10.html

<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
	<head>
		<meta charset="UTF-8"/>
		<meta name='viewport' content='width=device-width' />
		<link rel="shortcut icon" href="favicon.ico" />
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="57x57" href="apple-touch-icon-57x57.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="60x60" href="apple-touch-icon-60x60.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="72x72" href="apple-touch-icon-72x72.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="76x76" href="apple-touch-icon-76x76.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="114x114" href="apple-touch-icon-114x114.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="120x120" href="apple-touch-icon-120x120.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="144x144" href="apple-touch-icon-144x144.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="152x152" href="apple-touch-icon-152x152.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="180x180" href="apple-touch-icon-180x180.png">
		<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-32x32.png" sizes="32x32">
		<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-194x194.png" sizes="194x194">
		<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-96x96.png" sizes="96x96">
		<link rel="icon" type="image/png" href="android-chrome-192x192.png" sizes="192x192">
		<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-16x16.png" sizes="16x16">
		<link rel="manifest" href="/manifest.json">
		<link rel="mask-icon" href="safari-pinned-tab.svg"><!--color="#5bbad5"-->
		<meta name="apple-mobile-web-app-title" content="SomeBasicMathsNotions">
		<meta name="application-name" content="SomeBasicMathsNotions">
		<meta name="msapplication-TileColor" content="#da532c">
		<meta name="msapplication-TileImage" content="mstile-144x144.png">
		<meta name="theme-color" content="#e0cb5c">
		<title>Алгебра | числовые неравенства</title>
		<script type="text/x-mathjax-config">
			MathJax.Hub.Config({
				CommonHTML: { linebreaks: { automatic: true } },
				"HTML-CSS": { linebreaks: { automatic: true } },
				SVG: { linebreaks: { automatic: true } }
				});
		</script>
		<script type="text/javascript" src="MathJax/MathJax.js?config=MML_HTMLorMML"></script>
		<link rel="stylesheet" href="normalize.css">
		<link rel="stylesheet" href="main.css">
	</head>
	<body>
		<header>
			<h1><span>&sum;</span>Некоторые алгебраические понятия - определения и работа с ними</h1>
		</header>
		<main>
			<article>
				<h1>Числовые неравенства. Свойства числовых неравенств.</h1>
				<section>
					<h2>Числовые неравенства</h2>
					<figure>
						<img src="Defining_variable_by_comparison.svg" alt="Равенства и неравенства">
						<figcaption>Сравнение величин</figcaption>
					</figure>
					<p>
						Как в науке, так и в реальной жизни часто приходится сравнивать два каких-то числа. Иногда без этого нельзя даже говорить о значении вычислений. Допустим, используя числовые неравенства, <a href="6.html">можно найти приближённое значение иррациональных квадратных корней</a>, оценить значение переменной. Говоря о числовых неравенствах, следует прежде всего указать, что между двумя числами есть всего три рода возможных взаимосвязей - соотношений: они могут быть равны (<i>a = b</i>), a может быть меньше b (<i>a &lt; b</i>), a может быть больше b (<i>a &gt; b</i>) (конечно, при <i>a&ne;b</i> можно также говорить о разнице между величинами: например, если a сильно (на несколько порядков) больше чем b, то это даже можно обозначить специальным символом <i>&raquo;</i>, что показывает интерес людей именно к разнице, хотя, конечно, обычно уже интересует именно конкретная величина). Результат сравнения и записывают в виде равенств или неравенств. Для нескольких чисел можно использовать последовательность (цепочку неравенств) в порядке убывания, возрастания или <a href="12.html">системы неравенств</a>. Вообще, неравенства часто используются в математике, и также важны как и равенства. Примером их использования также будет неравенство треугольника в геометрии, по которому можно оценить, существует ли треугольник с данными сторонами.
					</p>
					<p>
						<span>Фактически, <dfn>неравенства</dfn> - это утверждения об относительной величине какой-либо переменной, числа.</span> Неравенства, которые разобраны выше подразумевают, что оцениваемая величина не может быть равна числу, относительно которого оценивается, но это, явно, не всегда верно.
					</p>
					<p>
						Также нужно заметить, что кроме <i>строгих</i> неравенств (говорят, a строго больше b, a строго меньше b), есть и <i>нестрогие</i> неравенства (a меньше или равно b, a больше или равно b). Они используются, когда доподлинно неизвестно равны величины или меньше друг друга, равны величины или больше друг друга и т.д. Например, когда нужно купить, что-то в магазине, очевидно, можно купить продуктов на сумму меньшую или равную деньгам, которые взяты с собой (S&le;M). Кроме <i>больше или равно</i> и <i>меньше или равно</i>, что является и названиями знаков, можно также говорить <i>не меньше чем</i> и <i>не больше чем</i>.
