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列一下前置知识:
1.Sn的数量是An的2倍。
魔方第二基本定理(↔):
目标问题:g∈ H , 则=>: , g∈G 吗?
3个条件中第一个把H针对位置先分类,也就是针对(S8 X S12)分成了两个集合,分类讨论:
对于状态g∈H
1.有一个3.0小引理,由条件(2),即有求和棱块模2为0,因此g可以通过有限G中步骤,这里记为X1,得到新的性质:w(gX1) = {0,0,...,0}。
而且不改变角块的方向数,因此保持了条件(3)。
2.有一个5.1小引理,由条件(3),即求和角块模3为0,因此g·X1可以通过有限G中步骤,这里记为X2,得到新的性质:v(gX1X2) = {0,0,...,0}。
3.我们先介绍一些通用的已知知识:(S8 X S12)有一个“子群”,记为G1:(A X B),(A X B)= (A1 X B1)∪ (A2 X B2) ,换句话说就是(奇X奇)∪(偶X偶)这个并集。
其中A1是S8中全体奇的置换,A2是S8中全体偶的置换,
B1是S12中全体奇的置换,B2是S12中全体偶的置换。
很明显,这两个集合(A1 X B1),(A2 X B2) 是没有交集的。
可以证明这个子群是封闭的。因为(奇X奇)+(偶X偶) = (奇X奇)
3.1 同样用是否符合条件(1)来将H分成两个子集H1,H2的话。记符合条件(1)的为H1,不符合的为H2。其实这个H1就是G1, H1 = G1,因为H1和G1的定义是一样的。
H1经过P映射就是(A X B);
H2经过P映射就是 (S8 X S12) - (A X B);
4.由条件(1),g有性质:棱和角的位置排列的符号数相等,换句话说就是(奇X奇) or (偶X偶)。
所以:g属于3.1中的H1,g'是属于3中所说的(A X B)这个子群的。
即g∈H1,g'∈(A X B)
根据3的分析可知G1=H1是一个(S8 X S12)的子群,g∈H1,g经过X1,X2后变成了新状态gX1X2,这里记为g2。
因此可以把当前目标g∈G,转化成新的目标:g2∈ G。(因为X1,X2都是G中元素)
5. (S8 X S12)可以分成4个不相交子集的并集:奇X奇 ∪ 偶X偶 ∪ 奇X偶 ∪ 奇X偶。
这4个子集的元素个数都相等,因为An(偶置换)是Sn的指数为2的子群。Sn除了An的剩下的当然都是奇置换。
6.分析g2具有性质:w(g2) = {0,0,...,0},v(g2) = {0,0,...,0}。而且对g2经过P映射后的g'(仍然是g',因为g到g2只改变了方向数)。
7.右推左过程中,条件(1)让我们把g'的范围进一步缩小了,条件(1)换句话说,就是角块和棱块的排列的符号相等。
换句话说,角块的排列和棱块的排列,同为奇,或者同为偶。因此g'∈ 奇X奇 ∪ 偶X偶 。
8.我们这里把 (S8 X S12)分成两个子集,它们的元素个数相等。分别是
1.(奇X奇 ∪ 偶X偶),记为J1;
2.(奇X偶 ∪ 偶X奇),记为J2。
由3.1分析可知,H1经过P映射得到J1,H2经过P映射得到J2
9.G通过映射P得到集合G',由于我们已证明左推右,当然可以用。所以G中的元素都是满足条件(1)的性质:“角块的排列和棱块的排列,同为奇,或者同为偶”。
因此G'属于8中定义的J1。
10.由于2.1小引理推论,g_E124和g_E123可以生成所有的g_E???(方向数w,v都是全零,角块位置是id) 3循环,也就是(id)Xg_E???
类似的某个引理,g_V456可以生成所有的g_V???(方向数w,v都是全零,棱块位置是id) 3循环,也就是g_V???X(id)
11.小引理:无前提假设,则=>,g_E???和g_V???可以与G中元素复合生成({A8},{A12},id,id)这样的任意元素。
证明:由于({A8},{A12},id,id) = ({A8},(id),id,id) + ((id),{A12},id,id) , 这里的写法不太严谨,换句话说,({A8},{A12},id,id)这个集合里面任意的一个元素,
比如(a1,a2,id,id) = ((b1,b2,...,b8) ,(c1,c2,...,c12),id,id)
则由g_E???复合运算得到元素C1:((b1,b2,...,b8) ,(id),id,id)
g_V???复合运算得到元素D1:((id),(c1,c2,...,c12),id,id)
将D1作用到魔方状态C1上,就得到了:((b1,b2,...,b8) ,(c1,c2,...,c12),id,id),也就是({A8},{A12},id,id)中的任意一个元素。
12.小引理:g2是否一定能经过有限步G中操作,得到集合({A8},{A12},id,id)中的某一个元素
对g2的前两个排列的奇偶性进行分类讨论,条件(1)把g2的范围缩小成了(奇X奇) or (偶X偶):分类讨论:
{
1.g2的前两个排列的奇偶性是奇,奇:详细步骤:
先执行一次g5,g5保持了棱和角方向数不变,保持id,id。
然后将前两个排列的奇偶性都变换了,因此g2g5的前两个排列的奇偶性是偶,偶,因此转化成下面第2种情况。
2.g2的前两个排列的奇偶性是偶,偶:由引理11,G中元素可以复合得到({A8},{A12},id,id),换句话说,由于g2∈ ({A8},{A12},id,id),所以g2同样可以被G中元素可以复合得到。
}
至此,新目标g2∈ G证明完毕。
}