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title: "Tarea curvas de titulación - complejometría"
author: "R.Ed."
format: html
editor: visual
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## Primera curva de titulación

Realizar la curva de titulación de una alícuota de 10.00 mL de la mezcla de una solución de nitrato de cobre(II) 0.0100 mol/L y nitrato de cinc 0.0100 y 10.00 mL de solución reguladora de pH 5.50 con EDTA 0.0100 mol/L,

### Reacciones

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rcll}
\ce{Cu^{2+} + Y^{4-}} & \ce{<=>} & \ce{CuY^2-} & \log K_{\text{f}} = 18.76\\
\ce{Zn^{2+} + Y^{4-}} & \ce{<=>} & \ce{ZnY^2-} & \log K_{\text{f}} = 16.50\\
\end{array}
$$

```{r}
beta.CuY <- 10^18.76
beta.ZnY <- 10^16.50
```

#### Dependencia con el pH del EDTA

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rcll}
\ce{H6Y^2+ + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H5Y+ + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}1} = 0.0\\
\ce{H5Y^+ + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H4Y + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}2} = 1.50\\
\ce{H4Y + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H3Y^- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}3} = 2.00\\
\ce{H3Y^- + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H2Y^2- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}4} = 2.69\\
\ce{H2Y^2- + H2O} & \ce{<=>} & \ce{HY^3- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}5} = 6.13\\
\ce{HY^3- + H2O} & \ce{<=>} & \ce{Y^4- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}6} = 10.37\\
\end{array}
$$

```{r}
alp <- function(pH, pKa){
  n <- length(pKa)
  num <- 10^-(pH * (n:0) + cumsum(c(0,pKa)))
  num / sum(num)
}
pKa <- c(0.0, 1.50, 2.00, 2.69, 6.13, 10.37)
aY <- alp(5.5, pKa)[7]
```

### Balance de masas

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rll}
c(\ce{Cu^2+}) &=\displaystyle 0.0100  \times \cfrac{10.00}{20.00 + V} &= [\ce{Cu^2+}] + [\ce{CuY^2-}]\\
c(\ce{Zn^2+}) &=\displaystyle 0.0100  \times \cfrac{10.00}{20.00 + V} &= [\ce{Zn^2+}] + [\ce{ZnY^2-}]\\
c(\ce{EDTA}) &=\displaystyle 0.0100  \times \cfrac{V}{20.00 + V} &= \cfrac{[\ce{Y^4-}]}{\alpha(\ce{Y^4-})} + [\ce{CuY^2-}] + [\ce{ZnY^2-}]\\
\end{array}
$$

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rl}
\alpha(\ce{Cu^2+}) &=\displaystyle  \cfrac{1}{1 + K_{\text{f}}(\ce{CuY^2-})\times [\ce{Y^4-}]}  \\
\alpha(\ce{Zn^2+}) &=\displaystyle  \cfrac{1}{1 + K_{\text{f}}(\ce{ZnY^2-})\times [\ce{Y^4-}]}  \\
\end{array}
$$

```{r}
curva <- function(pY, V){
  Y <- 10^-pY
  aCu <- 1 / (1 + beta.CuY * Y)
  aZn <- 1 / (1 + beta.ZnY * Y)
  Cu  <- aCu * 0.1 / (20 + V)
  Zn  <- aZn * 0.1 / (20 + V)
  CuY <- beta.CuY * Cu * Y
  ZnY <- beta.ZnY * Zn * Y
  EDTA <- 0.01 * V / (20 + V)
  EDTA - Y / aY - CuY - ZnY
}
```

### Definiendo la curva de titulación

El volumen se calculará entre 0.05 y 25.00 mL con intervalos de 0.01 mL.

```{r}
V <- seq(0.05, 25.00, by = 0.01)
```

### Calculando el pY y pM para toda la curva

Se calcula el valor de pY para todos los valores de titulante

```{r}
pY <- sapply(V, function(x)
  uniroot(curva, V = x, interval = c(0, 200), tol = 1e-14)$root)

```

Con el valor de pY se calcula las concentraciones en equilibrio de los cationes de cobre y cinc.

```{r}
Y <- 10^-pY
aCu <- 1 / (1 + beta.CuY * Y)
aZn <- 1 / (1 + beta.ZnY * Y)
pCu <- -log10(aCu * 0.1 / (20 + V))
pZn <- -log10(aZn * 0.1 / (20 + V))
```