					</p>
					<p>
						Здесь ещё можно добавить, что если использовать нестрогие неравенства там, где можно использовать строгие, не доводить расчёты до конца, оставлять, например, <i><var>x</var> &gt; 2</i>, когда известно, что <i><var>x</var> &gt; 3</i>, то подобные неравенства будут <i>неточными</i>. <dfn title="точное неравенство">Точным неравенством</dfn> называется неравенство, которое нельзя &quot;улучшить&quot;, т.е. использующее и учитывающее всю доступную информацию. Конечно, логичнее всегда делать свои неравенства точными.
					</p>
					<p>
						Последний случай, который следует разобрать - это <a href="12.html"><i>совокупность неравенств</i></a>, когда есть несколько возможных вариантов для одной величины и выполняется либо один, либо другой.
					</p>
				</section>
				<section>
					<p>
						К слову о доказательстве неравенств и об определении знака в неравенстве, определить больше одно число другого, меньше или равно ему, можно используя понятия чисел и их визуализаций на координатной прямой (она является наглядным образом множества всех вещественных чисел &reals;).
					</p>
					<figure>
						<img src="greater_than.svg" alt="Визуализация к a больше b на числовой прямой">
						<figcaption>Иллюстрация к a &gt; b</figcaption>
					</figure>
					<p>
						Пусть <var>a</var> больше <var>b</var>, тогда очевидно, что на координатной (числовой) прямой (обычной, с положительным направлением слева на право) точка, представляющая число <i>a</i>, будет правее точки, представляющей число <i>b</i>. Это значит, что <i>a = b + c</i>, и <i>c</i> является положительным числом (продвижение по числовой прямой вправо соответствует прибавлению положительного числа). Получается (по определению разности), <i>a-b = c</i>.
					</p>
					<figure>
						<img src="less_than.svg" alt="Визуализация к a меньше b на числовой прямой">
						<figcaption>Иллюстрация к a &lt; b</figcaption>
					</figure>
					<p>
						Пусть <var>a</var> меньше <var>b</var>, тогда поступаем аналогично - на координатной прямой точка <i>a</i> лежит левее точки <i>b</i>. Значит, также <i>b = a + c</i> (c положительным <i>c</i>). Следовательно, при вычитании получаем: <i>a-b = -c</i>. Т.е. <i>a-b = p</i>, где p - отрицательное число.
					</p>
					Можно на основе этих рассуждений определить:
					<math display="block">
						<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
						<mrow>
							<mi>a</mi>
							<mo>&gt;</mo>
							<mi>b</mi>
							<mo>&hArr;</mo>
							<mfenced open="{" close=" " separators=",">
								<mrow>
									<mtable>
										<mtr>
											<mtd>
												<mi>a</mi>
												<mo>-</mo>
												<mi>b</mi>
												<mo>=</mo>
												<mi>c</mi>
											</mtd>
										</mtr>
										<mtr>
											<mtd>
												<mi>c</mi>
												<mo>&gt;</mo>
												<mn>0</mn>
											</mtd>
										</mtr>
									</mtable>
								</mrow>
							</mfenced>
						</mrow>
					</math>
					и
					<math display="block">
						<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
						<mrow>
							<mi>a</mi>
							<mo>&lt;</mo>
							<mi>b</mi>
							<mo>&hArr;</mo>
							<mfenced open="{" close=" " separators=",">
								<mrow>
									<mtable>
										<mtr>
											<mtd>
												<mi>a</mi>
												<mo>-</mo>
												<mi>b</mi>
												<mo>=</mo>
												<mi>c</mi>
											</mtd>
										</mtr>
										<mtr>
											<mtd>
												<mi>c</mi>
												<mo>&lt;</mo>
												<mn>0</mn>
											</mtd>
										</mtr>
									</mtable>
								</mrow>
							</mfenced>
						</mrow>
					</math>
					Также, конечно, равенство определяется так:
					<math display="block">
						<mrow>
							<mi>a</mi>
							<mo>=</mo>
							<mi>b</mi>
							<mo>&hArr;</mo>
							<mi>a</mi>
							<mo>-</mo>
							<mi>b</mi>
							<mo>=</mo>
							<mn>0</mn>
						</mrow>
					</math>
					<p>
						Тогда для нестрогих неравенств знаки сменятся на знаки нестрогого равенства (добавится возможность для <i>c</i> быть равным 0).
