систему $Ax=b$, используя команду\n",
    "`solve`. Построить графики относительной ошибки решения и невязки. Объяснить результаты."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 8. Плохо обусловленные матрицы\n",
    "\n",
    "Провести серию экспериментов, тестирующую команды `scipy.linalg.solve`, `numpy.linalg.cond`\n",
    "на плохо обусловленных матрицах вида\n",
    "$A=LU$, где $L$, $U$ – случайные нижняя треугольная и верхняя треугольная\n",
    "матрицы соответственно с малыми диагональными элементами.\n",
    "\n",
    "Экспериментальным путем для каждого из перечисленных классов установить\n",
    "диапазон изменения порядка матрицы, при котором число обусловленности не\n",
    "превосходит ведичины порядка $10^{16}$. Построить графики значений,\n",
    "выдаваемых функцией `scipy.linalg.cond`. Построить графики используемого этими функциями времени. Для каждой\n",
    "матрицы задать случайно решение $x$. По матрице $A$ и решению $x$\n",
    "сгенерировать правую часть системы линейных уравнений $b$. Решить систему\n",
    "$Ax=b$, используя `scipy.linalg.solve`. Построить графики относительной ошибки\n",
    "решения и невязки. Объяснить результаты."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 9. Как растет число обусловленности для случайной матрицы?\n",
    "Цель данного упражнения – экспериментально выяснить зависимость числа\n",
    "обусловленности $\\mbox{cond}_1$ от порядка случайной матрицы. Пусть $A_n$ –\n",
    "матрица порядка $n$ со случайными элементами, распределенными по\n",
    "нормальному закону с мат ожиданием $0$ и средним квадратическим отклонением\n",
    "$1$. Экспериментальным путем необходимо выяснить, что в среднем\n",
    "$\\mbox{cond}_1 A_n$ растет как показательная функция от $n$, а именно, что\n",
    "для большинства матриц\n",
    "$$\n",
    "c_1 n^p \\le \\mbox{cond}_1 A_n \\le c_2 n^p.\n",
    "$$\n",
    "Экспериментально необходимо подобрать $p$, $c_1$, $c_2$. Для этого\n",
    "испытайте серию случайных матриц $A_n$ разных порядков (например, $1\\le n\n",
    "\\le 100$). Для каждой сгенерированной матрицы на графике изобразите точкой\n",
    "зависимость числа обусловленности $\\mbox{cond}_1 A_n$ (функция `cond(A,1)`)\n",
    "от порядка $n$. Используйте двойную логарифмическую шкалу (функция\n",
    "`loglog`). В этой шкале показательные функции изображаются прямыми\n",
    "линиями. Подберите $p$, $c_1$, $c_2$ и в тех же осях нарисуйте графики\n",
    "функций $c_1 n^p$, $c_2 n^p $."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 10. Интерполяция. 1-й закон Кеплера\n",
    "(M. T. Heath. ScientiЇc Computing: An Introductory Survey. McGraw-Hill, New\n",
    "York, 1997.) \n",
    "Вычисление К.Гауссом орбиты астероида Церера – по-видимому, \n",
    "первое использование метода наименьших квадратов.\n",
    "Данная задача составлена по мотивам этого исследования.\n",
    "Выражение $z = ax^2 + bxy + cy^2 + dx+ey+f$ называется\n",
    "квадратичной формой. Множество точек $(x,y)$, для которых $z = 0$\n",
    "называется кривой второго порядка или коническим сечением. К коническим\n",
    "сечениям относятся эллипсы, гиперболы и параболы. При некоторых значениях\n",
    "коэффициентов можно получить пустое множество, точку, прямую или пару\n",
    "прямых (параллельных или пересекающихся). Уравнение $z = 0$ можно\n",
    "нормализовать, разделив квадратичную форму на один из коэффициентов.\n",
    "Например, если $f \\ne 0$, то мы можем разделить уравнение на $f$ и получить\n",
    "тем самым квадратичную форму с единичным свободным коэффициентом. Для\n",
    "изображения конических сечений можно воспользоваться функцией\n",
    "`plt.contour`.\n",
    "\n",
    "Известно, что небесные тела двигаются по эллиптическим орбитам (1-й закон Кеплера). Даны $10$\n",
    "наблюдений движения одной планеты:\n",
    "```\n",
    "  x = np.array([1.02 .95 .87 .77 .67 .56 .44 .30 .16 .01])\n",
    "  y = np.array([0.39 .32 .27 .22 .18 .15 .13 .12 .13 .15])\n",
    "```\n",
    "\n",
    "* Методом наименьших квадратов определите коэффициенты квадратичной\n",
    "формы, положив $а=1$ и решив перепределенную $10\\times 5$ систему линейных\n",
    "уравнений относительно остальных коэффициентов. Изобразите орбиту\n",
    "планеты. На том же графике постройте заданные точки.\n",
    "\n",
    "* Рассматриваемая задача близка к задаче с неполным рангом (т.е. задаче\n",
    "с рангом меньшим $5$). Чтобы увидеть, к чему это приводит, внесите в\n",
    "векторы `x`, `y` небольшое возмущение, добавляя к каждой\n",
    "компоненте случайную величину, равномерно распределенную на отрезке\n",
    "$[-.005, .005]$. Вычислите новые коэффициенты и изобразите новую орбиту на\n",
    "прежнем графике. Объясните различие коэффициентов и орбит от прежних."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 11. Аппроксимация данных. Радиоактивный распад\n",
    "\n",
    "https://web.lemoyne.edu/giunta/classicalcs/rutherhalf.html\n",
    "\n",
    "Закон радиоактивного распада, открытый Э.Резерфрдом и Ф.Содди, утверждает, что активность радиоактивного вещества \n",
    "уменьшается во времени по экспоненциальному закону (геометрической прогресии). Таким образов, активность такого вещества можно характеризовать *периодом полураспада* – промежутком временем, в течении которого активность уменьшается в $2$ раза.\n",
    "Здесь мы приводим данные, опубликованные в работе [Rutherford E. A Radioactive Substance emitted from Thorium Compounds // Philosophical Magazine. 1900. 49. 1–14]. Из сосуда с торием, был выкачан воздух. В результате была выделена эманация тория (газ радон-220, или торон).\n",
    "Для измерения ее ионизирующей способности подавалось напряжение 100 В и измерялась сила тока, которая менялась во времени.\n",
    "\n",
    "```\n",
    " Время, с   Сила тока, А\n",
    "    0          1.00 \n",
    "   28          0.69\n",
    "   62          0.51\n",
    "  118          0.23\n",
    "  155          0.14\n",
    "  210          0.067\n",
    "  272          0.041\n",
    "  360          0.018\n",
    "```\n",
    "\n",
    "* Изобразите данные на графике.\n",
    "* Восстановите зависимость $y=c e^{\\alpha t}$. Воспользуйтесь двумя методами: \n",
    "    * логарифмированием сведите задачу к линейной задаче наименьших квадратов,\n",
    "    * нелинейным методом наименьших квадратов\n",
    "* Изобразите графики построенных зависимостей.\n",
    "* Насколько хорошо установленные зависимости приближают данные? Какая из них лучше?\n",
    "* Определите период полураспада радона-220 и сравните его с данными из интернета. Чем обусловлено расхождение (если оно есть)? "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 12. Дифференциальные уравнения. Робин Гуд\n",
    "Робин Гуд бросает камень с привязанным к нему письмом\n",
    "через бойницу крепостной стены в открытое окно, стоящего за ней замка:\n",
    "``` \n",
    "                    стена                    замок\n",
    "                    _____ \n",
    "                   [     ]                  ______ \n",
    "                   [     ]                 [      ]\n",
    "                   [_____]                 [      ]\n",
    "                   бойница                 [      ]\n",
    "                    _____                  [      ]\n",
    "                   [     ]                 [      ]\n",
    "                   [     ]                   окно ]\n",
    "                   [     ]                 [      ]\n",
    "                   [     ]                 [      ]\n",
    ".                  [     ]                 [      ]\n",
    " \\0 _              [     ]                 [      ]\n",
    "  I                [     ]                 [      ]\n",
    " / \\               [     ]                 [      ]\n",
