3-1.Intro.md

矩阵基础概念

齐次坐标

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定义

通俗地讲，齐次坐标是：

• $(x, y, z)$ 额外附加一个维度,表示为 $(x, y, z, w)$
• 其中$w \neq 0$
• $(x, y, z, w)$ 与 $(\frac{x}{w}, \frac{y}{w}, \frac{z}{w}, 1)$ 等价

使用原因

$(x, y, z)$ 表示三维空间坐标，对应变换矩阵为 $3\times3$ 矩阵，只能进行线性变换。而使用齐次坐标(或者叫另外一个名字投影坐标比较容易理解)，可以进行更通用的仿射变换。

矩阵重要性质

• 满足结合律 $(m_1 m_2) m_3 = m_1 (m_2 m_3)$
• 不满足交换律 $m_1 m_2 \neq m_2 m_1$
• 矩阵乘法维度 $M_{a \times b} M_{b \times c} = M_{a \times c}$
• 任何矩阵与单位矩阵相乘结果仍然是该矩阵

OpenGL特点

OpenGL使用列向量，即 $4 \times 4$ 矩阵使用长度16的浮点数数组data表示时，形式为

data[0] data[4] data[8] data[12]
data[1] data[5] data[9] data[13]
data[2] data[6] data[10] data[14]
data[3] data[7] data[11] data[15]

使用长度为4的数组data表示一个坐标时，为一个列向量，运算时可以当做 $4 \times 1$ 的矩阵，形式为

data[0]
data[1]
data[2]
data[3]