add 专升本 高等数学及其应用 二重积分及其应用 二重积分的计算法

Author: Yue-plus

docs/20-专升本/高等数学及其应用/06-二重积分及其应用/02-二重积分的计算法.md

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+# 二重积分的计算法
+
+按照二重积分的定义来计算二重积分，对少数特别简单的被积函数和积分区域来说是可行的，
+但对一般的函数和区域来说，这不是一种切实可行的方法，
+本节介绍一种计算二重积分的方法，这种方法是把二重积分化为两次定积分来计算。
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+## 利用直角坐标计算二重积分
+
+// TDOO: 同济高数下 p136
+
+## 利用极坐标计算二重积分
+
+// TDOO: 同济高数下 p142
+
+## 交换二次积分的积分次序的方法
+
+### **1. 理解积分区域的几何意义**
+
+二重积分的积分区域通常是某个平面区域 $D$ ，你需要清楚该区域的边界形式。例如：
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+- **直角区域**（矩形）：通常可以直接交换积分次序。
+- **一般区域**：需要分析区域的上下或左右边界，确定适合的积分次序。
+
+### **2. 画出积分区域**
+
+最有效的方法是画出积分区域的图像，观察其边界：
+
+1. 确定当前的积分次序，比如：
+
+   $$
+   \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} x
+   $$
+
+   表示对 $y$ 先积分，其上界和下界是关于 $x$ 的函数 $g_1(x)$ 和 $g_2(x)$。
+
+2. 画出该区域，找出是否可以用另一种积分次序描述（如以 $x$ 作为内积分变量）。
+
+### **3. 确定新积分次序**
+
+如果原积分次序是 $\int_x \int_y$ ，交换次序后变成 $\int_y \int_x$ ，则需要：
+
+- 找出在 $y$ 方向上的变化范围（最小值到最大值）。
+- 对于每个固定的 $y$ ，找到对应的 $x$ 变化范围。
+
+比如，考虑积分：
+
+$$
+\int_0^1 \int_x^1 f(x,y) \, \mathrm{d} y \, \mathrm{d} x
+$$
+
+- 原积分次序：对 $y$ 先积分，它从 $x$ 到 $1$ 变化；$x$ 从 0 到 1 变化。
+- 交换次序：
+  - $y$ 的范围是从 0 到 1。
+  - 在固定的 $y$ 下，$x$ 变为从 0 到 $y$。
+  - 新积分表达式：
+    $$
+    \int_0^1 \int_0^y f(x,y) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y
+    $$
+
+### **4. 练习不同类型的积分区域**
+
+常见的积分区域有：
+
+1. **矩形区域**（最简单，直接交换次序）。
+2. **三角形区域**（两条边界函数不同，需要换次序）。
+3. **由曲线或函数定义的区域**（如抛物线、圆等）。
+4. **非标准区域**（如椭圆、极坐标等情况）。
+
+多做练习，掌握从图形到积分次序变换的能力。
+
+### **5. 极坐标变换（适用于特殊情况）**
+
+如果积分区域涉及圆形边界，考虑将二重积分换成极坐标：
+
+$$
+\int\int_D f(x,y) \, \mathrm{d} x \, \mathrm{d} y
+= \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{r_1}^{r_2} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r \, \mathrm{d} r \, \mathrm{d} \theta
+$$

docs/20-专升本/高等数学及其应用/06-二重积分及其应用/INDEX.md

@@ -8,4 +8,5 @@ title: 二重积分及其应用
     [概念](./01-二重积分的概念与性质.md#二重积分的概念) 与
     [性质](./01-二重积分的概念与性质.md#二重积分的性质) ，了解二重积分的几何意义；
 
-02. 熟练掌握直角坐标系和极坐标系下二重积分的计算方法，掌握交换二次积分的积分次序的方法。
+02. 熟练掌握 [直角坐标系](./02-二重积分的计算法.md#利用直角坐标计算二重积分) 和
+    [极坐标系](./02-二重积分的计算法.md#利用极坐标计算二重积分) 下二重积分的计算方法，掌握交换二次积分的积分次序的方法。