    "~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\n",
    "```\n",
    "\n",
    "Смоделируйте полет камня с помощью функции `integrate.solve_ivp`.\n",
    "Рассмотрите следующие события (events): \n",
    "   1. камень упал на землю, не долетев до окна (либо до, либо после стены);\n",
    "   2. камень не попал в бойницу (ударился о стену);\n",
    "   3. камень застрял в бойнице (стукнулся о «пол» или «потолок» бойницы и упал внутри нее); \n",
    "   4. камень стукнулся о  стену замка (не попав в окно);\n",
    "   5. камень попал в окно \n",
    "      (для простоты считаем, что и крепостная стена, и замок очень высокие\n",
    "      и сверху через них камень перебросить нельзя).\n",
    "При наступлении каждого из этих событий дальнейшее интегрирование прекращаются. \n",
    "\n",
    "Написать функцию, на вход которой подаются:\n",
    "  * параметры:\n",
    "    масса камня,\n",
    "    расстояние от Робин Гуда до стены,\n",
    "    толщину стены (равную длине бойницы),\n",
    "    расстояние от земли до бойницы и высоту бойницы,\n",
    "    расстояние от стены до замка,\n",
    "    расстояние от земли до окна и высоту окна,\n",
    "\n",
    "  * начальные условия:\n",
    "    угол броска и начальную скорость камня.\n",
    "\n",
    "Программа должна отображать «вид сбоку» (многоугольники можно нарисовать с помощью функций\n",
    "`matplotlib.patches.Patch`) и траекторию полета."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 13. Метод Ньютона\n",
    "*Метод Ньютона* нахождения корня уравнения $f(x) = 0$ заключается в итерациях вида\n",
    "$$\n",
    "x_{i+1} = x_i - \\frac{f(x_i)}{f'(x_i)}.\n",
    "$$\n",
    "Написать функцию `mynewton(f, df, [x0, x1])`, реализующую метод Ньютона,\n",
    "где \n",
    "`f` – строка, задающая правую часть $f(x)$ уравнения,\n",
    "`df` – строка, задающая  $f'(x)$,\n",
    "`[x0, x1]` – отрезок локализации.\n",
    "Функция должна возвращать найденный корень с макимально возможной точностью.\n",
    "\n",
    "Написать программу, тестирующую эту\n",
    "функцию и сравнивающую ее с `scipy.optimize.newton`, `scipy.optimize.fsolve` на уравнениях:\n",
    "$$\n",
    "x^3 - 2x - 5 = 0, \\qquad 0\\le x \\le 3\n",
    "$$\n",
    "(исторический пример Валлиса),\n",
    "$$\n",
    "\\sin x = 0, \\qquad 1 \\le x \\le 4,\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "x^3  = 0.001, \\qquad -1 \\le x \\le 1,\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "\\ln x + \\frac{2}{3} = 0, \\qquad 0 \\le x \\le 1,\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "\\mathop{\\rm sgn} (x-2)\\, \\sqrt{|x-2|} = 0, \\qquad 1 \\le x \\le 4,\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    " \\arctan x = \\frac{\\pi}{3}, \\qquad 0 \\le x \\le 5,\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "\\frac{1}{x - \\pi} = 0, \\qquad 0 \\le x \\le 5.\n",
    "$$\n",
    "Программа должна печатать таблицу, в которой указываются найденные функциями `mynewton`,\n",
    "`scipy.optimize.newton`, `scipy.optimize.fsolve` решения, их относительные ошибки, и количества затраченных итераций.\n",
    "Сравнить и следать выводы."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 14. Интерполяция. Длина тормозного пути\n",
    "(Моулер)\n",
    "В следующей таблице приведены данные о длине тормозного пути $d$ некоторого автомобиля\n",
    "в зависимости от его скорости $v$ в начале пути:\n",
    "```\n",
    "  v      d\n",
    "  0      0\n",
    " 10      5\n",
    " 20     20\n",
    " 30     46\n",
    " 40     70\n",
    " 50    102\n",
    " 60    153\n",
    "```\n",
    "\n",
    "Какова должна быть максимальная скорость автомобиля, чтобы длина тормозного пути\n",
    "не превосходила бы $60$? Написать программу (скрипт), решающую задачу следующими способами:\n",
    " * кусочной линейной интерполяцией,\n",
    " * кусочной кубической интерполяцией,\n",
    " * обратной кубической интерполяцией.\n",
    "Придумать и реализовать новый способ.\n",
    "Нарисовать графики построенных интерполянтов.\n",
    "Сравнить результаты."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 15. Матричное умножение\n",
    "Вычисление элементов произведения $C$ двух квадратных матриц $A=(a_{ij})$ и $B=(b_{ij})$ по формулам\n",
    "$$\n",
    "c_{ij} = \\sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj} \\qquad (i=1,2,\\dots,n;~ j=1,2,\\dots,n)\n",
    "$$\n",
    "легко реализуется с помощью трех вложенных циклов: по $i$, по $j$ и по $k$.\n",
    "Различные варианты алгоритма можно получить перестановкой циклов.\n",
    "Напишите шесть функций `multijk`, `multikj`, `multjik`, ..., \n",
    "реализующих каждый из этих вариантов. Для серии случайно сгенерированных матриц больших размеров\n",
    "замерьте время, требуемое этими функциями и стандартной операцией `@`.\n",
    "Нарисуйте графики зависимости времени от порядка матриц.\n",
    "Объясните, почему требуется различное время на выполнение каждой из написанных вами функций."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 16. Регуляризация А.Н. Тихонова\n",
    "Система $(A^{\\rm T} A + \\alpha E)x = A^{\\rm T} b$ называется *регуляризованной* по отношению к системе\n",
    "$Ax = b$. Параметр $\\alpha$ называется *параметром регуляризации*. \n",
    "*Метод регуляризации* А.Н.\\,Тихонова заключается в выборе\n",
    "последовательности $\\alpha_k \\to 0$ (например, геометрической прогрессии) \n",
    "и решении регуляризованных систем\n",
    "$(A^{\\rm T}A + \\alpha_k E)x = A^{\\rm T} b$ для конечного числа\n",
    "значений $\\alpha_k$, и выборе из всех полученных решений того, при котором\n",
    "норма невязки для исходной системы минимальна.\n",
    "\n",
    "Написать функцию \n",
    "```\n",
    "    x0, discr0, alpha0, x, discr = tikhonov(A, b, alpha),\n",
    "```\n",
    "в которой `A` и `b` – матрица и левая часть исходной системы,\n",
    "`alpha` – вектор, содержащий набор параметров регуляризации,\n",
    "`x` – матрица, по столбцам которой записаны регуляризованные решения для соответсвующего значения \n",
    "параметра регуляризации, `discr` – вектор полученных таким образом невязок, `x0` – регуляризованное решение\n",
    "(из найденных) с минимальной нормой невязки, `discr0`, `alpha0` – соответствующие ему\n",
    "значения нормы невязки и параметра регуляризации.\n",
    "\n",
    "Провести эксперимент с плохообусловленными системами из № 8.\n",
    "\n",
    "Построить график зависимости ошибки и нормы невязки от порядка системы.\n",
    "\n",
    "Для конкретной системы построить графики зависимости ошибки и нормы невязки от параметра alpha.\n",
    "\n",
    "*Интуиция*: Система $(A^{\\rm T}A+αE)x=A^{\\rm T}b$ при маленьком $α\\ge 0$ (например, $α=0$) может быть вырожденной или плохо обусловленной, что приводит к большим ошибкам при численном решении системы. При большом $α$ система хорошо обусловлена, но может слишком сильно отличаться от исходной системы $Ax=b$. Нужно найти компромисс, т.е. «оптимальное» значение $α$: не очень большое и не очень маленькое."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 17. Метод Штрассена \n",
    "*Метод Штрассена* умножения матриц заключается в разбиении матрицы на 4 равные клетки\n",
    "$$\n",
    "\\left(\n",
    "\\begin{array}{cc}\n",
    "C_{11} & C_{12}   \\\\\n",
    "C_{21} & C_{22}   \\\\\n",
    "\\end{array}\n",
    "\\right)\n",
    "=\n",
    "\\left(\n",
    "\\begin{array}{cc}\n",
    "A_{11} & A_{12}   \\\\\n",
    "A_{21} & A_{22}   \\\\\n",
    "\\end{array}\n",
    "\\right)\n",
    "\\cdot\n",
    "\\left(\n",
    "\\begin{array}{cc}\n",
    "B_{11} & B_{12}   \\\\\n",
    "B_{21} & B_{22}   \\\\\n",
    "\\end{array}\n",
    "\\right),\n",
    "$$\n",
    " и нахождения\n",
    "произведения по формулам:\n",
    "$$\n",