					</p>
					<p>Подобный способ решения неравенств (где разность чисел сравнивают с нулём) можно называть <i>метод оценки знака разности</i>. Он основан на определениях <i>a&lt;b</i> и <i>a&gt;b</i>, записанных выше.</p>
				</section>
				<section>
					<h2>Свойства неравенств</h2>
					<ol style="text-align: left;">
						<li>
							Если <i>a &ge; b</i>, то <i>b &le; a</i> и наоборот (обратное отношение, которое понятно уже интуитивно).
							Доказательство: &#x25FD; a &ge; b &rArr; a-b &ge; 0; b-a= -(-b+a) = -(a-b) и (a-b) &ge; 0 &rArr; -(a-b) &le; 0 &rArr; b &le; a Q.E.D. (обратное утверждение и свойство для строгих равенств доказываются аналогично) &#x25FD;
						</li>
						<li>
							Если <i>a &ge; b</i> и <i>b &ge; c</i>, то a &ge; c (<i>свойство транзитивности</i> - один из основных приёмов при работе с неравенствами, равенствами как строгими, так и нестрогими; опять же, интуитивно и известно каждому, можно применять как математическую индукцию и для записи цепочки неравенств). Если хотя бы одно из начальных условий строгое неравенство, то выводом будет строгое неравенство.
							Доказательство: <math display="inline">
								<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
								<mrow>
									<mo>&#x25FD;</mo>
									<mspace width="0.5em" />
									<mi>a</mi>
									<mo>-</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>=</mo>
									<mi>a</mi>
									<mo>-</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>-</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>=</mo>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>a</mi>
											<mo>-</mo>
											<mi>b</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>+</mo>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>b</mi>
											<mo>-</mo>
											<mi>c</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mtext>,</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mtext>где</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>a</mi>
											<mo>-</mo>
											<mi>b</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>&geq;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mspace width="0.5em" />
									<mtext>(по условию)</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mtext>и</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>b</mi>
											<mo>-</mo>
											<mi>c</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>&geq;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mspace width="0.5em" />
									<mtext>(по условию)</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mo>&rArr;</mo>
									<mi>a</mi>
									<mo>-</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>-</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>&geq;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mo>&rArr;</mo>
									<mi>a</mi>
									<mo>-</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>&geq;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mo>&rArr;</mo>
									<mi>a</mi>
									<mo>&geq;</mo>
									<mi>c</mi>
									<mspace width="0.5em" />
									<mo>&#x25FD;</mo>
								</mrow>
							</math>
							(доказательство для других знаков аналогично; нужно помнить, что равенства - это особый случай нестрогих неравенств).
						</li>
						<li>
							Если <i>a &ge; b</i> и <i>c &isin; &reals;</i>, то <i>a+c &ge; b+c</i> (для неравенств определено и прибавление к, и вычитание из обеих частей; то же для знака меньше и нестрогих неравенств с аналогичным доказательством).
							Доказательство: <math display="inline">
								<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
								<mrow>
									<mo>&#x25FD;</mo>
									<mspace width="0.5em" />
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>a</mi>
											<mo>+</mo>
											<mi>c</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>-</mo>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>b</mi>
											<mo>+</mo>
											<mi>c</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>=</mo>
									<mi>a</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>-</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>-</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>=</mo>
									<mi>a</mi>
									<mo>-</mo>
									<mi>b</mi>
									<mspace width="0.5em" />
									<mtext>и</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>a</mi>
											<mo>-</mo>
											<mi>b</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>&gt;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mo>&rArr;</mo>
									<mi>a</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>&gt;</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>c</mi>
									<mspace width="0.5em" />
									<mo>&#x25FD;</mo>
								</mrow>
							</math>
						</li>
						<li>
							Если <i>a &ge; b</i> и <i>c &gt; 0</i>, то <i>ac &ge; bc</i> (возможно умножение и деление на ненулевое <i>c</i>; аналогично для других знаков неравенств).
							Доказательство: <math display="inline">
								<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
								<mrow>
									<mo>&#x25FD;</mo>
									<mspace width="0.5em" />
									<mi>a</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>-</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>=</mo>
									<mi>c</mi>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>a</mi>
											<mo>-</mo>
											<mi>b</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mtext>,</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mtext>где</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>a</mi>
											<mo>-</mo>
											<mi>b</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>&geq;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mspace width="0.5em" />
									<mtext>и</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mi>c</mi>
									<mo>&gt;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mo>&rArr;</mo>
									<mi>a</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>&geq;</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>c</mi>
									<mspace width="0.5em" />
									<mo>&#x25FD;</mo>
								</mrow>
							</math>
						</li>
						<li>
							Если <i>a &ge; b</i> и <i>c &lt; 0</i>, то <i>ac &le; bc</i> (свойство противоположных чисел, например (такое же свойство работает для ненулевых обратных чисел одинакового знака); кроме аналогично для других знаков заменяется на противоположный).