### La gráfica

se procede hacer la gráfica

```{r message = FALSE, echo=FALSE}
if (!require("tidyverse")) install.packages("tidyverse")
df <- data.frame(V, pY, pCu, pZn) %>% 
  pivot_longer(names_to = "key",
               values_to = "y",
               -V)
fig <- ggplot(df,
              aes(x = V, 
                  y = y, 
                  colour = key)
              ) +
  geom_line(size = 1L) +
  scale_color_brewer("", 
                     palette = "Dark2", 
                     direction = 1) +
  labs(x = "Volumen de titulante / mL",
       y = "py o pM") +
  theme_bw() + 
  theme(text = element_text(size = 16),
        legend.position = c(0.15, 0.25))
print(fig)
```

## Segunda curva de titulación

Realizar la curva de titulación de una alícuota de 10.00 mL de la mezcla de una solución de nitrato de cobre(II) 0.0100 mol/L y nitrato de magnesio 0.0100 y 10.00 mL de solución reguladora de pH 10.00 con EDTA 0.0100 mol/L,

### Reacciones

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rcll}
\ce{Cu^{2+} + Y^{4-}} & \ce{<=>} & \ce{CuY^2-} & \log K_{\text{f}} = 18.76\\
\ce{Mg^{2+} + Y^{4-}} & \ce{<=>} & \ce{MgY^2-} & \log K_{\text{f}} = 8.79\\
\end{array}
$$

```{r}
beta.CuY <- 10^18.76
beta.MgY <- 10^8.79
```

#### Dependencia con el pH del EDTA

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rcll}
\ce{H6Y^2+ + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H5Y+ + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}1} = 0.0\\
\ce{H5Y^+ + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H4Y + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}2} = 1.50\\
\ce{H4Y + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H3Y^- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}3} = 2.00\\
\ce{H3Y^- + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H2Y^2- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}4} = 2.69\\
\ce{H2Y^2- + H2O} & \ce{<=>} & \ce{HY^3- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}5} = 6.13\\
\ce{HY^3- + H2O} & \ce{<=>} & \ce{Y^4- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}6} = 10.37\\
\end{array}
$$

```{r}
alp <- function(pH, pKa){
  n <- length(pKa)
  num <- 10^-(pH * (n:0) + cumsum(c(0,pKa)))
  num / sum(num)
}
pKa <- c(0.0, 1.50, 2.00, 2.69, 6.13, 10.37)
aY <- alp(10.00, pKa)[7]
```

### Balance de masas

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rll}
c(\ce{Cu^2+}) &=\displaystyle 0.0100  \times \cfrac{10.00}{20.00 + V} &= [\ce{Cu^2+}] + [\ce{CuY^2-}]\\
c(\ce{Mg^2+}) &=\displaystyle 0.0100  \times \cfrac{10.00}{20.00 + V} &= [\ce{Mg^2+}] + [\ce{MgY^2-}]\\
c(\ce{EDTA}) &=\displaystyle 0.0100  \times \cfrac{V}{20.00 + V} &= \cfrac{[\ce{Y^4-}]}{\alpha(\ce{Y^4-})} + [\ce{CuY^2-}] + [\ce{MgY^2-}]\\
\end{array}
$$

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rl}
\alpha(\ce{Cu^2+}) &=\displaystyle  \cfrac{1}{1 + K_{\text{f}}(\ce{CuY^2-})\times [\ce{Y^4-}]}  \\
\alpha(\ce{Mg^2+}) &=\displaystyle  \cfrac{1}{1 + K_{\text{f}}(\ce{MgY^2-})\times [\ce{Y^4-}]}  \\
\end{array}
$$

```{r}
curva <- function(pY, V){
  Y <- 10^-pY
  aCu <- 1 / (1 + beta.CuY * Y)
  aMg <- 1 / (1 + beta.MgY * Y)
  Cu  <- aCu * 0.1 / (20 + V)
  Mg  <- aMg * 0.1 / (20 + V)
  CuY <- beta.CuY * Cu * Y
  MgY <- beta.MgY * Mg * Y
  EDTA <- 0.01 * V / (20 + V)
  EDTA - Y / aY - CuY - MgY
}
```

### Definiendo la curva de titulación

El volumen se calculará entre 0.05 y 25.00 mL con intervalos de 0.01 mL.

```{r}
V <- seq(0.05, 25.00, by = 0.01)
```