    "\\begin{array}{l}\n",
    "D_1 = (A_{11} + A_{22}) \\cdot (B_{11} + B_{22}), \\\\\n",
    "D_2 = (A_{12} - A_{22}) \\cdot (B_{21} + B_{22}), \\\\\n",
    "D_3 = (A_{11} - A_{21}) \\cdot (B_{11} + B_{12}), \\\\\n",
    "D_4 = (A_{11} + A_{12}) \\cdot B_{22}, \\\\\n",
    "D_5 = (A_{21} + A_{22}) \\cdot B_{11}, \\\\\n",
    "D_6 = A_{11} \\cdot (B_{12} - B_{22}), \\\\\n",
    "D_7 = A_{22} \\cdot (-B_{11}+B_{21}), \\\\\n",
    "\\end{array}\n",
    "$$\n",
    "и\n",
    "$$\n",
    "  \\begin{array}{l}\n",
    "    C_{11}  =    D_1   +   D_2             -   D_4                      +    D_7   ,\\\\\n",
    "    C_{12}  =                                  D_4            +    D_6,             \\\\\n",
    "    C_{21}  =                                            D_5            +    D_7   ,\\\\\n",
    "    C_{22}  =    D_1             -   D_3             -   D_5  +    D_6.             \\\\\n",
    "  \\end{array}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Для нахождения произведений вида $(A_{11} + A_{22}) \\cdot (B_{11} + B_{22})$ и т.п.\n",
    "рекурсивно используется тот же алгоритм.\n",
    "Если обычный алгоритм умножения квадратных матриц порядка $n$ использует $O(n^3)$ операций,\n",
    "то алгоритм Штрессана использует только $O(n^{\\log_2 7}) = O(n^{2.8})$.\n",
    "Напишите функцию `strassen(A, B)`, реализующую этот алгоритм для матриц порядка $2^k$.\n",
    "Экспериментально постройте графики зависимоти времени работы алгоритма Штрассена и обычного алгоритма от порядка матрицы.\n",
    "Удастся ли вам дойти до таких размеров матриц, что ваша реализация алгоритма Штрассена будет быстрее\n",
    "обычного алгоритма умножения?"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 18. Модель Вольтерра–Лотке\n",
    "Рассмотрите *модель хищник–жертва* Вольтерра́–Лотке простой экосистемы\n",
    "$$\n",
    "\\left\\{\n",
    "\\begin{array}{l}\n",
    "\\frac{\\displaystyle dr}{\\displaystyle dt} = 2r - \\alpha r f, \\\\[.5em]\n",
    "\\frac{\\displaystyle df}{\\displaystyle dt} = -f + \\alpha r f, \n",
    "\\end{array}\n",
    "\\right.\n",
    "$$\n",
    "$$\n",
    "r(0) = r_0,\\qquad\n",
    "f(0) = f_0,\n",
    "$$\n",
    "где\n",
    "$f$ – численность лис,\n",
    "$r$ – численность кроликов\n",
    "($\\alpha$, например, $0.01$;\n",
    "$r_0$, $f_0$ могут изменяться от нескольких единиц до нескольких тысяч) \n",
    "\n",
    "Напишите функцию, на вход которой можно подавать величины $\\alpha$, $r_0$, $f_0$.\n",
    "По заданным параметру и начальным условиям функция должна строить\n",
    "три графика: графики зависимости $f(t)$, $r(t)$ и\n",
    "*фазовую траекторию* (траекторию в плоскости $(r,f)$). \n",
    "Обратите внимание, что $r(t)\\ge 0$, $f(t)\\ge 0$.\n",
    "\n",
    "Экспериментально попытайтесь найти все качественно различные фазовые траектории.\n",
    "Изобразите *фазовый портрет* – коллекцию фазовых траекторий. \n",
    "Каков содержательный смысл в соответствующих этим траекториям решениях?\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 19. Оптимизация. Задача упаковки кругов\n",
    "\n",
    "Рассмотрим задачу упаковки в единичный круг заданного числа $n$ равных друг другу меньших кругов радиуса $r$, так, чтобы радиус $r$ был максимальным [S. Kravitz, Packing cylinders into cylindrical containers, Math. Mag. 40 (1967), p. 65–71].\n",
    "\n",
    "Перейдем к математической постановке задачи.\n",
    "Обозначим через $(x_j, y_j)$ – координаты центра $j$-го круга.\n",
    "Условия того, чтобы эти круги помещались в единичном круге $x^2+y^2\\le 1$,\n",
    "принимает вид:\n",
    "$$\n",
    "  x_j^2 + y_j^2 \\le (1 - r)^2 \\qquad (j=1,2,\\dots,n).\n",
    "$$\n",
    "Условие того, что круги не пересекаются, имеет вид:\n",
    "$$\n",
    "  (x_i - x_j)^2 + (y_i - y_j)^2 \\ge 4 r^2 \\qquad (1 \\le i < j \\le n).\n",
    "$$\n",
    "Также необходимо учитывать ограничения\n",
    "$$\n",
    "  0 \\le r \\le 1.\n",
    "$$\n",
    "Таким образом, задача заключается в максимизции $r$ при указанных выше ограничениях.\n",
    "\n",
    "Задача содержит $2n+1$ переменных (неизвестных) и $n + n(n-1)/2 + 2$\n",
    "ограничений-неравенств.\n",
    "\n",
    "Например, при $n=3$ получаем задачу\n",
    "$$\n",
    "r \\to \\max \n",
    "$$\n",
    "при ограничениях\n",
    "$$\n",
    "\\left\\{\n",
    "  \\begin{array}{l}\n",
    "     0 \\le r \\le 1, \\\\\n",
    "     x_1^2 + y_1^2 \\le (1 - r)^2, \\\\\n",
    "     x_2^2 + y_2^2 \\le (1 - r)^2, \\\\\n",
    "     x_3^2 + y_3^2 \\le (1 - r)^2, \\\\\n",
    "     (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 \\ge 4 r^2, \\\\\n",
    "     (x_1 - x_3)^2 + (y_1 - y_3)^2 \\ge 4 r^2, \\\\\n",
    "     (x_2 - x_3)^2 + (y_2 - y_3)^2 \\ge 4 r^2. \\\\\n",
    "  \\end{array}\n",
    "\\right.   \n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Написать функцию, принимающую на вход $n$ и находящую оптимальную упаковку.\n",
    "Функция должна использовать функцию `scipy.optimize.minimize`.\n",
    "\n",
    "Проиллюстрируйте работу вашей программы для значений $n=1,2,\\dots,30$.\n",
    "Изобразите найденные упаковки.\n",
    "Задавая различные начальные приближения, попытайтесь найти как можно лучшие решения.\n",
    "Сравните ваши решения с решениями, приведенными на сайте www.packomania.com"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 19-A. Упаковка кругов в квадрат\n",
    "\n",
    "То же, что и в № 19, но требуется упаковать $n$ кругов радиуса $r$ в единичный квадрат, так, чтобы $r$ было максимальным."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 20. Условная оптимизация. Метод штрафных функций\n",
    "\n",
    "Рассмотрим один из многочисленных вариантов *метода штрафных функций*.\n",
    "Задача *условной* оптимизации\n",
    "$$\n",
    "   f(x) \\to \\min\n",
    "$$ \n",
    "при ограничениях \n",
    "$$\n",
    "g_1(x) = 0, \\dots, g_m(x) = 0, \\quad\n",
    "h_1(x) \\le 0, \\dots, h_p(x) \\le 0\n",
    "$$\n",
    "решается при помощи решения последовательности вспомогательных задач *безусловной* оптимизации:\n",
    "$$\n",
    "\\left(F(x) + c\\sum_{i=1}^m g(h_i)^2 + c\\sum_{k=1}^p \\left[ h(h_k) \\right]_+^2\\right) \\to \\min,\n",
    "$$\n",
    "где $c$ – некоторая возрастающая последовательность (например, геометрическая прогрессия),\n",
    "$[\\alpha]_+ = \\max\\{0,\\,\\alpha\\}$.\n",
    "\n",
    "Реализуйте данный метод. Для решения задачи безусловной оптимизации воспользуйтесь функциями из библиотеки SciPy.\n",
    "\n",
    "Проиллюстрируйте работу метода на двумерной и многомерных функциях Розенброка\n",
    "$$\n",
    "f(x_1,x_2,\\dots,x_n) = \\sum_{i=1}^{n-1} \\left(  (1-x_i)^2+ 100 (x_{i+1} - x_i^2 )^2 \\right) \n",
    "$$\n",
    "с линейными и квадратичными ограничениями.\n",
    "Для $n=2$ изобразите найденные точки минимума на каждой итерации."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 21. Уравнение Кеплера\n",
    "[Каханер–Моулер–Нэш]\n",
    "*Уравнение Кеплера* для вычисления орбиты имеет вид\n",
    "$$\n",
    "M=E-\\varepsilon\\sin E,\n",
    "$$\n",
    "где $M$ – средняя аномалия, $E$ – эксцентрическая аномалия, $\\varepsilon$ – эксцентриситет орбиты.\n",
    "Пусть $M=24.851090$, $\\varepsilon=0.1$. \n",
    "  * Изобразите полученную орбиту.\n",
    "  * С помощью функции `scipy.optimize.brentq` найдите $E$.\n",
    "  * Вычислите $E$ с помощью формулы\n",
    "    $$\n",
    "      E = M + 2\\sum_{m=1}^{\\infty} \\frac{1}{m} J_m(m\\varepsilon) \\sin(mM),\n",
    "    $$\n",
    "    где $J_m(x)$ – функция Бесселя $1$-го рода порядка $m$.\n",
    "  * Найдите $E$ по предыдущей формуле, используя равенство\n",
    "    $$\n",
    "      J_m(m\\varepsilon) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{(-1)^n (m\\varepsilon/2)^{2n+m}}{n!(m+n)!}.\n",
    "    $$\n",
