11.html

<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
	<head>
		<meta charset="UTF-8"/>
		<meta name='viewport' content='width=device-width' />
		<link rel="shortcut icon" href="favicon.ico" />
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="57x57" href="apple-touch-icon-57x57.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="60x60" href="apple-touch-icon-60x60.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="72x72" href="apple-touch-icon-72x72.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="76x76" href="apple-touch-icon-76x76.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="114x114" href="apple-touch-icon-114x114.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="120x120" href="apple-touch-icon-120x120.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="144x144" href="apple-touch-icon-144x144.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="152x152" href="apple-touch-icon-152x152.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="180x180" href="apple-touch-icon-180x180.png">
		<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-32x32.png" sizes="32x32">
		<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-194x194.png" sizes="194x194">
		<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-96x96.png" sizes="96x96">
		<link rel="icon" type="image/png" href="android-chrome-192x192.png" sizes="192x192">
		<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-16x16.png" sizes="16x16">
		<link rel="manifest" href="/manifest.json">
		<link rel="mask-icon" href="safari-pinned-tab.svg"><!--color="#5bbad5"-->
		<meta name="apple-mobile-web-app-title" content="SomeBasicMathsNotions">
		<meta name="application-name" content="SomeBasicMathsNotions">
		<meta name="msapplication-TileColor" content="#da532c">
		<meta name="msapplication-TileImage" content="mstile-144x144.png">
		<meta name="theme-color" content="#e0cb5c">
		<title>Алгебра | опорные неравенства</title>
		<script type="text/x-mathjax-config">
			MathJax.Hub.Config({
				CommonHTML: { linebreaks: { automatic: true } },
				"HTML-CSS": { linebreaks: { automatic: true } },
				SVG: { linebreaks: { automatic: true } }
				});
		</script>
		<script type="text/javascript" src="MathJax/MathJax.js?config=MML_HTMLorMML"></script>
		<link rel="stylesheet" href="normalize.css">
		<link rel="stylesheet" href="main.css">
	</head>
	<body>
		<header>
			<h1><span>&sum;</span>Некоторые алгебраические понятия - определения и работа с ними</h1>
		</header>
		<main>
			<article>
				<h1>Неравенства, связывающие среднее арифметическое и среднее геометрическое двух неотрицательных чисел. Простейшие неравенства с модулем, их геометрическая интерпретация.</h1>
				<section>
					<h2>Опорные неравенства</h2>
					<p>
						<a href="10.html">При доказательстве и решении неравенств</a> есть множество разных нюансов, теорем и часто используемых (опорных) неравенств. И верно: допустим, неравенство <i>|x|&lt;a</i>, где a&ge;0, применяется очень часто, и необходимо понимать, что оно из себя представляет, и как раскрыть модуль, но об этом позже.
					</p>
					<p>
						Смысл в том, что при решении неравенств есть некоторые полезные соотношения, которые неплохо знать заранее, и на которые можно опереться при определении знака в неравенстве и т.д. - их тогда условно можно называть <i>опорные неравенства</i>. Итак, есть большое количество достаточно известных неравенств, таких как неравенства, связывающие средние.
					</p>
					<p>
						Именно при сравнении двух чисел и средних двух чисел достаточно интересны и просты в доказательстве, например, неравенства, связывающие среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое двух неотрицательных чисел. Они, очевидно, является частным случаем теоремы о средних. Здесь следует разобраться в терминах. Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим (в общем виде, и здесь не подразумевается других средних - только два названных) - это <i>неравенство Коши</i> (не путать с неравенством Коши-Буняковского - эквивалентом неравенства треугольника для нормы; надо также добавить, что термин <i>неравенство Коши</i> весьма неоднозначен, поэтому лучше не использовать названия неравенств со средними, а чётко указывать, о чём идёт речь). Далее, неравенство Коши - частный случай того, что иногда называют <i>неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим</i> (куда входят все наиболее распространённые средние). А это неравенство (в свою очередь) является частным случаем <i>неравенства о средних</i> (связывающем любые два средних). На самом деле, по правде говоря, само неравенство о средних (и все его частные случаи и вариации) вытекает из <i>теоремы о (взвешенных) степенных средних</i>. Но уже для всей правды началось всё именно с неравенства Коши.