### Calculando el pY y pM para toda la curva

Se calcula el valor de pY para todos los valores de titulante

```{r}
pY <- sapply(V, function(x)
  uniroot(curva, V = x, interval = c(0, 200), tol = 1e-14)$root)

```

Con el valor de pY se calcula las concentraciones en equilibrio de los cationes de cobre y cinc.

```{r}
Y <- 10^-pY
aCu <- 1 / (1 + beta.CuY * Y)
aMg <- 1 / (1 + beta.MgY * Y)
pCu <- -log10(aCu * 0.1 / (20 + V))
pMg <- -log10(aMg * 0.1 / (20 + V))
```

### La gráfica

se procede hacer la gráfica

```{r message = FALSE, echo=FALSE}
if (!require("tidyverse")) install.packages("tidyverse")
df <- data.frame(V, pY, pCu, pMg) %>% 
  pivot_longer(names_to = "key",
               values_to = "y",
               -V)
fig <- ggplot(df,
              aes(x = V, 
                  y = y, 
                  colour = key)
              ) +
  geom_line(size = 1L) +
  scale_color_brewer("", 
                     palette = "Dark2", 
                     direction = 1) +
  labs(x = "Volumen de titulante / mL",
       y = "py o pM") +
  theme_bw() + 
  theme(text = element_text(size = 16),
        legend.position = c(0.15, 0.25))
print(fig)
```
## Tercera curva de titulación

Realizar la curva de titulación de una alícuota de 10.00 mL de una solución de nitrato de cobre(II) 0.0100 mol/L y 10.00 mL de solución reguladora de pH 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 y 14 con EDTA 0.0100 mol/L,

### Reacciones

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rcll}
\ce{Cu^{2+} + Y^{4-}} & \ce{<=>} & \ce{CuY^2-} & \log K_{\text{f}} = 18.76\\
\end{array}
$$

```{r}
beta.CuY <- 10^18.76
beta.MgY <- 10^8.79
```

#### Dependencia con el pH del EDTA

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rcll}
\ce{H6Y^2+ + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H5Y+ + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}1} = 0.0\\
\ce{H5Y^+ + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H4Y + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}2} = 1.50\\
\ce{H4Y + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H3Y^- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}3} = 2.00\\
\ce{H3Y^- + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H2Y^2- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}4} = 2.69\\
\ce{H2Y^2- + H2O} & \ce{<=>} & \ce{HY^3- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}5} = 6.13\\
\ce{HY^3- + H2O} & \ce{<=>} & \ce{Y^4- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}6} = 10.37\\
\end{array}
$$

```{r}
alp <- function(pH, pKa){
  n <- length(pKa)
  num <- 10^-(pH * (n:0) + cumsum(c(0,pKa)))
  num / sum(num)
}
pKa <- c(0.0, 1.50, 2.00, 2.69, 6.13, 10.37)
```

### Balance de masas

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rll}
c(\ce{Cu^2+}) &=\displaystyle 0.0100  \times \cfrac{10.00}{20.00 + V} &= [\ce{Cu^2+}] + [\ce{CuY^2-}]\\
c(\ce{EDTA}) &=\displaystyle 0.0100  \times \cfrac{V}{20.00 + V} &= \cfrac{[\ce{Y^4-}]}{\alpha(\ce{Y^4-})} + [\ce{CuY^2-}]\\
\end{array}
$$

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rl}
\alpha(\ce{Cu^2+}) &=\displaystyle  \cfrac{1}{1 + K_{\text{f}}(\ce{CuY^2-})\times [\ce{Y^4-}]}  \\
\end{array}
$$

```{r}
curva <- function(pY, V, pH){
  Y <- 10^-pY
  aY <- alp(pH, pKa)[7]
  aCu <- 1 / (1 + beta.CuY * Y)
  Cu  <- aCu * 0.1 / (20 + V)
  CuY <- beta.CuY * Cu * Y
  EDTA <- 0.01 * V / (20 + V)
  EDTA - Y / aY - CuY
}
```

### Definiendo la curva de titulación

El volumen se calculará entre 0.05 y 25.00 mL con intervalos de 0.01 mL.

```{r}
V <- seq(0.05, 25.00, by = 0.01)
pH <- seq(0, 14, by = 2)
```