    "Проведите сравнение вычислительных затрат и точности результатов, полученных каждым из трех способов."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 22. Скорость сходимости метода Ньютона\n",
    "\n",
    "[Каханер–Моулер–Нэш] \n",
    "\n",
    "Примените метод Ньютона `scipy.optimize.newton` к решению каждого из уравнений $(x-1)^2 = 0$ и $e^{2x} - 2e^x + 1 = 0$. Покажите экспериментально (постройте графики зависимости ошибки от номера шага), что итерации сходятся линейно, а не квадратично. Попробуйте доказать это теоретически."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 23. Плохая обусловленность метода Кардано\n",
    "[Каханер–Моулер–Нэш]\n",
    "\n",
    "Рассмотрим знаменитые формулы для решения кубического уравнения - *формулы Кардано*,\n",
    "которые правильнее было бы называть *формулами Ферро-Тартальи-Кардано-Фиора*.\n",
    "\n",
    "Рассмотрим кубическое уравнение $y^3+ay^2+by+c=0$, где все коэффициенты и неизвестная $y$ в общем случае комплексные.\n",
    "\n",
    "После замены $y = x-\\frac{a}{3}$ в уравнении третьей степени\n",
    "$y^3+ay^2+by+c=0$ исчезает член с квадратом неизвестной $y$.\n",
    "Уравнение примет вид\n",
    "$$\n",
    "x^3+px+q=0.\n",
    "$$ \n",
    "Его решения можно найти в виде \n",
    "$$\n",
    "x=\\alpha + \\beta,\n",
    "$$ \n",
    "где $\\alpha$, $\\beta$ --- некоторые\n",
    "комплексные числа, \n",
    "$$\n",
    "\\alpha=\\sqrt[3]{-\\frac{q}{2}+\\sqrt{\\frac{q^2}{4}+\\frac{p^3}{27}}},\n",
    "\\qquad\n",
    "\\beta=\\sqrt[3]{-\\frac{q}{2}-\\sqrt{\\frac{q^2}{4}+\\frac{p^3}{27}}}.\n",
    "$$\n",
    "Среди всевозможных комбинаций $\\alpha$, $\\beta$, получаемых при подстановке всех значений корней кубических,\n",
    "необходимо выбрать лишь те,\n",
    "которые удовлетворяют условию $3\\alpha\\beta+p=0$. \n",
    "Легко видеть, что если $\\alpha \\ne 0$ и $\\beta\\ne 0$, то\n",
    "таким образом будет получено $3$ решения: для каждого из трех значений $\\alpha$ можно определить единственное $\\beta$. \n",
    "\n",
    "Реализуйте метод Кардано для нахождения корней кубического уравнения $y^3+ay^2+by+c=0$.\n",
    "Написанная вами функция `y1, y2, y3 = cardano(a,b,c)` должна работать как для уравнений\n",
    "с вещественными, так и комплексными коэффициентами.\n",
    "Воспользуйтесь этим методом для нахождения вещественного корня уравнения\n",
    "$$\n",
    "y^3 +3y^2 +\\lambda^2y+3\\lambda^2 = 0\n",
    "$$\n",
    "при различных $\\lambda$.\n",
    "Исследуйте потерю точности из-за ошибок округления при больших $\\lambda$\n",
    "(в частности, для $\\lambda$ порядка величины, обратной машинному эпсилон).\n",
    "\n",
    "Сравните результаты с теми, которые получаются методом Брента `scipy.optimize.brentq` и методом Ньютона `scipy.optimize.newton`."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 24. Разделимые наименьшие квадраты\n",
    "\n",
    "[Каханер–Моулер–Нэш] \n",
    "\n",
    "Пусть необходимо аппроксимировать $m$ точек данных $(t_i,\\, y_i)$ $(i=1,2,\\dots,m)$ с помощью функции\n",
    "$$\n",
    "   b(t) = c_1 + c_2 t + c_3 t^2 + c_4 e^{\\lambda t}.\n",
    "$$\n",
    "Параметры $c_1,\\dots,c_4$ входят линейно, а $\\lambda$ нелинейно.\n",
    "Рассмотрим матрицу\n",
    "$$\n",
    "A(\\lambda) =\n",
    "\\left(\n",
    "\\begin{array}{cccc}\n",
    "    1 & t_1 & t_1^2 & e^{\\lambda t_1}  \\\\\n",
    "    1 & t_2 & t_2^2 & e^{\\lambda t_2}  \\\\\n",
    "    \\vdots & \\vdots & \\vdots & \\vdots  \\\\\n",
    "    1 & t_m & t_m^2 & e^{\\lambda t_m}  \\\\\n",
    "\\end{array}\n",
    "\\right)\n",
    "$$\n",
    "и векторы\n",
    "$$\n",
    "y = \n",
    "\\left(\n",
    "\\begin{array}{c}\n",
    "   y_1 \\\\ y_2 \\\\ \\vdots \\\\ y_m\n",
    "\\end{array}\n",
    "\\right),\n",
    "\\qquad\n",
    "c = \n",
    "\\left(\n",
    "\\begin{array}{c}\n",
    "   c_1 \\\\ c_2 \\\\ c_3\\\\ c_4\n",
    "\\end{array}\n",
    "\\right).\n",
    "$$\n",
    "Тогда задачу наименьших квадратов можно поставить следующим образом:\n",
    "$$\n",
    "\\min_{\\lambda}  \\min_{c}  \\|A(\\lambda) c - y\\|_2.\n",
    "$$\n",
    "Для любого заданного $\\lambda$ внутренний минимум можно найти линейным методом наименьших квадратов.\n",
    "Для нахождения внешнего минимума можно воспользоваться методом одномерной минимизации.\n",
    "\n",
    "В таблице ниже приведены две группы данных, к которым необходимо применить описанный подход.\n",
    "Единственным ли образом определяются неизвестные параметры?\n",
    "Изобразите данные на графике и постройте графики построенных моделей.\n",
    "\n",
    "```\n",
    "       t        y         y\n",
    "             Группа 1  Группа 2\n",
    " -----------------------------------\n",
    "     0.00     20.00     20.00\n",
    "     0.25     51.58     24.13\n",
    "     0.50     68.73     26.50\n",
    "     0.75     75.46     27.13\n",
    "     1.00     74.36     26.00\n",
    "     1.25     67.09     23.13\n",
    "     1.50     54.73     18.50\n",
    "     1.75     37.98     12.13\n",
    "     2.00     17.28      4.00\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 25. Нелинейный метод наименьших квадратов\n",
    "[Ланцош <<Прикладные методы анализа>>]\n",
    "\n",
    "Данные, представленные в таблице, нанесите на график.\n",
    "```\n",
    "       x         f(t)    \n",
    " ----------------------\n",
    "    2.5134       0    \n",
    "    2.0443       0.05\n",
    "    1.6684       0.10\n",
    "    1.3664       0.15\n",
    "    1.1232       0.20\n",
    "    0.9269       0.25\n",
    "    0.7679       0.30\n",
    "    0.6389       0.35\n",
    "    0.5338       0.40\n",
    "    0.4479       0.45\n",
    "    0.3776       0.50\n",
    "    0.3197       0.55\n",
    "    0.2720       0.60\n",
    "    0.2325       0.65\n",
    "    0.1997       0.70\n",
    "    0.1723       0.75\n",
    "    0.1493       0.80\n",
    "    0.1301       0.85\n",
    "    0.1138       0.90\n",
    "    0.1000       0.95\n",
    "    0.0883       1.00\n",
    "    0.0783       1.05\n",
    "    0.0698       1.10\n",
    "    0.0624       1.15\n",
    "```\n",
    "Нелинейным методом наименьших квадратов аппроксимируйте данные моделью в виде суммы $3$ экспонент\n",
    "$$\n",
    "f(x) = \\beta_1 e^{-\\lambda_1 x} + \\beta_2 e^{-\\lambda_2 x} + \\beta_3 e^{-\\lambda_3 x},\n",
    "$$\n",
    "Рассмотрите различные начальные приближения к $\\beta_1$, $\\beta_2$, $\\beta_3$, $\\lambda_1$, $\\lambda_2$,$\\lambda_3$.\n",
    "Чему равна результирующая суммарная ошибка?\n",
    "Насколько чувствительны результирующие значения к начальным значениям?\n",
    "Как изменится результат, если в модели оставить одну или две экспоненты?\n",
    "Для одной экспоненты сведите задачу к линейной задаче наименьших квадратов."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 26. Нелинейный метод наименьших квадратов. Светимость звезды\n",
    "[Каханер–Моулер–Нэш]\n",
    "Сверхновой звезде типа I соответствует специальная модель светимости. Спустя несколько дней после максимума светимости эту модель\n",
    "можно описать так:\n",
    "$$\n",
    "L(t) = C_1 e^{-t/\\alpha_1} + C_2 e^{-t/\\alpha_2},\n",
    "$$\n",
    "где $t$ – время (в днях) с момента максимальной светимости,\n",
    "а $L(t)$ – светимость, относительно максимальной светимости.\n",
    "В таблице ниже приведены данные по относительной светимости для свехновой I939A6, полученные в 1936 г.\n",
    "Пик светимости приходится на день $0$, но наблюдения до дня $7.0$, опущены, так какуказанная модель не описывает\n",
    "светимости перед и непосредственно после максимума.\n",
    "\n",
    "\n",
    "```\n",
    "    t      L(t)    \n",
    "--------------------\n",
    "   7.0    0.6310     \n",
    "   7.0    0.8318     \n",