					</p>
					<p>
						Также, если кто-то не знает, среднее арифметическое, среднее гармоническое и среднее геометрическое - <i>пифагорийские средние</i>, <i>меры центральной тенденции</i>, крайне часто используемые в математике и статистике. Частный случай взвешенного степенного среднего порядка (степени) x для <i>a<sub>1</sub>...a<sub>n</sub></i> чисел с весами <i>p<sub>1</sub>...p<sub>n</sub></i>. Это особые величины, служащие для описания множества значений лишь одним единственным числом.
					</p>
					<p>
						Итак, среднее арифметическое в общем случае вычисляется по формуле: <math display="inline">
							<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
							<mrow>
								<mover accent="true">
									<mi>x</mi>
									<mo>&macr;</mo>
								</mover>
								<mo>=</mo>
								<mfrac>
									<mrow>
										<mn>1</mn>
									</mrow>
									<mrow>
										<mi>n</mi>
									</mrow>
								</mfrac>
								<mo>&InvisibleTimes;</mo>
								<munderover>
									<mo>&Sum;</mo>
									<mrow>
										<mi>i</mi>
										<mo>=</mo>
										<mn>1</mn>
									</mrow>
									<mi>n</mi>
								</munderover>
								<msub>
									<mi>x</mi>
									<mi>i</mi>
								</msub>
								<mo>=</mo>
								<mfrac>
									<mrow>
										<mn>1</mn>
									</mrow>
									<mrow>
										<mi>n</mi>
									</mrow>
								</mfrac>
								<mo>&InvisibleTimes;</mo>
								<mfenced open="(" close=")" separators=",">
									<mrow>
										<msub>
											<mi>x</mi>
											<mn>1</mn>
										</msub>
										<mo>+</mo>
										<mo>&hellip;</mo>
										<mo>+</mo>
										<msub>
											<mi>x</mi>
											<mi>n</mi>
										</msub>
									</mrow>
								</mfenced>
							</mrow>
						</math> (иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, деленная на n). Это среднее порядка 1. Оно используется наиболее часто.
					</p>
					<math display="block">
						<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
						<mrow>
							<msub>
								<mrow>
									<mover accent="true">
										<mi>x</mi>
										<mo>&macr;</mo>
									</mover>
								</mrow>
								<mtext>arithm</mtext>
							</msub>
							<mo>=</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<mn>1</mn>
								</mrow>
								<mrow>
									<mi>n</mi>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mo>&InvisibleTimes;</mo>
							<munderover>
								<mo>&Sum;</mo>
								<mrow>
									<mi>i</mi>
									<mo>=</mo>
									<mn>1</mn>
								</mrow>
								<mi>n</mi>
							</munderover>
							<msub>
								<mi>x</mi>
								<mi>i</mi>
							</msub>
							<mo>=</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<mn>1</mn>
								</mrow>
								<mrow>
									<mi>n</mi>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mo>&InvisibleTimes;</mo>
							<mfenced open="(" close=")" separators=",">
								<mrow>
									<msub>
										<mi>x</mi>
										<mn>1</mn>
									</msub>
									<mo>+</mo>
									<mo>&hellip;</mo>
									<mo>+</mo>
									<msub>
										<mi>x</mi>
										<mi>n</mi>
									</msub>
								</mrow>
							</mfenced>
						</mrow>
					</math>
					<p>
						Среднее геометрическое вычисляется по формуле: <math display="inline">
							<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
							<mrow>
								<msub>
									<mrow>
										<mover accent="true">
											<mi>x</mi>
											<mo>&macr;</mo>
										</mover>
									</mrow>
									<mtext>geom</mtext>
								</msub>
								<mo>=</mo>
								<msup>
									<mrow>
										<mfenced open="(" close=")" separators=",">
											<mrow>
												<munderover>
													<mo>&Product;</mo>
													<mrow>
														<mi>i</mi>
														<mo>=</mo>
														<mn>1</mn>
													</mrow>
													<mi>n</mi>
												</munderover>
												<msub>
													<mi>x</mi>
													<mi>i</mi>
												</msub>
											</mrow>
										</mfenced>
									</mrow>
									<mfrac>
										<mrow>
											<mn>1</mn>
										</mrow>
										<mrow>
											<mi>n</mi>
										</mrow>
									</mfrac>
								</msup>
								<mo>=</mo>
								<mroot>
									<mrow>
										<msub>
											<mi>x</mi>
											<mn>1</mn>
										</msub>
										<mo>&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;</mo>
										<msub>
											<mi>x</mi>
											<mi>n</mi>
										</msub>
									</mrow>
									<mrow>
										<mi>n</mi>
									</mrow>
								</mroot>
							</mrow>
						</math> (иначе говоря: средним геометрическим n чисел является корень n-ой степени из произведения этих чисел). Это среднее степенное порядка 0. Именно среднее геометрическое двух чисел (<i>&radic;a<sub>1</sub>a<sub>2</sub></i>), о котором дальше и пойдёт речь, можно также называть <i>средним пропорциональным</i>. Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического (оно находится между ними в последовательности средних). Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось - этим очень удобно пользоваться.