### Calculando el pY y pM para toda la curva

Se calcula el valor de pY para todos los valores de titulante

```{r}
pY <- sapply(pH, function(xx)
  sapply(V, function(x)
  uniroot(curva, V = x, pH = xx, interval = c(0, 200), tol = 1e-14)$root))
pY <- as.data.frame(pY)
names(pY) <- c("pH00", "pH02", "pH04", "pH06", "pH08", "pH10", "pH12", "pH14")
df <- data.frame(V, pY) %>% 
  pivot_longer(names_to = "key",
               values_to = "pY",
               -V)
```

Con el valor de pY se calcula las concentraciones en equilibrio de los cationes de cobre y cinc.

```{r}
df$Y <- 10^-df$pY
df$aCu <- 1 / (1 + beta.CuY * df$Y)
df$pCu <- -log10(df$aCu * 0.1 / (20 + df$V))
```

### La gráfica

se procede hacer la gráfica

```{r message = FALSE, echo=FALSE}
if (!require("tidyverse")) install.packages("tidyverse")
fig <- ggplot(df,
              aes(x = V, 
                  y = pCu, 
                  colour = key)
              ) +
  geom_line(size = 1L) +
  scale_color_brewer("pH = ",
                     labels = seq(0, 14, by = 2),
                     palette = "Dark2", 
                     direction = 1) +
  labs(x = "Volumen de titulante / mL",
       y = "pCu") +
  theme_bw() + 
  theme(text = element_text(size = 16),
        legend.position = c(0.15, 0.5))
print(fig)
```
## Cuarta curva de titulación

Realizar la curva de titulación de una alícuota de 10.00 mL de una solución de nitrato de cobre(II) 0.0100 mol/L y 10.00 mL de solución reguladora de pH 10.00 que contiene amoniaco en concentraciones 0.001, 0.01 y 0.1 mol/L (omita el efecto del pH sobre el amoniaco) con EDTA 0.0100 mol/L,

### Reacciones

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rcll}
\ce{Cu^{2+} + Y^{4-}} & \ce{<=>} & \ce{CuY^2-} & \log K_{\text{f}} = 18.76\\
\ce{Cu^{2+} + NH3 } & \ce{<=>} & \ce{Cu(NH3)^2+} & \log \beta_{1} = 3.99\\
\ce{Cu^{2+} + 2 NH3 } & \ce{<=>} & \ce{Cu(NH3)2^2+} & \log \beta_{2} = 7.33\\
\ce{Cu^{2+} + 3 NH3 } & \ce{<=>} & \ce{Cu(NH3)3^2+} & \log \beta_{3} = 10.06\\
\ce{Cu^{2+} + 4 NH3 } & \ce{<=>} & \ce{Cu(NH3)4^2+} & \log \beta_{4} = 12.03\\
\end{array}
$$

```{r}
beta.CuY <- 10^18.76
beta.CN1 <- 10^3.99
beta.CN2 <- 10^7.33
beta.CN3 <- 10^10.06
beta.CN4 <- 10^12.03
```

#### Dependencia con el pH del EDTA

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rcll}
\ce{H6Y^2+ + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H5Y+ + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}1} = 0.0\\
\ce{H5Y^+ + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H4Y + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}2} = 1.50\\
\ce{H4Y + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H3Y^- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}3} = 2.00\\
\ce{H3Y^- + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H2Y^2- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}4} = 2.69\\
\ce{H2Y^2- + H2O} & \ce{<=>} & \ce{HY^3- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}5} = 6.13\\
\ce{HY^3- + H2O} & \ce{<=>} & \ce{Y^4- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}6} = 10.37\\
\end{array}
$$

```{r}
alp <- function(pH, pKa){
  n <- length(pKa)
  num <- 10^-(pH * (n:0) + cumsum(c(0,pKa)))
  num / sum(num)
}
pKa <- c(0.0, 1.50, 2.00, 2.69, 6.13, 10.37)
aY <- alp(10.00, pKa)[7]
```

### Balance de masas

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rll}
c(\ce{Cu^2+}) &=\displaystyle 0.0100  \times \cfrac{10.00}{20.00 + V} &=\displaystyle [\ce{Cu^2+}] + \sum_{i=1}^4 [\ce{Cu(NH3)}_i^{2+}] + [\ce{CuY^2-}]\\
c(\ce{EDTA}) &=\displaystyle 0.0100  \times \cfrac{V}{20.00 + V} &= \cfrac{[\ce{Y^4-}]}{\alpha(\ce{Y^4-})} + [\ce{CuY^2-}]\\
\end{array}
$$