    "  14.8    0.2754     \n",
    "  16.0    0.1445     \n",
    "  16.9    0.2089     \n",
    "  17.0    0.1585     \n",
    "  18.8    0.1585     \n",
    "  19.0    0.1318     \n",
    "  20.9    0.1585     \n",
    "  15.8    0.1096     \n",
    "  16.8    0.1445     \n",
    "  28.0    0.09120    \n",
    "  53.0    0.06310    \n",
    "  54.0    0.06918    \n",
    "  57.0    0.05754    \n",
    "  85.0    0.03631    \n",
    " 109.0    0.02291    \n",
    " 110.0    0.02291    \n",
    " 141.0    0.01738    \n",
    " 142.0    0.01585    \n",
    " 168.0    0.009120   \n",
    "```\n",
    "\n",
    "Нанести данные на график.\n",
    "Нелинейным методом наименьших квадратов найдите неизвестные параметры модели и постройте графики.\n",
    "Используйте различные начальные значения для $\\alpha_1$, $\\alpha_2$, $C_1$, $C_2$.\n",
    "Чему равна результирующая суммарная ошибка?\n",
    "Рассмотрите также аппроксимацию одной экспонентой - решите эту задачу сведя ее к линейной задаче наименьших квадратов.\n",
    "Сравните все результаты.\n",
    "Насколько чувствительны результирующие значения к начальным значениям?"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 27. Метод разделимых наименьших квадратов. Квантовые дефекты\n",
    "\n",
    "[Roszman L. Quantum Defects for Sulfur I Atom. NIST. 1979]\n",
    "\n",
    "Методом разделимых наименьших квадратов (см. № 24)\n",
    "построить модель вида\n",
    "$$\n",
    "y = \\beta_1 - \\beta_2 x - \\frac{\\arctan(\\frac{\\beta_3}{x-\\beta_4})}{\\pi}\n",
    "$$\n",
    "для данных из исследований квантовых дефектов в атомах йода.\n",
    "Предиктор $x$ – возбужденное состояние энергии, \n",
    "переменная отклика $y$ – число квантовых дефектов.\n",
    "```\n",
    "           x             y      \n",
    "       -4868.68      0.252429  \n",
    "       -4868.09      0.252141  \n",
    "       -4867.41      0.251809  \n",
    "       -3375.19      0.297989  \n",
    "       -3373.14      0.296257  \n",
    "       -3372.03      0.295319  \n",
    "       -2473.74      0.339603  \n",
    "       -2472.35      0.337731  \n",
    "       -2469.45      0.333820  \n",
    "       -1894.65      0.389510  \n",
    "       -1893.40      0.386998  \n",
    "       -1497.24      0.438864  \n",
    "       -1495.85      0.434887  \n",
    "       -1493.41      0.427893  \n",
    "       -1208.68      0.471568  \n",
    "       -1206.18      0.461699  \n",
    "       -1206.04      0.461144  \n",
    "        -997.92      0.513532  \n",
    "        -996.61      0.506641  \n",
    "        -996.31      0.505062  \n",
    "        -834.94      0.535648  \n",
    "        -834.66      0.533726  \n",
    "        -710.03      0.568064  \n",
    "        -530.16      0.612886  \n",
    "        -464.17      0.624169  \n",
    "```\n",
    "Сравнить результат с аппроксимацией квадратным многочленом.\n",
    "Изобразить данные и построить графики найденных функций."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 28. Нелинейный метод наименьших квадратов\n",
    "\n",
    "[More J. J., Garbow B. S., Hillstrom K. E. Testing unconstrained optimization software // ACM TOMS. 1981. 7 (1). 17--41]\n",
    "\n",
    "Нелинейным методом наименьших квадратов\n",
    "построить модели вида\n",
    "$$\n",
    "y = \\beta_1 e^{-\\beta_2 x}\n",
    "\\qquad\n",
    "\\mbox{и}\n",
    "\\qquad\n",
    "y = \\beta_1 e^{\\frac{\\beta_2}{x+\\beta_3}}\n",
    "$$\n",
    "для данных, приведенных в таблице\n",
    "```\n",
    "  x         y    \n",
    "----------------                \n",
    " 50       34780    \n",
    " 55       28610    \n",
    " 60       23650    \n",
    " 65       19630    \n",
    " 70       16370    \n",
    " 75       13720    \n",
    " 80       11540    \n",
    " 85        9744    \n",
    " 90        8261    \n",
    " 95        7030    \n",
    "100        6005    \n",
    "105        5147    \n",
    "110        4427    \n",
    "115        3820    \n",
    "120        3307    \n",
    "125        2872    \n",
    "```\n",
    "Для первой функции также найдите аппроксимацию, сведя задачу к линейному методу наименьших квадратов. Найти общую ошибку в каждом из случаев и сравнить результаты."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 29. Нелинейный метод наименьших квадратов\n",
    "\n",
    "[Ratkowsky D. A. Nonlinear Regression Modeling. 1983]\n",
    "\n",
    "Нелинейным методом наименьших квадратов\n",
    "построить модели вида\n",
    "$$\n",
    "y = \\frac{\\beta_1}{1 + \\beta_2 e^{-\\beta_3 t}},\n",
    "\\qquad\n",
    "\\mbox{и}\n",
    "\\qquad\n",
    "y = \\frac{\\beta_1}{(1 + \\beta_2 e^{-\\beta_3 t})^{1/\\beta_4}},\n",
    "$$\n",
    "для данных, приведенных в таблице\n",
    "```\n",
    "    t         y    \n",
    "  ----------------   \n",
    "    1       16.08    \n",
    "    2       33.83  \n",
    "    3       65.80  \n",
    "    4       97.20  \n",
    "    5      191.55  \n",
    "    6      326.20  \n",
    "    7      386.87  \n",
    "    8      520.53  \n",
    "    9      590.03  \n",
    "   10      651.92  \n",
    "   11      724.93  \n",
    "   12      699.56  \n",
    "   13      689.96  \n",
    "   14      637.56  \n",
    "   15      717.41             \n",
    "```\n",
    "Предиктор $t$ – время, \n",
    "переменная отклика $y$ – вес сухой луковицы вместе с надземной частью растения.\n",
    "Найти общую ошибку в каждом из этих случаев и сравнить результаты."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 30. Аппроксимация данных. Солнечная активность\n",
    "\n",
    "http://www.sidc.be/silso/datafiles\n",
    "\n",
    "Ниже представлены данные по солнечной активности (усредненные числа Вольфа) с 1900 по 2015 гг. \n",
    "Изобразить данные.\n",
    "Подобрать модель, аппроксимирующую их. Построить график полученной аппроксимирующей функции.\n",
    "Можно воспользоваться пребразованием Фурье, чтобы определить частоту колебаний в солнечной активности.\n",
    "На какой ближайший год придется следующий пик солнечной активности?\n",
    "\n",
    "```\n",
    "Читать по строкам (1900...2015):\n",
    "  15.7 4.6 8.5 40.8 70.1 105.5 90.1 102.8 80.9\n",
    "  73.2 30.9 9.5 6.0 2.4 16.1 79.0 95.0 173.6 134.6\n",
    "  105.7 62.7 43.5 23.7 9.7 27.9 74.0 106.5 114.7\n",
    "  129.7 108.2 59.4 35.1 18.6 9.2 14.6 60.2 132.8\n",
    "  190.6 182.6 148.0 113.0 79.2 50.8 27.1 16.1 55.3\n",
    "  154.3 214.7 193.0 190.7 118.9 98.3 45.0 20.1 6.6\n",
    "  54.2 200.7 269.3 261.7 225.1 159.0 76.4 53.4\n",
    "  39.9 15.0 22.0 66.8 132.9 150.0 149.4 148.0 94.4\n",
    "  97.6 54.1 49.2 22.5 18.4 39.3 131.0 220.1 218.9\n",
    "  198.9 162.4 91.0 60.5 20.6 14.8 33.9 123.0 211.1\n",
    "  191.8 203.3 133.0 76.1 44.9 25.1 11.6 28.9 88.3\n",
    "  136.3 173.9 170.4 163.6 99.3 65.3 45.8 24.7 12.6\n",
    "  4.2 4.8 24.9 80.8 84.5 94.0 113.3 69.8\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 31. Аппроксимация данных. Логистическая функция. \n",
    "[Weiner B. Discovering Psychology. 1977]\n",
    "\n",
    "В таблице представлены средние значения количества слов $y$, которыми владеет ребенок в заданном возрасте $t$.\n",
    "```\n",
    "  t        y\n",
    "---------------  \n",
    " 1.0        3\n",
    " 1.5       22\n",
    " 2.0      272\n",
    " 2.5      446\n",
    " 3.0      896\n",
    " 3.5     1222\n",
    " 4.0     1540\n",
    " 4.5     1870\n",
    " 5.0     2072\n",
    " 6.0     2562\n",
    "```\n",
    "Построить линейную $y = \\beta_0 + \\beta_1 x$ и две логистические модели: \n",
    "$$\n",
    "y = \\frac{\\beta_0}{1 + \\beta_1 e^{-\\beta_2 t}},\n",
    "\\qquad\n",
    "y = \\frac{\\beta_0}{1 + \\beta_1 e^{-\\beta_2 (t - t_0)}},\n",
    "$$\n",
    "аппроксимирующие данные.    \n",