							Доказательство: <math display="inline">
								<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
								<mrow>
									<mo>&#x25FD;</mo>
									<mspace width="0.5em" />
									<mi>a</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>-</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>=</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>a</mi>
											<mo>-</mo>
											<mi>b</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mtext>,</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mtext>где</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mi>a</mi>
									<mo>-</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>&geq;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mspace width="0.5em" />
									<mtext>и</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mi>c</mi>
									<mo>&lt;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mo>&rArr;</mo>
									<mi>a</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>&leq;</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>c</mi>
									<mspace width="0.5em" />
									<mo>&#x25FD;</mo>
								</mrow>
							</math>

						</li>
						<li>
							Если <i>a &ge; b</i> и <i>c &ge; d</i>, то <i>a+c &ge; b+d</i> (возможность почленного сложения двух неравенств одинакового смысла; аналогично для других знаков).
							Доказательство: <math display="inline">
								<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
								<mrow>
									<mo>&#x25FD;</mo>
									<mspace width="0.5em" />
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>a</mi>
											<mo>+</mo>
											<mi>c</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>-</mo>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>b</mi>
											<mo>+</mo>
											<mi>d</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>=</mo>
									<mi>a</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>-</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>-</mo>
									<mi>d</mi>
									<mo>=</mo>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>a</mi>
											<mo>-</mo>
											<mi>b</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>+</mo>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>c</mi>
											<mo>-</mo>
											<mi>d</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mtext>,</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mtext>где</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>a</mi>
											<mo>-</mo>
											<mi>b</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>&geq;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mspace width="0.5em" />
									<mtext>и</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>c</mi>
											<mo>-</mo>
											<mi>d</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>&geq;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mo>&rArr;</mo>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>a</mi>
											<mo>+</mo>
											<mi>c</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>-</mo>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>b</mi>
											<mo>+</mo>
											<mi>d</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>&geq;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mo>&rArr;</mo>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>a</mi>
											<mo>+</mo>
											<mi>c</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>&geq;</mo>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>b</mi>
											<mo>+</mo>
											<mi>d</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mspace width="0.5em" />
									<mo>&#x25FD;</mo>
								</mrow>
							</math>
						</li>
						<li>
							Если <i>a &ge; b &gt; 0</i> и <i>c &ge; d &gt; 0</i>, то <i>ac &ge; bd</i> (возможность почленного перемножения двух положительных неравенств одинакового смысла; аналогично можно складывать со всеми знаками: меньше (или равно) и больше).
							Доказательство: <math display="inline">
								<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
								<mrow>
									<mo>&#x25FD;</mo>
									<mspace width="0.5em" />
									<mi>a</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>-</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>d</mi>
									<mo>=</mo>
									<mi>a</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>-</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>d</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>-</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>=</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>a</mi>
											<mo>-</mo>
											<mi>b</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>+</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>c</mi>
											<mo>-</mo>
											<mi>d</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mtext>,</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mtext>где</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mi>c</mi>
									<mo>&gt;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mtext>;</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mi>b</mi>
									<mo>&gt;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mtext>;</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>a</mi>
											<mo>-</mo>
											<mi>b</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>&geq;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mtext>;</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>c</mi>
											<mo>-</mo>
											<mi>d</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>&geq;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mo>&rArr;</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>a</mi>
											<mo>-</mo>
											<mi>b</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>+</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>c</mi>
											<mo>-</mo>
											<mi>d</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>&geq;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mo>&rArr;</mo>
									<mi>a</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>c</mi>
									<mo>&geq;</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>d</mi>
									<mspace width="0.5em" />
									<mo>&#x25FD;</mo>
								</mrow>
							</math>
						</li>
						<li>
							Если <i>a &ge; b &gt; 0</i> и <i>n &isin; &naturals;</i>, то <i>a<sup>n</sup> &ge; b<sup>n</sup></i> (как и для всех других правил и свойств, здесь разобранных, знак больше или равно можно заменять на другие; из доказательства можно увидеть, что обратное тоже верно; см. также <a href="13.html">свойства степеней с целым показателем</a>).