					</p>
					<math display="block">
						<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
						<mrow>
							<msub>
								<mrow>
									<mover accent="true">
										<mi>x</mi>
										<mo>&macr;</mo>
									</mover>
								</mrow>
								<mtext>geom</mtext>
							</msub>
							<mo>=</mo>
							<msup>
								<mrow>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<munderover>
												<mo>&Product;</mo>
												<mrow>
													<mi>i</mi>
													<mo>=</mo>
													<mn>1</mn>
												</mrow>
												<mi>n</mi>
											</munderover>
											<msub>
												<mi>x</mi>
												<mi>i</mi>
											</msub>
										</mrow>
									</mfenced>
								</mrow>
								<mfrac>
									<mrow>
										<mn>1</mn>
									</mrow>
									<mrow>
										<mi>n</mi>
									</mrow>
								</mfrac>
							</msup>
							<mo>=</mo>
							<mroot>
								<mrow>
									<msub>
										<mi>x</mi>
										<mn>1</mn>
									</msub>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<msub>
										<mi>x</mi>
										<mn>2</mn>
									</msub>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mo>&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;</mo>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<msub>
										<mi>x</mi>
										<mi>n</mi>
									</msub>
								</mrow>
								<mrow>
									<mi>n</mi>
								</mrow>
							</mroot>
						</mrow>
					</math>
					<p>
						И наконец, последнее из основных здесь разбираемых средних - среднее гармоническое. Среднее гармоническое вычисляется по формуле: <math display="inline">
							<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
							<mrow>
								<msub>
									<mrow>
										<mi>A</mi><mo>&ApplyFunction;</mo>
									</mrow>
									<mrow>
										<mo>-</mo>
										<mn>1</mn>
									</mrow>
								</msub>
								<mo>(</mo>
								<msub>
									<mi>x</mi>
									<mn>1</mn>
								</msub>
								<mtext>,</mtext>
								<mo>&hellip;</mo>
								<mtext>,</mtext>
								<msub>
									<mi>x</mi>
									<mi>n</mi>
								</msub>
								<mo>)</mo>
								<mo>=</mo>
								<mfrac>
									<mrow>
										<mi>n</mi>
									</mrow>
									<mrow>
										<mfrac>
											<mrow>
												<mn>1</mn>
											</mrow>
											<mrow>
												<msub>
													<mi>x</mi>
													<mn>1</mn>
												</msub>
											</mrow>
										</mfrac>
										<mo>+</mo>
										<mo>&CenterDot;&CenterDot;&CenterDot;</mo>
										<mo>+</mo>
										<mfrac>
											<mrow>
												<mn>1</mn>
											</mrow>
											<mrow>
												<msub>
													<mi>x</mi>
													<mi>n</mi>
												</msub>
											</mrow>
										</mfrac>
									</mrow>
								</mfrac>
								<mo>=</mo>
								<mfrac>
									<mrow>
										<mi>n</mi>
									</mrow>
									<mrow>
										<munderover>
											<mo>&Sum;</mo>
											<mrow>
												<mi>i</mi>
												<mo>=</mo>
												<mn>1</mn>
											</mrow>
											<mi>n</mi>
										</munderover>
										<mfrac>
											<mrow>
												<mn>1</mn>
											</mrow>
											<mrow>
												<msub>
													<mi>x</mi>
													<mi>i</mi>