    "Найти общую ошибку в каждом из этих случаев и сравнить результаты.  \n",
    "    "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 32. Метод обратной квадратичной интерполяции\n",
    "\n",
    "Реализовать метод обратной квадратичной интерполяции для нахождения корня нелинейного уравнения.\n",
    "Привести примеры уравнений, для которых процесс а) сходится сверхлинейно; б) сходится с линейной скоростью; в) не сходится. \n",
    "Ваша программа должна строить графики этих функций, выдавать найденный корень и количество вычислений значений функции."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 33. Минимизация методом квадратичной интерполяции\n",
    "\n",
    "Реализовать метод квадратичной интерполяции для нахождения минимума функции, заданной на отрезке.\n",
    "Привести примеры функций, для которых процесс а) сходится сверхлинейно; б) сходится с линейной скоростью; в) не сходится. \n",
    "Ваша программа должна строить графики этих функций, выдавать найденную точку минимума и значение функции в ней и количество вычислений значений функции."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 34. Метод Хука–Дживса \n",
    "\n",
    "Реализовать метод Хука–Дживса для минимизации многомерных функций.\n",
    "Экспериментально сравнить его с методами первого и второго порядка."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 35. Цепная линия\n",
    "\n",
    "Однородная веревка, подвешенная в двух разных точках за свои концы, принимает вид так называемой _цепной линии_\n",
    "$$\n",
    "y = y_0 + a \\cosh \\frac{x-x_0}{a}, \\qquad a > 0.\n",
    "$$\n",
    "Функция $\\cosh x$ – это _гиперболический косинус_. Он выражается через экспоненту следующим образом:\n",
    "$$\n",
    "\\cosh x = \\frac{e^x + e^{-x}}{2}.\n",
    "$$\n",
    "Параметры $a$, $x_0$, $y_0$ можно найти, зная длину веревки $\\ell$ и координаты точек $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, в которых закреплены концы веревки. \n",
    "\n",
    "Длина дуги цепной линии равна\n",
    "$$\n",
    "\\ell = a\\left(\\sinh\\frac{x_2 - x_0}{a} - \\sinh\\frac{x_1 - x_0}{a}\\right).\n",
    "$$\n",
    "Функция $\\sinh x$ – это _гиперболический синус_. Он равен\n",
    "$$\n",
    "\\sinh x = \\frac{e^x - e^{-x}}{2}.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "1. Построить графики гиперболического косинуса и гиперболического синуса.\n",
    "\n",
    "2. Составить систему уравнений ($3$ уравнения, $3$ неизвестных), для определения параметров цепной линии по значениям длины веревки и координатам концов. Всегда ли данная система совместна и имеет единственное решение?\n",
    "\n",
    "3. Написать и отладить функцию, которая по значениям длины веревки и координатам концов находит все параметры цепной линии. Для решения системы уравнений воспользуйтесь функцией `scipy.optimize.newton`. \n",
    "\n",
    "4. Построить соответствующие цепные линии (в одних осях координат) для концевых точек $(-1,1)$, $(1,1)$ и разных значений $\\ell = 2,3,4,5$.\n",
    "\n",
    "5. Построить соответствующие цепные линии (в одних осях координат) для концевых точек $(-1,1)$, $(1,0)$ и разных значений $\\ell = 3,4,5$.\n",
    "\n",
    "Интересно сравнить построенные кривые с параболами $y = ax^2 + bx + c$, где $a>0$, заданной длины, проходящими через заданные точки. Задача построения такой параболы также сводится к решению аналогичной системы уравнений.\n",
    "\n",
    "Длина дуги параболы равна:\n",
    "$$\n",
    "\\ell = \n",
    "\\frac{1}{4a} \n",
    "\\Bigl(\n",
    "\\bigl(d_2\\sqrt{1 + d_2^2} + {\\rm arsinh}\\,d_2 \\bigr)\n",
    "-\n",
    "\\bigl(d_1\\sqrt{1 + d_1^2} + {\\rm arsinh}\\,d_1 \\bigr)\n",
    "\\Bigr),\n",
    "\\qquad\n",
    "d_1 = 2ax_1 + b,\n",
    "\\qquad\n",
    "d_2 = 2ax_2 + b,\n",
    "$$\n",
    "где ${\\rm arsinh}\\, x = \\ln(x + \\sqrt{x^2 + 1})$ – это _ареасинус_ – функция, обратная к $\\sinh x$.\n",
    "\n",
    "6. Составить систему уравнений ($3$ уравнения, $3$ неизвестных), для определения параметров такой параболы. Всегда ли данная система совместна и имеет единственное решение?\n",
    "\n",
    "7. Написать и отладить функцию, которая по значениям длины дуги и координатам концов находит все параметры параболы. Для решения системы уравнений воспользуйтесь функцией `scipy.optimize.newton`. \n",
    "\n",
    "8. В тех же осях координат, что и в п.4, построить параболы, проходящие через точки $(-1,1)$, $(1,1)$ и соответствующие разным значениям $\\ell = 2,3,4,5$.\n",
    "\n",
    "9. В тех же осях координат, что и в п.5, построить параболы, проходящие через точки $(-1,1)$, $(1,0)$ и соответствующие разным значениям $\\ell = 3,4,5$. Обратите внимание, что построенные параболы получаются более остроугольными, чем цепные линии.\n",
    "\n",
    "10. Сделайте выводы.\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 36. Модель роста с насыщением. Логистическая функция\n",
    "\n",
    "\n",
    "Crombie A. C. On competition between different species of graminivorous insects. Proceedings of the Royal Society of London. Series B-Biological Sciences 132.869 (1945): 362–395. https://royalsocietypublishing.org/doi/pdf/10.1098/rspb.1945.0003\n",
    "\n",
    "Ниже приведены данные о численности зернового точильщика (Rhyzopertha dominica) и зерновой моли (Sitotroga cerealella), разводимых (отдельно друг от друга) в 10-граммовой порции пшеничных \n",
    "зерен, пополняемых каждую неделю.\n",
    "\n",
    "```\n",
    "Сутки Rhiz Sit\n",
    "-------------------------\n",
    "  0   2   0 (100 eggs)\n",
    " 14   2   0\n",
    " 28   2   5\n",
    " 35   3  15\n",
    " 42  17  51\n",
    " 49  65  59\n",
    " 56 NaN  15\n",
    " 63 119  58\n",
    " 77 130 185\n",
    " 84 NaN 114\n",
    " 91 175  68\n",
    "105 205 151\n",
    "119 261 200\n",
    "133 302 130\n",
    "147 330 206\n",
    "161 315 178\n",
    "175 333 110\n",
    "189 350 180\n",
    "203 332 120\n",
    "231 333 200\n",
    "245 335 NaN\n",
    "259 330 NaN\n",
    "```\n",
    "\n",
    "`NaN` соответствуют пропущенным значениям.\n",
    "\n",
    "Нелинейным методом наименьших квадратов по этим данным постройте функции вида (логистическую функцию)\n",
    "$$\n",
    "y = \\frac{a}{1 + b e^{-ct}},\n",
    "$$\n",
    "предсказывающих количество особей $y$ по номеру суток $t$.\n",
    "\n",
    "Обратите внимание на задание начальных значений для решения соответствующей задачи оптимизации и обработке пропущенных значений.\n",
    "\n",
    "Изобразите данные и аппроксимирующие их функции.\n",
    "\n",
    "Сравните ваше решение с найденным в цитируемой статье:\n",
    "$$\n",
    "{\\rm Rhiz} = \\frac{338}{1 + 87 e^{-0.05 t}},\n",
    "\\qquad\n",
    "{\\rm Sit} = \\frac{200}{1 + 257 e^{-0.1 t}}.\n",
    "$$\n",
    "Постройте также графики и этих функций.\n",
    "\n",
    "Существенны ли отличия? Дайте объяснение и сделайте выводы.\n",
    "\n",
    "**Замечание.**\n",
    "В статье также приводятся данные и анализируются о численности популяции суринамского мукоеда (Oryzaephilus surinamensis), а также данные по изменению численности этих популяций в конкурентной среде. При этом для анализа используется модель Вольтерра–Лотке.\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 37. Оценка внутреннего коэффициента воспроизводства. Решение нелинейного уравнения\n",
    "\n",
    "[Birch L.C. The intrinsic rate of natural increase of an insect population. The Journal of Animal Ecology (1948): 15-26]\n",
    "\n",
    "В статье приводятся данные и анализируются данные о вероятностях дожития и фертильности особей рисового жука долгоносика (Calandra oryzae), выращиваемых в оптимальных условиях (29 градусов C, пшеница, 14% влажность)\n",
    "\n",
    "Ниже в таблице для возраста $t$ (в неделях) особи женского пола указаны:\n",
