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\section{傅里叶级数}
\subsection{傅里叶级数的三角式}
\begin{BoxDefinition}[三角函数集]
三角函数集
\begin{Equation}
\left\{1,\cos(n\Omega t),\sin(n\Omega t), n=1,2,\dots\right\}
\end{Equation}
在一个周期内是一个完备的正交函数集。
由积分可知
\begin{Equation}
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos(n\Omega t )\cdot\sin(m\Omega t)dt = 0
\end{Equation}
\begin{Equation}
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\cos(n\Omega t )\cdot\cos(m\Omega t)dt = \left\{
\begin{aligned}
\frac{T}{2} & , & m=n \\
0 & , & m\neq n
\end{aligned}
\right.
\end{Equation}
\begin{Equation}
\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sin(n\Omega t )\cdot\sin(m\Omega t)dt = \left\{
\begin{aligned}
\frac{T}{2} & , & m=n \\
0 & , & m\neq n
\end{aligned}
\right.
\end{Equation}
\end{BoxDefinition}
\begin{BoxDefinition}[傅里叶级数的三角函数形式]*
设$f(t) = f(t+mT)$，即$f(t)$为周期信号，且$\Omega = \frac{2\pi}{T}$，满足狄里赫利（Dirichlet）条件，可分解为以下三角级数，称为傅里叶级数。
\begin{Equation}
f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\cos(n\Omega t)+ \sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n \sin(n\Omega t)
\end{Equation}
其中系数$a_n$和$b_n$称为傅里叶系数，满足
\begin{Equation}
a_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\cos(n\Omega t)dt
\end{Equation}
\begin{Equation}
b_n = \frac{2}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)\sin(n\Omega t)dt
\end{Equation}
且$a_n$是$n$的偶函数，$b_n$是$n$的奇函数。
合并同频率项
\begin{Equation}
f(t) = \frac{A_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty}A_n\cos(n\Omega t + \varphi_n)
\end{Equation}
其中
\begin{Equation}
\begin{array}{ll}
A_0 = a_0 \\
A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2} \\
\varphi_n = - \arctan\frac{b_n}{a_n}
\end{array}
\end{Equation}
可见$A_n$是$n$的偶函数，$\varphi_n$是$n$的奇函数。
且有
\begin{Equation}
a_n = A_n\cos\varphi_n,\ b_n = -A_n\sin\varphi_n,\ n = 1,2,\dots
\end{Equation}
合并同频率项式中的$\frac{A_0}{2}$称为直流分量，$A_1\cos(\Omega t + \varphi_1)$称为基波或一次谐波，
$A_n\cos(n\Omega t + \varphi_n)$称为$n$次谐波。
\end{BoxDefinition}
\subsection{波形的对称性与谐波特性}
\begin{BoxProperty}[波形的对称性]
波形为偶函数时满足
\begin{Equation}
f(t)=f(-t)
\end{Equation}
此时$b_n=0$，展开为余弦级数。
波形为奇函数时满足
\begin{Equation}
f(t)=-f(-t)
\end{Equation}
此时$a_n=0$，展开为正弦级数。
\end{BoxProperty}
\begin{BoxProperty}[波形的谐波特性]
\begin{Figure}[奇谐函数]
\includegraphics[width=40mm]{visio/4.1.pdf}
\end{Figure}
$f(t)$为奇谐函数$f(t)=-f(t\pm \frac{T}{2})$时，傅里叶级数满足
\begin{Equation}
a_0=a_2=\dots=b_2=b_4=0
\end{Equation}
即只含奇次谐波分量，不含偶次谐波分量。
\begin{Figure}[偶谐函数]
\includegraphics[width=40mm]{visio/4.2.pdf}
\end{Figure}
$f(t)$为偶谐函数$f(t)=f(t\pm \frac{T}{2})$时，傅里叶级数满足
\begin{Equation}
a_1=a_3=\dots=b_1=b_3=0
\end{Equation}
即只含偶次谐波分量，不含奇次谐波分量。
\end{BoxProperty}
\subsection{傅里叶级数的指数形式}
\begin{BoxDefinition}[傅里叶级数的指数形式]*