												</msub>
											</mrow>
										</mfrac>
									</mrow>
								</mfrac>
								<mo>=</mo>
								<mfrac>
									<mrow>
										<mi>n</mi>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<munderover>
											<mo>&Product;</mo>
											<mrow>
												<mi>j</mi>
												<mo>=</mo>
												<mn>1</mn>
											</mrow>
											<mi>n</mi>
										</munderover>
										<msub>
											<mi>x</mi>
											<mi>j</mi>
										</msub>
									</mrow>
									<mrow>
										<munderover>
											<mo>&Sum;</mo>
											<mrow>
												<mi>i</mi>
												<mo>=</mo>
												<mn>1</mn>
											</mrow>
											<mi>n</mi>
										</munderover>
										<mfrac>
											<mrow>
												<munderover>
													<mo>&Product;</mo>
													<mrow>
														<mi>j</mi>
														<mo>=</mo>
														<mn>1</mn>
													</mrow>
													<mi>n</mi>
												</munderover>
												<msub>
													<mi>x</mi>
													<mi>j</mi>
												</msub>
											</mrow>
											<mrow>
												<msub>
													<mi>x</mi>
													<mi>i</mi>
												</msub>
											</mrow>
										</mfrac>
									</mrow>
								</mfrac>
							</mrow>
						</math> (иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных). Среднее гармоническое является средним степени −1. В статистике среднее гармоническое применяется в случае, когда наблюдения, для которых требуется получить среднее арифметическое, заданы обратными значениями.
					</p>
					<math display="block">
						<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
						<mrow>
							<msub>
								<mrow>
									<mover accent="true">
										<mi>x</mi>
										<mo>&macr;</mo>
									</mover>
								</mrow>
								<mtext>garmon</mtext>
							</msub>
							<mo>=</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<mi>n</mi>
								</mrow>
								<mrow>
									<munderover>
										<mo>&Sum;</mo>
										<mrow>
											<mi>i</mi>
											<mo>=</mo>
											<mn>1</mn>
										</mrow>
										<mi>n</mi>
									</munderover>
									<mfrac>
										<mrow>
											<mn>1</mn>
										</mrow>
										<mrow>
											<msub>
												<mi>x</mi>
												<mi>i</mi>
											</msub>
										</mrow>
									</mfrac>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mo>=</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<mi>n</mi>
								</mrow>
								<mrow>
									<mfrac>
										<mrow>
											<mn>1</mn>
										</mrow>
										<mrow>
											<msub>
												<mi>x</mi>
												<mn>1</mn>
											</msub>
										</mrow>
									</mfrac>
									<mo>+</mo>
									<mo>&hellip;</mo>
									<mo>+</mo>
									<mfrac>
										<mrow>
											<mn>1</mn>
										</mrow>
										<mrow>
											<msub>
												<mi>x</mi>
												<mi>n</mi>
											</msub>
										</mrow>
									</mfrac>
								</mrow>
							</mfrac>
						</mrow>
					</math>
					<p>
						Для приличия следует также сказать хотя бы: среднее квадратическое (квадратичное) - число, равное квадратному корню из среднего арифметического квадратов данных чисел (среднее степенное степени 2).