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rl}
\alpha(\ce{Cu^2+}) &=\displaystyle  \cfrac{1}{1 + \displaystyle \sum_{i=1}^4 \beta_i\times [\ce{NH3}]^i + K_{\text{f}}(\ce{CuY^2-})\times [\ce{Y^4-}]}  \\
\end{array}
$$

```{r}
curva <- function(pY, V, NH3){
  Y <- 10^-pY
  aCu <- 1 / (1 + beta.CuY * Y + beta.CN1 * NH3 + beta.CN2 * NH3^2 +
                beta.CN3 * NH3^3 + beta.CN4 * NH3^4)
  Cu  <- aCu * 0.1 / (20 + V)
  CuY <- beta.CuY * Cu * Y
  EDTA <- 0.01 * V / (20 + V)
  EDTA - Y / aY - CuY
}
```

### Definiendo la curva de titulación

El volumen se calculará entre 0.05 y 25.00 mL con intervalos de 0.01 mL.

```{r}
V <- seq(0.05, 25.00, by = 0.01)
NH3 <- c(0, 0.001, 0.01, 0.1, 1)
```

### Calculando el pY y pM para toda la curva

Se calcula el valor de pY para todos los valores de titulante

```{r}
pY <- sapply(NH3, function(xx)
  sapply(V, function(x)
  uniroot(curva, V = x, NH3 = xx, interval = c(0, 200), tol = 1e-14)$root))
pY <- as.data.frame(pY)
names(pY) <- c("NH30000", "NH30001", "NH30010", "NH30100", "NH31000")
pCu <- pY
for (i in 1:5) {
  Y <- 10^-pY[names(pY)[i]]
  aCu <- 1 / (1 + beta.CuY * Y + beta.CN1 * NH3[i] + beta.CN2 * NH3[i]^2 +
                beta.CN3 * NH3[i]^3 + beta.CN4 * NH3[i]^4)
  Cu  <- aCu * 0.1 / (20 + V)
  pCu[names(pCu)[i]] <-  -log10(Cu)
}
```

Con el valor de pY se calcula las concentraciones en equilibrio de los cationes de cobre y cinc.

```{r}
df <- data.frame(V, pCu) %>% 
  pivot_longer(values_to = "pCu",
               names_to = "key",
               -V)
```

### La gráfica

se procede hacer la gráfica

```{r message = FALSE, echo=FALSE}
if (!require("tidyverse")) install.packages("tidyverse")
fig <- ggplot(df,
              aes(x = V, 
                  y = pCu, 
                  colour = key)
              ) +
  geom_line(size = 1L) +
  scale_color_brewer(bquote(paste("[",NH[3],"] =")),
                     labels = c("0.000", "0.001", "0.010", "0.100", "1.000"),
                     palette = "Dark2", 
                     direction = 1) +
  labs(x = "Volumen de titulante / mL",
       y = "pCu") +
  theme_bw() + 
  theme(text = element_text(size = 16),
        legend.position = c(0.75, 0.5))
print(fig)
```

## Quinta curva de titulación

Realizar la curva de titulación de una alícuota de 10.00 mL de una solución de nitrato de cobre(II) 0.0100 mol/L y 10.00 mL de solución reguladora de pH 10.00 que contiene cianuro en concentraciones 0.001, 0.01 y 0.1 mol/L (omita el efecto del pH sobre el cianuro) con EDTA 0.0100 mol/L,

### Reacciones

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rcll}
\ce{Cu^{2+} + Y^{4-}} & \ce{<=>} & \ce{CuY^2-} & \log K_{\text{f}} = 18.76\\
\ce{Cu^{2+} + 2 CN^- } & \ce{<=>} & \ce{Cu(CN)2} & \log \beta_{2} = 24.00\\
\ce{Cu^{2+} + 3 CN^- } & \ce{<=>} & \ce{Cu(CN)3^-} & \log \beta_{3} = 28.60\\
\ce{Cu^{2+} + 4 CN^- } & \ce{<=>} & \ce{Cu(CN)4^2-} & \log \beta_{4} = 30.30\\
\end{array}
$$

```{r}
beta.CuY <- 10^18.76
beta.CN2 <- 10^24.00
beta.CN3 <- 10^28.60
beta.CN4 <- 10^30.30
```

