update 专升本 高等数学及其应用 题集 选择题

Author: Yue-plus

docs/20-专升本/高等数学及其应用/01-函数、极限和连续/01-映射与函数.md

@@ -139,6 +139,17 @@ $D$ 称为 ***定义域*** ，
 
   恒成立, 那么称 $f(x)$ 为 ***奇函数*** 。
 
+> 奇函数的函数图像是 **原点对称** 或 **中心对称** 的，
+> 偶函数的函数图像是 **轴对称** 的。
+> 
+> 偶函数 × 偶函数 = 偶函数<br />
+> 奇函数 × 奇函数 = 偶函数<br />
+> 奇函数 × 偶函数 = 奇函数<br />
+> 
+> 简单地说就是，
+> 具有相同奇偶性的函数的乘积为偶函数；
+> 具有不同奇偶性的函数的乘积为奇函数。
+
 ### 函数的周期性
 
 设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$。

docs/20-专升本/高等数学及其应用/02-一元函数微分学及其应用/01-导数与微分/01-导数的概念.md

@@ -49,7 +49,13 @@ $$
 
 ## 函数和可导性与连续性的关系
 
-***可导必连续 连续不一定可导***
+***（在一元函数中）可导必连续 连续不一定可导***
+
+$$
+\Large
+\text{可导} \hArr \text{可微} \rArr \text{连续} \\
+\text{连续} \not \rArr \text{可微} \hArr \text{可导}
+$$
 
 ----------
 

docs/20-专升本/高等数学及其应用/30-题集/01-选择题.md

@@ -159,17 +159,17 @@ $$
 - C. 可微不是连续的充分条件
 - D. 连续是可导的充要条件
 
-<details open>
+<details>
 <summary>答案解析</summary>
 
 **答案：B. 可导是可微的充要条件**
 
 **考点解析：**
 - [充分条件与必要条件](https://math.note.yue.zone/docs/%E9%AB%98%E4%B8%AD/%E9%9B%86%E5%90%88/%E5%85%85%E8%A6%81%E6%9D%A1%E4%BB%B6#%E5%85%85%E5%88%86%E6%9D%A1%E4%BB%B6%E4%B8%8E%E5%BF%85%E8%A6%81%E6%9D%A1%E4%BB%B6)
+- [*可导必连续 连续不一定可导*](../02-一元函数微分学及其应用/01-导数与微分/01-导数的概念.md#函数和可导性与连续性的关系)
 - [可导、可微、连续的关系 - 知乎](https://zhuanlan.zhihu.com/p/21243875450)
 
 **解题思路：**
-选项分析：
 
 - **A. 连续是可微的充分条件 ❌**
   - 反例：$ f(x) = |x| $ 在 $ x=0 $ 处连续，但不可导，因此更不可能可微。
@@ -189,6 +189,111 @@ $$
 
 </details>
 
+----------
+
+下列等式正确的是（____）
+
+- A. $\int \mathrm{d} f(x) = f(x)$
+- B. $\mathrm{d} \int f(x) \mathrm{d} x = f(x)$
+- C. $\int f'(x) \mathrm{d} x = f(x)$
+- D. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int f(x) \mathrm{d} x = f(x)$
+
+<details>
+<summary>答案解析</summary>
+ 
+**答案：D. $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int f(x) \mathrm{d} x = f(x)$**
+
+**考点解析：**
+- [原函数定义](../03-一元函数积分学及其应用/01-不定积分/01-不定积分的概念与性质.md#原函数与不定积分的概念) ：
+  如果 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int f(x) \mathrm{d}x = F(x) + C$
+- [牛顿-莱布尼茨公式](../03-一元函数积分学及其应用/02-定积分/02-微积分基本公式.md#牛顿-莱布尼茨公式) ：
+  $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int f(x) \mathrm{d} x = f(x)$
+  （严格意义上适用于定积分，但不定积分的求导仍然满足，可以看作是不定积分与求导互为逆运算的基本性质。）
+
+
+**解题思路：**
+- **选项 A** : $\int \mathrm{d} f(x) = f(x)$
+  - **错误**，应该是 $\int \mathrm{d} f(x) = f(x) + C$，少了一个积分常数 $C$。
+
+- **选项 B** : $\mathrm{d} \int f(x) \mathrm{d} x = f(x)$
+  - **错误**，对不定积分 $F(x) = \int f(x) \mathrm{d}x$ 进行微分，应该得到 $\mathrm{d}F(x) = F'(x) \mathrm{d}x = f(x) \mathrm{d}x$，而非 $f(x)$。
+
+- **选项 C** : $\int f'(x) \mathrm{d} x = f(x)$
+  - **错误**，应为 $\int f'(x) \mathrm{d} x = f(x) + C$，缺少了积分常数 $C$。
+
+- **选项 D** : $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int f(x) \mathrm{d} x = f(x)$
+  - **正确**，根据牛顿-莱布尼茨公式，微积分互为逆运算，成立。
+
+</details>
+
+----------
+
+函数 $f(x) = 2^x - 2^{-x}$ 是（____）
+
+- A. 奇函数
+- B. 偶函数
+- C. 有界函数
+- D. 周期函数
+
+<details>
+<summary>答案解析</summary>
+
+**答案：A. 奇函数**
+
+**考点解析：**
+- [函数的有界性、奇偶性、周期性](../01-函数、极限和连续/01-映射与函数.md#函数的有界性)
+
+**解题思路：**
+
+1. 判断奇偶性
+
+   $$
+   -f(x) = -(2^x - 2^{-x}) = -2^x + 2^{-x} = 2^{-x} - 2^x = f(-x)
+   $$
+
+   因此，$f(x)$ 是 **奇函数** ，选项 **A** 正确。
+
+2. 判断有界性
+
+   考虑 $f(x) = 2^x - 2^{-x}$ 的极限：
+   
+   - 当 $x \to +\infty$ 时，$2^x$ 迅速增大，而 $2^{-x} \to 0$，因此 $f(x) \to +\infty$。
+   - 当 $x \to -\infty$ 时，$2^{-x}$ 迅速增大，而 $2^x \to 0$，因此 $f(x) \to -\infty$。
+
+   由于 $f(x)$ 的值域为 $(-\infty, +\infty)$，它**不是有界函数**，选项 **C** 错误。
+
+3. 判断周期性
+
+   若 $f(x)$ 为周期函数，则存在 $T>0$ 使得： $f(x+T) = f(x)$<br />
+   即： $2^{x+T} - 2^{-(x+T)} = 2^x - 2^{-x}$<br />
+   整理可得： $2^x(2^T - 2^{-T}) = 2^x - 2^{-x}$<br />
+   即： $2^x(2^T - 2^{-T} - 1) = -2^{-x}$<br />
+   由于 $2^x$ 不恒为 0，要求恒成立，则 $2^T - 2^{-T} - 1 = 0$。
+   该方程无满足 $T>0$ 的解，因此 $f(x)$ **不是周期函数**，选项 **D** 错误。
+
+</details>
+
+----------
+
+设函数 $y = y(x)$ 由方程 $e^{x+y} + x^2y = 1$ 确定，则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} \big |_{x=0} =$ （____）
+
+- A. $e$
+- B. $-e$
+- C. $-1$
+- D. $1$
+
+<details open>
+<summary>答案解析</summary>
+
+**答案：**
+
+**考点解析：**
+[隐函数及由参数方程所确定的函数的导数](../02-一元函数微分学及其应用/01-导数与微分/04-隐函数及由参数方程所确定的函数的导数-相关变化率.md)
+
+**解题思路：**
+
+</details>
+
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