add 专升本 高等数学及其应用 多元函数微分学及其应用 多元函数的极值及其求法

Author: Yue-plus

docs/20-专升本/高等数学及其应用/05-多元函数微分学及其应用/08-多元函数的极值及其求法.md

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+# 多元函数的极值及其求法
+
+## 多元函数的极值及最大值与最小值
+
+### 定义
+
+设函数 $z=f(x,y)$ 的定义域为 $D$，$P_0(x_0,y_0)$ 为 $D$ 的内点。
+若存在 $P_0$ 的某个邻域 $U(P_0) \subset D$，使得对于该邻域内异于 $P_0$ 的任何点 $(x,y)$，都有
+
+$$
+f(x, y) < f(x_0, y_0)
+$$
+
+则称函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 有 ***极大值*** $(x_0,y_0)$ 点为函数 $f(x,y)$ 的 ***极大值点***；
+若对于该邻域内异于 $P_0$ 的任何点 $(x,y)$，都有
+
+$$
+f(x, y) > f(x_0, y_0)
+$$
+
+则称函数 $f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 有 ***极小值*** $(x_0, y_0)$ 点为函数 $f(x, y)$ 的 ***极小值点***。
+极大值与极小值统称为 ***极值*** 。
+使得函数取得极值的点称为 ***极值点*** 。
+
+### 定理 1 （必要条件）
+
+设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 具有偏导数，且在点 $(x_0, y_0)$ 处有极值，则有
+
+$$
+f_x(x_0,y_0) = 0, \quad f_y(x_0,y_0) = 0
+$$
+
+### 定理 2 （充分条件）
+
+设函数 $z = f(x, y)$ 在点 $(x_0, y_0)$ 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 $f_x(x_0, y_0) = 0, \quad f_y(x_0, y_0) = 0$，令
+
+$$
+f_{xx}(x_0, y_0) = A, \quad f_{xy}(x_0, y_0) = B, \quad f_{yy}(x_0, y_0) = C
+$$
+
+则 $f(x, y)$ 在 $(x_0, y_0)$ 处是否取得极值的条件如下：
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+1. 当 $AC - B^2 > 0$ 时有极值，且当 $A < 0$ 时有极大值，当 $A > 0$ 时有极小值；
+2. 当 $AC - B^2 < 0$ 时没有极值；
+3. 当 $AC - B^2 = 0$ 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。
+
+### 具有二阶连续偏导数的函数 $z = f(x, y)$ 的极值的求法
+
+- ***第一步*** 解方程组
+
+  $$
+  f_x(x, y) = 0, \quad f_y(x, y) = 0
+  $$
+
+  求得一切实数解，即可求得一切驻点。
+
+- ***第二步*** 对于每一个驻点 $(x_0, y_0)$ ，求出二阶偏导数的值 $A, B$ 和 $C$。
+
+- ***第三步*** 定出 $AC - B^2$ 的符号，按 **定理 2** 的结论判定 $f(x_0, y_0)$ 是不是极值，是极大值还是极小值。
+
+## 条件极值
+
+对于函数的自变量，除了限制在函数的定义域内以外，并无其他条件，所以有时候称为 ***无条件极值*** 。
+对自变量有附加条件的极值称为 ***条件极值*** 。
+
+## 拉格朗日乘数法
+
+要找函数 $z=f(x, y)$ 在附加条件 $\varphi(x, y) = 0$ 下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数
+
+$$
+L(x, y) = f(x, y) + \lambda \varphi(x, y)
+$$
+
+> 函数 $L(x, y)$ 称为 ***拉格朗日函数*** ，参数 $\lambda$ 称为 ***拉格朗日乘子*** 。
+
+其中 $\lambda$ 为参数。
+求其对 $x, y$ 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程联立起来：
+
+$$
+\tag{8-8}
+\begin{cases}
+    f_x(x, y) + \lambda \varphi_x(x, y) = 0 \\
+    f_y(x, y) + \lambda \varphi_y(x, y) = 0 \\
+    \varphi(x, y) = 0
+\end{cases}
+$$
+
+由这方程组解出 $x, y$ 及 $\lambda$ ，这样得到的 $(x, y)$ 就是函数 $f(x, y)$ 在附加条件 $\varphi(x, y) = 0$ 下的可能极值点。
+
+这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。
+例如，要求函数 $u = f(x, y, z, t)$ 在附加条件
+
+$$
+\tag{8-9}
+\varphi(x, y, z, t) = 0, \quad \psi(x, y, z, t) = 0
+$$
+
+下的极值，可以先作拉格朗日函数
+
+$$
+L(x, y, z, t) = f(x, y, z, t) + \lambda \varphi(x, y, z, t) + \mu \psi(x, y, z, t)
+$$
+
+其中 $\lambda, \mu$ 均为参数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与 (8-9) 中的两个方程联立起来求解，这样得出的 $(x, y, z, t)$ 就是函数 $f(x, y, z, t)$ 在附加条件 (8-9) 下的可能极值点。
+
+至于如何确定所求得的点是不是极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定。

docs/20-专升本/高等数学及其应用/05-多元函数微分学及其应用/INDEX.md

@@ -23,9 +23,10 @@ title: 多元函数微分学及其应用
 05. 了解 [隐函数存在定理](./05-隐函数的求导公式.md#一个方程的情形) ，
     掌握求由方程 $F(x, y, z) = 0$ 所确定隐函数 $z = z(x, y)$ 的一阶偏导数的方法；
 
-06. 掌握求二元函数极值的方法。
+06. 掌握求 [二元函数极值的方法](./08-多元函数的极值及其求法.md#定理-2-充分条件) 。
 
 ## （二）多元函数微分学的应用
 
-01. 掌握实际问题中的多元函数最值的求解方法；
-02. 掌握用拉格朗日乘数法求解实际问题最值的方法。
+01. 掌握实际问题中的 [多元函数最值的求解方法](./08-多元函数的极值及其求法.md#具有二阶连续偏导数的函数-z--fx-y-的极值的求法) ；
+
+02. 掌握 [用拉格朗日乘数法](./08-多元函数的极值及其求法.md#拉格朗日乘数法) 求解实际问题最值的方法。