					</p>
					Три средних, о которых говорилось выше, связаны данной цепочкой неравенств (всё для простоты будет доказываться лишь для 2 чисел):
					<math display="block">
						<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
						<mrow>
							<mfrac>
								<mrow>
									<mn>2</mn>
								</mrow>
								<mrow>
									<mfrac>
										<mrow>
											<mn>1</mn>
										</mrow>
										<mrow>
											<mi>a</mi>
										</mrow>
									</mfrac>
									<mo>+</mo>
									<mfrac>
										<mrow>
											<mn>1</mn>
										</mrow>
										<mrow>
											<mi>b</mi>
										</mrow>
									</mfrac>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mo>&le;</mo>
							<msqrt>
								<mi>a</mi>
								<mo>&InvisibleTimes;</mo>
								<mi>b</mi>
							</msqrt>
							<mo>&le;</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<mi>a</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>b</mi>
								</mrow>
								<mrow>
									<mn>2</mn>
								</mrow>
							</mfrac>
						</mrow>
					</math>
					Начну с доказательства <math display="inline">
						<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
						<mrow>
							<msqrt>
								<mi>a</mi>
								<mo>&times;</mo>
								<mi>b</mi>
							</msqrt>
							<mo>&geq;</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<mn>2</mn>
								</mrow>
								<mrow>
									<mfrac>
										<mrow>
											<mn>1</mn>
										</mrow>
										<mrow>
											<mi>a</mi>
										</mrow>
									</mfrac>
									<mo>+</mo>
									<mfrac>
										<mrow>
											<mn>1</mn>
										</mrow>
										<mrow>
											<mi>b</mi>
										</mrow>
									</mfrac>
								</mrow>
							</mfrac>
						</mrow>
					</math>
					Для доказательства можно воспользоваться <a href="10.html">методом оценки знака разности</a> (рассматривается для положительных <i>a</i> и <i>b</i>; на самом деле, не все средние могут быть заданы для отрицательных чисел и нуля, что можно понять уже по их формулам, поэтому говоря о подобном неравенстве следует явно говорить лишь о положительных числах).
					<math display="block">
						<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
						<mrow>
							<mo>&#x25FD;</mo>
							<msqrt>
								<mi>a</mi>
								<mo>&InvisibleTimes;</mo>
								<mi>b</mi>
							</msqrt>
							<mo>-</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<mn>2</mn>
								</mrow>
								<mrow>
									<mfrac>
										<mrow>
											<mn>1</mn>
										</mrow>
										<mrow>
											<mi>a</mi>
										</mrow>
									</mfrac>
									<mo>+</mo>
									<mfrac>
										<mrow>
											<mn>1</mn>
										</mrow>
										<mrow>
											<mi>b</mi>
										</mrow>
									</mfrac>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mo>=</mo>
							<msqrt>
								<mi>a</mi>
								<mo>&InvisibleTimes;</mo>
								<mi>b</mi>
							</msqrt>
							<mo>-</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<mn>2</mn>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>a</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>b</mi>
								</mrow>
								<mrow>
									<mi>a</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>b</mi>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mo>=</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<mi>a</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<msqrt>
										<mi>a</mi>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>b</mi>
									</msqrt>
									<mo>+</mo>
									<mi>b</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<msqrt>
										<mi>a</mi>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>b</mi>
									</msqrt>
									<mo>-</mo>
									<mn>2</mn>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>a</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>b</mi>
								</mrow>
								<mrow>
									<mi>a</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>b</mi>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mo>=</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<msqrt>
										<mi>a</mi>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>b</mi>
									</msqrt>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<mi>a</mi>
											<mo>+</mo>
											<mi>b</mi>
											<mo>-</mo>
											<mn>2</mn>
											<mo>&InvisibleTimes;</mo>
											<msqrt>
												<mi>a</mi>
												<mo>&InvisibleTimes;</mo>
												<mi>b</mi>
											</msqrt>
										</mrow>
									</mfenced>
								</mrow>
								<mrow>
									<mi>a</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>b</mi>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mo>=</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<msqrt>
										<mi>a</mi>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>b</mi>
									</msqrt>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<msup>
										<mrow>
											<mfenced open="(" close=")" separators=",">
												<mrow>
													<msqrt>
														<mi>a</mi>
													</msqrt>