    "* $l_t$ – вероятность дожития до этого возраста;\n",
    "* $m_t$ – среднее число потомков женского пола, рожденных одной особью в этом возрасте.\n",
    "\n",
    "```\n",
    "  t   l_t  m_t  \n",
    "----------------  \n",
    "  4.5 0.87 20.0\n",
    "  5.5 0.83 23.0\n",
    "  6.5 0.81 15.0\n",
    "  7.5 0.80 12.5\n",
    "  8.5 0.79 12.5\n",
    "  9.5 0.77 14.0\n",
    " 10.5 0.74 12.5\n",
    " 11.5 0.66 14.5\n",
    " 12.5 0.59 11.0\n",
    " 13.5 0.52  9.5\n",
    " 14.5 0.45  2.5\n",
    " 15.5 0.36  2.5\n",
    " 16.5 0.29  2.5\n",
    " 17.5 0.25  4.0\n",
    " 18.5 0.19  1.0\n",
    "```\n",
    "\n",
    "По данным найдите *чистый коэффициент воспроизводства* (net reproduction rate)\n",
    "$$\n",
    "R_0 = \\sum_{t} l_t m_t\n",
    "$$\n",
    "Этот коэффициент равен среднему количеству особей, которых рождает самка за всю жизнь (или, что то же самое, множитель, на который умножается численность популяции за одно поколение), если популяция живет в идеальных условиях на неограниченной территории. \n",
    "\n",
    "Коэффициент $R_0$ следует отличать от *внутреннего коэффициента естественной репродукции* (Intrinsic Rate of Natural Increase) $r$ – множитель накаждую особь, на который умножается численность популяции, живущей в определенных условиях на неограниченной территории.\n",
    "$$\n",
    "N' = r N,\n",
    "\\qquad\n",
    "N = N_0 e^{rt}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Коэффициент $r$ равен $r = b - d$ (birth-rate - death-rate)\n",
    "\n",
    "$r$ можно определить по $R_0$ путем решения уравнения \n",
    "$$\n",
    "\\sum_t e^{-rt} l_t m_t = 1.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Построить график функции в левой части уравнения. Подобрать показательный диапазон для $r$.\n",
    "\n",
    "Численно решить данное нелинейное уравнение, используя `scipy.optimize.brentq`.\n",
    "\n",
    "(Ответ: 0.7620)\n",
    "\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## 38. Выплаты по кредиту. Решение трансцендентного уравнения\n",
    "\n",
    "Предположим, что кто-то желает взять кредит на сумму $\\$100000$.\n",
    "Он выбирает среди следующих возможностей:\n",
    "\n",
    " 1) взять кредит на $10$ лет с ежемесячными выплатами в $\\$1500$;\n",
    " \n",
    " 2) взять кредит на $15$ лет с ежемесячными выплатами в $\\$1250$;\n",
    " \n",
    " 3) взять кредит на $20$ лет с ежемесячными выплатами в $\\$1160$.\n",
    "\n",
    "Какой кредит выгоднее брать?\n",
    "\n",
    "Можно просто вычислить переплату, а можно еще учесть процентные ставки.\n",
    "\n",
    "Сами процентные ставки здесь не указаны, но можно их найти из *основного финансового уравнения*:\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "{\\rm PV}\\, (1+i)^n + {\\rm PMT}\\, (1+i)^{n-1} + {\\rm PMT}\\, (1+i)^{n-2} + \\dots + {\\rm PMT} + {\\rm FV} = 0, \\tag{1}\n",
    "$$\n",
    "связывающего следующие величины:\n",
    " - ${\\rm PV}$ - величина кредита (present value);\n",
    " - ${\\rm FV}$ - баланс после $n$ платежей (future value);\n",
    " - ${\\rm PMT}$ - величина периодического платежа со знаком минус (payment);\n",
    " - $n$ - количество платежей;\n",
    " - $i$ - процентная ставка (interest rate).\n",
    " \n",
    "Например, для случая 1):\n",
    " - ${\\rm PV} = 100000$;\n",
    " - ${\\rm FV} = 0$ (после всех платежей банк и частное лицо друг другу ничего не должны);\n",
    " - ${\\rm PMT} = -1500$;\n",
    " - $n = 10\\times 12 = 120$.\n",
    " \n",
    "Используя формулу для суммы элементов геометрической прогрессии, уравнение (1) запишем в следующем виде:\n",
    "$$\n",
    "{\\rm PV}\\, (1+i)^n + {\\rm PMT}\\, \\frac{(1+i)^n - 1}{i} + {\\rm FV} = 0, \\tag{2}\n",
    "$$\n",
    "Относительно $i$ это уравнение в общем случае аналитические решено быть не может, поэтому надо использовать численные методы.\n",
    "\n",
    " 1. Написать функцию, решающее уравнение (2). Ваша функция должна вызывать `scipy.optimize.brentq`. Можете воспользоваться другим методом. Обоснуйте свой выбор. \n",
    " 2. Рассчитать годовые процентные ставки для примеров 1)-3). Годовая процентная ставка равна $i_{\\rm year}=mi$, где $m$ - количество платежей в год (в нашем случае $m=12$).\n",
    " 3. Сравнить процентные ставки. Какой кредитный план выбрали бы вы? \n",
    "\n",
    "**Замечание.**\n",
    "Уравнения (1), (2) можно использовать и для рассчета выплат по вкладам. В этом случае ${\\rm PV} < 0$, ${\\rm PMT} \\ge 0$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# 38. Функция Ламберта\n",
    "\n",
    "*Функция Ламберта* (или product log - функция) $W(x)$ - это функция, обратная к функции\n",
    "$$\n",
    "y = x e^x. \\tag{1}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Вначале построим график функции $x e^x$:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 90,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "image/png": "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\n",
      "text/plain": [
       "<Figure size 432x288 with 1 Axes>"
      ]
     },
     "metadata": {
      "needs_background": "light"
     },
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "xx = np.linspace(-7, 1)\n",
    "yy = xx*np.exp(xx)\n",
    "plt.plot(xx, yy)\n",
    "plt.title('$x e^x$')\n",
    "plt.grid()"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "График обратной функции теперь проще построить, поменяв местами аргументы в функции `plt.plot()`:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 96,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "image/png": "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\n",
      "text/plain": [
       "<Figure size 432x288 with 1 Axes>"
      ]
     },
     "metadata": {
      "needs_background": "light"
     },
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "plt.plot(yy, xx)\n",
    "plt.title('$W(x)$')\n",
    "plt.grid()"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Мы видим, что функция Ламберта - многозначная. В области вещественных чисел у нее две ветви (и счетное число ветвей, если рассматривать комплекснозначные функции комплексного аргумента): \n",
    "\n",
    " - \"верхняя\", определенная для всех $x \\ge -1/e$, при этом $y\\ge -1$, и \n",
    " - \"нижняя\" - для $-1/e\\le x < 0$, при этом $y\\le -1$.\n",
    " \n",
    "Изобразим своим цветом каждую из этих ветвей:"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 95,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "image/png": "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\n",
      "text/plain": [
       "<Figure size 432x288 with 1 Axes>"
      ]
     },
     "metadata": {
      "needs_background": "light"
     },
     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "xxm1 = np.linspace(-7, -1)\n",
    "yym1 = xxm1*np.exp(xxm1)\n",
    "\n",
    "xx0 = np.linspace(-1, 1)\n",
    "yy0 = xx0*np.exp(xx0)\n",
    "\n",
    "plt.plot(yy0, xx0, label='$k=0$')\n",
    "plt.plot(yym1, xxm1, label='$k=-1$')\n",
    "plt.title('$W(x)$')\n",
    "plt.legend()\n",
    "plt.grid()"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Функцию Ламберта можно вычислить с помощью функции `scipy.special.lambertw`:\n",
    "\n",
    " - `lambertw(x, k=0)` дает значения для \"верхней\" ветви (по умолчанию);\n",
    " - `lambertw(x, k=-1)` дает значения для \"нижней\" ветви.\n",
    " "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 88,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "(0j, (0.5671432904097838+0j), (0.958586356728703+0j), -2.5426413577735265)"
      ]
     },
     "execution_count": 88,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "from scipy.special import lambertw\n",
    "\n",