							Доказательство: <math display="inline">
								<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
								<mrow>
									<mo>&#x25FD;</mo>
									<mspace width="0.5em" />
									<msup>
										<mi>a</mi>
										<mi>n</mi>
									</msup>
									<mo>&geq;</mo>
									<msup>
										<mi>b</mi>
										<mi>n</mi>
									</msup>
									<mo>&gt;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mo>&hArr;</mo>
									<mfenced open="{" close=" " separators=",">
										<mrow>
											<mtext>n раз</mtext>
											<mo>(</mo>
											<mtable>
												<mtr>
													<mtd>
														<mi>a</mi>
														<mo>&geq;</mo>
														<mi>b</mi>
													</mtd>
												</mtr>
												<mtr>
													<mtd>
														<mi>a</mi>
														<mo>&geq;</mo>
														<mi>b</mi>
													</mtd>
												</mtr>
												<mtr>
													<mtd>
														<mo>&hellip;</mo>
													</mtd>
												</mtr>
												<mtr>
													<mtd>
														<mi>a</mi>
														<mo>&geq;</mo>
														<mi>b</mi>
													</mtd>
												</mtr>
											</mtable>
											<mo>|</mo>
											<mo>&lowast;</mo>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mover>
										<mo>&rarr;</mo>
										<mtext>по свойству 7</mtext>
									</mover>
									<mtext>при</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mi>a</mi>
									<mo>&geq;</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>&gt;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mspace width="0.5em" />
									<mtext>и</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mi>n</mi>
									<mo>&isin;</mo>
									<mi>&naturals;</mi>
									<mspace width="0.5em" />
									<msup>
										<mi>a</mi>
										<mi>n</mi>
									</msup>
									<mo>&geq;</mo>
									<msup>
										<mi>b</mi>
										<mi>n</mi>
									</msup>
									<mspace width="0.5em" />
									<mtext>(и наоборот)</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mo>&#x25FD;</mo>
								</mrow>
							</math>
						</li>
						<li>
							Если <i>a<sup>n</sup> &ge; b<sup>n</sup></i> при <i>a &gt; 0</i> и <i>b &gt; 0</i> и <i>n &isin; &naturals;</i>, то <i>a &ge; b</i>.
							Доказательство: <math>
								<mrow>
									<mo>&#x25FD;</mo>
									<mspace width="0.5em" />
									<mtext>см. предыдущее доказательство</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mo>&#x25FD;</mo>
								</mrow>
							</math>
						</li>
						<li>Два предыдущих свойства были для натуральных степеней, но для дробных степеней тоже есть подобные свойства: см. <a href="6.html">свойства квадратного корня</a> (обратное данной там теореме тоже верно).</li>
					</ol>
					Большая часть доказательств здесь приводилась для неравенств со знаком больше или равно, однако, его можно заменить на любой другой (в номере 5 следует после преобразования (умножения) брать противоположный изначальному знак (конечно, знак равно на противоположный менять не следует); также знаки отличные от больше либо равно менять нельзя (там, где используется строго больше 0, остаётся строго больше 0)).
					<p>
						Вообще, здесь нужно сказать о том, что в общем случае при применении монотонной функции к обеим частям неравенства, если она возрастающая, то неравенство держится, иначе, неравенство меняет знак на противоположный. В свойствах примером этой смены знака были обратные и противоположные числа для положительных a и b (<i>&fnof;(<var>x</var>)=-<var>x</var></i> и <i>g(<var>x</var>)=1/<var>x</var></i>). Поэтому, на самом деле, возведение в натуральную степень - это строго возрастающая функция, а возведение в отрицательную целую - это строго убывающая функция (подпадающие под данное здесь правило). Хотя, конечно, со многим из этого и из свойств есть сложности, поэтому лучше всего применять всё это для положительных чисел.
					</p>
					<p>
						Также допустим при <a href="7.html">решении квадратных уравнений</a>, а точнее при <a href="8.html">определении дискриминанта квадратного трёхчлена и оценке корней по нему</a>, были упомянуты комплексные числа. Для комплексных чисел нельзя определить соотношение <i>&le;</i> так, чтобы их поле стало упорядоченным.
					</p>
					Также при работе с неравенствами можно пользоваться некоторыми <a href="11.html">опорными неравенствами</a>, числовыми осями. Неравенства задают <a href="12.html">числовые промежутки своими системами</a>.
				</section>
			</article>
		</main>
		<footer>
			fedor1113<br/>
			<a href="index.html">К остальным темам</a>
		</footer>
	</body>
</html>