虚指数函数集
\begin{Equation}
\left\{e^{jn\Omega t},n=0,\pm 1,\pm 2, \dots\right\}
\end{Equation}
傅里叶级数的指数形式
\begin{Equation}
f(t) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}F_n e^{jn\Omega t}
\end{Equation}
傅里叶系数
\begin{Equation}
F_n = \frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-jn\Omega t}dt
\end{Equation}
由欧拉公式
\begin{Equation}
e^{i\theta} = \cos \theta + i sin \theta
\end{Equation}
可推导出
\begin{Equation}
\cos x = \frac{e^{\mathrm{j}x}+e^{-\mathrm{j}x}}{2}
\end{Equation}
\begin{Equation}
\sin x = \frac{e^{\mathrm{j}x}-e^{-\mathrm{j}x}}{2\mathrm{j}}
\end{Equation}
则三角函数形式的傅里叶级数可推导为
\begin{Equation}
\begin{aligned}
f(t) & = \frac{A_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} A_n \cos(n\Omega t +\varphi_n) \\
& = \frac{A_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{A_n}{2}\left[e^{\mathrm{j}(n\Omega t+\varphi_n)}+e^{-\mathrm{j}(n\Omega t+\varphi_n)}\right] \\
& = \frac{A_0}{2}+\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}A_ne^{\mathrm{j}\varphi_n}e^{\mathrm{j}n\Omega t}+\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}A_ne^{-\mathrm{j}\varphi_n}e^{-\mathrm{j}n\Omega t}
\end{aligned}
\end{Equation}
令$A_{-n}=A_n,\varphi_{-n}=\varphi_n,A_0=A_0e^{\mathrm{j}\varphi_0}e^{\mathrm{j}0\Omega t},\varphi_0=0$，则
\begin{Equation}
\begin{aligned}
f(t) & = \frac{A_0}{2}+\frac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty}A_ne^{\mathrm{j}\varphi_n}e^{\mathrm{j}n\Omega t}+\frac{1}{2}\sum\limits_{n=-1}^{-\infty}A_ne^{\mathrm{j}\varphi_n}e^{\mathrm{j}n\Omega t} \\
& = \frac{1}{2}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}A_ne^{\mathrm{j}\varphi_n}e^{\mathrm{j}n\Omega t}
\end{aligned}
\end{Equation}
\end{BoxDefinition}
\begin{BoxProperty}[傅里叶系数之间的关系]*
傅里叶系数之间满足以下关系
\begin{Equation}
F_n = \frac{1}{2}A_ne^{\mathrm{j}\varphi_n} = |F_n|e^{\mathrm{j}\varphi_n} = \frac{1}{2}(a_n-\mathrm{j}b_n)
\end{Equation}
\begin{Equation}
F_0 = \frac{A_0}{2}
\end{Equation}
\begin{Equation}
|F_0| = \frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2} = \frac{1}{2}A_n
\end{Equation}
\begin{Equation}
\varphi_n = \arctan(-\frac{b_n}{a_n})
\end{Equation}
\begin{Equation}
a_n = A_n\cos\varphi_n
\end{Equation}
\begin{Equation}
b_n = -A_n\sin\varphi_n
\end{Equation}
其中$n$的奇函数有：$a_n,A_n,|F_n|$
$n$的偶函数有：$b_n,\varphi_n$
\end{BoxProperty}
\subsection{周期信号的功率}
\begin{BoxFormula}[Parseval等式]
周期信号一般为功率信号，其平均功率为
\begin{Equation}
P = \frac{1}{T}\int_{0}^{T}f^2(t)dt=\left(\frac{A_0}{2}\right)^2+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}A_n^2=\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}|F_n|^2
\end{Equation}
其中$\left(\frac{A_0}{2}\right)^2$为直流功率，$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2}A_n^2$为各次谐波功率和。
\end{BoxFormula}