    "lambertw(0, k=0), lambertw(1), lambertw(2.5), lambertw(-.2, k=-1).real"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Вычисления этой функции могут быть не очень точны вблизи точки $x_0 = -1/e$. В частности, график этой функции можно нарисовать с помощью `lambertw(x)`, но они получаются не такими аккуратными, как  были построены выше."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 87,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "((nan+nanj), (-0.9976701662720396+0j), (nan+nanj), (-1.0023334581084216+0j))"
      ]
     },
     "execution_count": 87,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "lambertw(-np.exp(-1)), lambertw(-np.exp(-1)+1e-6), lambertw(-np.exp(-1), k=-1), lambertw(-np.exp(-1)+1e-6, k=-1)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "1. Написать свою функцию `mylambert(x, k, tol)`, вычисляющую значение функции Ламберта. Функция должна решать уравнение (1), используя `scipy.optimize.brentq`. Можете воспользоваться другим методом. Обоснуйте свой выбор.\n",
    "\n",
    "2. Сравнить `mylambert(x, k, tol)` и `lambertw(x, k, tol)` по точности и скорости работы."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# 39. Уравнение $2^x = x^2$\n",
    "\n",
    "Уравнение $2^x = x^2$ имеет $3$ вещественных решения.\n",
    "\n",
    "1. Постройте графики функций $y=2^x$ и $y = x^2$ и убедитесь, что они пересекаются в 3 точках.\n",
    "2. Найдите все 3 решения с помощью функции `scipy.optimize.brentq`. Можете воспользоваться другим методом. Обоснуйте свой выбор.\n",
    "3. Выразите решения уравнения через функцию Ламберта (см. № 38). Найдите все три решения с помощью функции `scipy.special.lambertw`. Вам придется работать с комплексными значениями этой функции, чтобы получить вещественные корни исходного уравнения.\n",
    "4. Сравните все подходы и сделайте выводы."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# 40. Земное время и всемирное время\n",
    "\n",
    "\n",
    "*Всемирное время* ${\\rm UT}$ связано с вращением Земли. Поскольку вращение Земли вокруг собственной оси замедляется (из-за приливных сил), причем некоторым  неравномерным образом, то в некоторых случаях (например, в астрономии) необходима другая шкала времени, текущая равномерно. В отличие от всемирного времени — *земное время* ${\\rm TT}$ является теоретически равномерной временной шкалой.\n",
    "\n",
    "Ниже приведены данные (полученные наблюдениями) зависимости $\\Delta T = {\\rm TT} - {\\rm UT}$ (в секундах) от года.\n",
    "[Morrison, L. V.; Stephenson, F. R., Historical values of the Earth's clock error ΔT and the calculation of eclipses, Journal for the History of Astronomy, 35(2004), 327-336 — addendum in ibid., 36 (2005), 339]\n",
    "\n",
    "```\n",
    " year   ΔT\n",
    "-1000 25400\n",
    " -900 23700\n",
    " -800 22000\n",
    " -700 20400\n",
    " -600 18800\n",
    " -500 17190 \n",
    " -400 15530\n",
    " -300 14080\n",
    " -200 12790\n",
    " -100 11640\n",
    "    0 10580\n",
    "  100  9600\n",
    "  200  8640\n",
    "  300  7680\n",
    "  400  6700\n",
    "  500  5710\n",
    "  600  4740\n",
    "  700  3810\n",
    "  800  2960\n",
    "  900  2200\n",
    " 1000  1570\n",
    " 1100  1090\n",
    " 1200   740\n",
    " 1300   490\n",
    " 1400   320\n",
    " 1500   200\n",
    " 1600   120\n",
    " 1700     9\n",
    " 1710    10\n",
    " 1720    11\n",
    " 1730    11\n",
    " 1740    12\n",
    " 1750    13\n",
    " 1760    15\n",
    " 1770    16\n",
    " 1780    17\n",
    " 1790    17\n",
    " 1800    14\n",
    " 1810    13\n",
    " 1820    12\n",
    " 1830     8\n",
    " 1840     6 \n",
    " 1850     7\n",
    " 1860     8\n",
    " 1870     2\n",
    " 1880    -5\n",
    " 1890    -6\n",
    " 1900    -3\n",
    " 1910    10\n",
    " 1920    21\n",
    " 1930    24\n",
    " 1940    24\n",
    " 1950    29\n",
    " 1960    33\n",
    " 1970    40\n",
    " 1980    51\n",
    " 1990    57\n",
    " 2000    65\n",
    "```\n",
    "\n",
    "1. Изобразите эти данные на графике. Отдельно постройте график для данных начиная с 1700 г.\n",
    "\n",
    "2. Методом наименьших квадратов подберите многочлены степеней $1$—$4$, аппроксимирующие данные. Вначале рекомендуется перейти к сдвинутой шакле по времени, в качестве нулевого момента времени, например, выбрав 1800 г.\n",
    "\n",
    "3. Сравните построенные приближения между собой (по точности) и с \"классическим\" приближением $32\\Bigl(({\\rm year} - 1820)/100\\Bigr)^2$.\n",
    "\n",
    "4. Сделайте выводы.\n",
    "\n",
    "Вы можете познакомиться с другими подходами к определению формулы для $\\Delta T$ по работам, собранным на <a href=\"http://astro.altspu.ru/~aw/DeltaT\">сайте Александра Вольфа</a>\n",
    "\n",
    "**Замечание.** Для согласования шкал к всемирному времения 30 июня и 31 декабря при необходимости добавляется (потенциально может быть вычтена) <a href=\"https://ru.wikipedia.org/wiki/Дополнительная_секунда\">Дополнительная секунда</a>\n",
    "\n",
    "```\n",
    "Year  Jun 30 Dec 31\n",
    "1972\t+1\t+1\n",
    "1973\t0\t+1\n",
    "1974\t0\t+1\n",
    "1975\t0\t+1\n",
    "1976\t0\t+1\n",
    "1977\t0\t+1\n",
    "1978\t0\t+1\n",
    "1979\t0\t+1\n",
    "1980\t0\t0\n",
    "1981\t+1\t0\n",
    "1982\t+1\t0\n",
    "1983\t+1\t0\n",
    "1984\t0\t0\n",
    "1985\t+1\t0\n",
    "1986\t0\t0\n",
    "1987\t0\t+1\n",
    "1988\t0\t0\n",
    "1989\t0\t+1\n",
    "1990\t0\t+1\n",
    "1991\t0\t0\n",
    "1992\t+1\t0\n",
    "1993\t+1\t0\n",
    "1994\t+1\t0\n",
    "1995\t0\t+1\n",
    "1996\t0\t0\n",
    "1997\t+1\t0\n",
    "1998\t0\t+1\n",
    "1999\t0\t0\n",
    "2000\t0\t0\n",
    "2001\t0\t0\n",
    "2002\t0\t0\n",
    "2003\t0\t0\n",
    "2004\t0\t0\n",
    "2005\t0\t+1\n",
    "2006\t0\t0\n",
    "2007\t0\t0\n",
    "2008\t0\t+1\n",
    "2009\t0\t0\n",
    "2010\t0\t0\n",
    "2011\t0\t0\n",
    "2012\t+1\t0\n",
    "2013\t0\t0\n",
    "2014\t0\t0\n",
    "2015\t+1\t0\n",
    "2016\t0\t+1\n",
    "2017\t0\t0\n",
    "2018\t0\t0\n",
    "2019\t0\t0\n",
    "2020\t0\t0\n",
    "```\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# 41. Закон Архимеда\n",
    "\n",
    "\n",
    "Шар радиуса $R$ и плотности $\\rho$ плавает в жидкости плотности $\\rho_0$. Требуется определить, на какую глубину погрузится в жидкость этот шар. Задача сводится к решению кубического уравнения. \n",
    "\n",
    "1. Выведите это кубическое уравнение\n",
    "\n",
    "2. Решите его численно (см. `scipy.optimize.brentq` или другой метод) для значений:\n",
    "\n",
    "    2а. $R = 1$, $\\rho = 500$, $\\rho_0 = 1000$\n",
    "\n",
    "    2b. $R = 1$, $\\rho = 755$, $\\rho_0 = 997$\n",
    "\n",
    "    Уравнение имеет три решения. Какие из них надо отбросить?\n",
    "\n",
    "3. Построить график зависимости глубины погружения шара единичного радиуса от значения $\\rho/\\rho_0$.\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# 42. Момент инерции\n",
    "\n",
    "Требуется определить внешний $R$ и внутренний $r$ радиусы цилиндрической трубы, если известны ее длина $\\ell$, толщина $h=R-r$, плотность $\\rho$ и момент инерции относительно ее продольной оси $I$. \n",
    "\n",
    "Момент инерции для цилиндрической трубы вычисляется по формуле\n",
    "$$\n",
    "I = \\frac{\\pi\\rho \\ell}{2} (R^4 - r^4)\n",
    "$$\n",
    "и задача сводится к решению кубического уравнения.\n",
    "\n",
    "1. Выведите это кубическое уравнение\n",
    "\n",
    "2. Решите его численно (см. `scipy.optimize.brentq` или другой метод) для значений:\n",
    "   $\\ell = 2$, $h=0.02$, $\\rho = 1200$, $I = 1.2$. Сколько вещественных корней имеет уравнение?\n",
    "\n",
    "3. Построить график зависимости $r$ от $I$ при значениях $\\ell$, $h$, $\\rho$, указанных выше.\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": []
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.7.6"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 2
}