#### Dependencia con el pH del EDTA

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rcll}
\ce{H6Y^2+ + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H5Y+ + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}1} = 0.0\\
\ce{H5Y^+ + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H4Y + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}2} = 1.50\\
\ce{H4Y + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H3Y^- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}3} = 2.00\\
\ce{H3Y^- + H2O} & \ce{<=>} & \ce{H2Y^2- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}4} = 2.69\\
\ce{H2Y^2- + H2O} & \ce{<=>} & \ce{HY^3- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}5} = 6.13\\
\ce{HY^3- + H2O} & \ce{<=>} & \ce{Y^4- + H3O+} & \text{p}K_{\text{a}6} = 10.37\\
\end{array}
$$

```{r}
alp <- function(pH, pKa){
  n <- length(pKa)
  num <- 10^-(pH * (n:0) + cumsum(c(0,pKa)))
  num / sum(num)
}
pKa <- c(0.0, 1.50, 2.00, 2.69, 6.13, 10.37)
aY <- alp(10.00, pKa)[7]
```

### Balance de masas

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rll}
c(\ce{Cu^2+}) &=\displaystyle 0.0100  \times \cfrac{10.00}{20.00 + V} &=\displaystyle [\ce{Cu^2+}] + \sum_{i=2}^4 [\ce{Cu(CN)}_i^{2-i}] + [\ce{CuY^2-}]\\
c(\ce{EDTA}) &=\displaystyle 0.0100  \times \cfrac{V}{20.00 + V} &= \cfrac{[\ce{Y^4-}]}{\alpha(\ce{Y^4-})} + [\ce{CuY^2-}]\\
\end{array}
$$

$$\require{mhchem}
\begin{array}{rl}
\alpha(\ce{Cu^2+}) &=\displaystyle  \cfrac{1}{1 + \displaystyle \sum_{i=2}^4 \beta_i \times [\ce{CN^-}]^i +  K_{\text{f}}(\ce{CuY^2-})\times [\ce{Y^4-}]}  \\
\end{array}
$$

```{r}
curva <- function(pY, V, CN){
  Y <- 10^-pY
  aCu <- 1 / (1 + beta.CuY * Y  + beta.CN2 * CN^2 +
                beta.CN3 * CN^3 + beta.CN4 * CN^4)
  Cu  <- aCu * 0.1 / (20 + V)
  CuY <- beta.CuY * Cu * Y
  EDTA <- 0.01 * V / (20 + V)
  EDTA - Y / aY - CuY
}
```

### Definiendo la curva de titulación

El volumen se calculará entre 0.05 y 25.00 mL con intervalos de 0.01 mL.

```{r}
V <- seq(0.05, 25.00, by = 0.01)
CN <- c(0, 0.001, 0.01, 0.1, 1)
```

### Calculando el pY y pM para toda la curva

Se calcula el valor de pY para todos los valores de titulante

```{r}
pY <- sapply(CN, function(xx)
  sapply(V, function(x)
  uniroot(curva, V = x, CN = xx, interval = c(0, 200), tol = 1e-14)$root))
pY <- as.data.frame(pY)
names(pY) <- c("CN0000", "CN0001", "CN0010", "CN0100", "CN1000")
pCu <- pY
for (i in 1:5) {
  Y <- 10^-pY[names(pY)[i]]
  aCu <- 1 / (1 + beta.CuY * Y + beta.CN2 * CN[i]^2 +
                beta.CN3 * CN[i]^3 + beta.CN4 * CN[i]^4)
  Cu  <- aCu * 0.1 / (20 + V)
  pCu[names(pCu)[i]] <-  -log10(Cu)
}
```

Con el valor de pY se calcula las concentraciones en equilibrio de los cationes de cobre y cinc.

```{r}
df <- data.frame(V, pCu) %>% 
  pivot_longer(values_to = "pCu",
               names_to = "key",
               -V)
```

### La gráfica

se procede hacer la gráfica

```{r message = FALSE, echo=FALSE}
if (!require("tidyverse")) install.packages("tidyverse")
fig <- ggplot(df,
              aes(x = V, 
                  y = pCu, 
                  colour = key)
              ) +
  geom_line(size = 1L) +
  scale_color_brewer(bquote(paste("[",CN^"-","] =")),
                     labels = c("0.000", "0.001", "0.010", "0.100", "1.000"),
                     palette = "Dark2", 
                     direction = 1) +
  labs(x = "Volumen de titulante / mL",
       y = "pCu") +
  theme_bw() + 
  theme(text = element_text(size = 16),
        legend.position = c(0.75, 0.25))
print(fig)
```