													<mo>-</mo>
													<msqrt>
														<mi>b</mi>
													</msqrt>
												</mrow>
											</mfenced>
										</mrow>
										<mn>2</mn>
									</msup>
								</mrow>
								<mrow>
									<mi>a</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>b</mi>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mtext>,</mtext>
							<mspace width="0.5em" />
							<mtext>где</mtext>
							<mspace width="0.5em" />
							<mfenced open="(" close=")" separators=",">
								<mrow>
									<mi>a</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>b</mi>
								</mrow>
							</mfenced>
							<mo>&gt;</mo>
							<mn>0</mn>
							<mtext>;</mtext>
							<mspace width="0.5em" />
							<msqrt>
								<mi>a</mi>
								<mo>&InvisibleTimes;</mo>
								<mi>b</mi>
							</msqrt>
							<mo>&gt;</mo>
							<mn>0</mn>
							<mtext>;</mtext>
							<mspace width="0.5em" />
							<msup>
								<mrow>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<msqrt>
												<mi>a</mi>
											</msqrt>
											<mo>-</mo>
											<msqrt>
												<mi>b</mi>
											</msqrt>
										</mrow>
									</mfenced>
								</mrow>
								<mn>2</mn>
							</msup>
							<mo>&geq;</mo>
							<mn>0</mn>
							<mspace width="0.5em" />
							<mtext>(всегда - как квадрат)</mtext>
							<mspace width="0.5em" />
							<mo>&therefore;</mo>
							<mtext>всё выражение больше или равно 0</mtext>
							<mo>&#x25FD;</mo>
						</mrow>
					</math>
					Теперь можно доказать <math display="inline">
						<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
						<mrow>
							<msqrt>
								<mi>a</mi>
								<mo>&InvisibleTimes;</mo>
								<mi>b</mi>
							</msqrt>
							<mo>&le;</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<mi>a</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>b</mi>
								</mrow>
								<mrow>
									<mn>2</mn>
								</mrow>
							</mfrac>
						</mrow>
					</math> (неравенство Коши - но только для 2 чисел)
					<math display="block">
						<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
						<mrow>
							<mo>&#x25FD;</mo>
							<msqrt>
								<mi>a</mi>
								<mo>&InvisibleTimes;</mo>
								<mi>b</mi>
							</msqrt>
							<mo>-</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<mi>a</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>b</mi>
								</mrow>
								<mrow>
									<mn>2</mn>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mo>=</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<mn>2</mn>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<msqrt>
										<mi>a</mi>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>b</mi>
									</msqrt>
									<mo>-</mo>
									<mi>a</mi>
									<mo>-</mo>
									<mi>b</mi>
								</mrow>
								<mrow>
									<mn>2</mn>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mo>=</mo>
							<mo>-</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<msup>
										<mrow>
											<mfenced open="(" close=")" separators=",">
												<mrow>
													<msqrt>
														<mi>a</mi>
													</msqrt>
													<mo>-</mo>
													<msqrt>
														<mi>b</mi>
													</msqrt>
												</mrow>
											</mfenced>
										</mrow>
										<mn>2</mn>
									</msup>
								</mrow>
								<mrow>
									<mn>2</mn>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mspace width="0.5em" />
							<mtext>выражение меньше или равно 0</mtext>
							<mo>&#x25FD;</mo>
						</mrow>
					</math>
					Далее это неравенство можно расширить, добавив, допустим, среднее квадратическое. Можно тогда доказать <math display="inline">
						<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
						<mrow>
							<msqrt>
								<mfrac>
									<mrow>
										<msup>
											<mi>a</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>+</mo>
										<msup>
											<mi>b</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
									</mrow>
									<mrow>
										<mn>2</mn>
									</mrow>
								</mfrac>
							</msqrt>
							<mo>&geq;</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<mi>a</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>b</mi>
								</mrow>
								<mrow>
									<mn>2</mn>
								</mrow>
							</mfrac>
						</mrow>
					</math>
					Можно опять воспользоваться методом оценки знака разности, но с небольшим изменением, так как, чтобы оценить числитель получившегося выражения, потребуется сравнить два других, из которого оно состоит, чтобы понять знак.
					<math display="block">
						<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
						<mrow>
							<msqrt>
								<mfrac>
									<mrow>
										<msup>
											<mi>a</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>+</mo>
										<msup>
											<mi>b</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
									</mrow>
									<mrow>
										<mn>2</mn>
									</mrow>
								</mfrac>
							</msqrt>
							<mo>-</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<mi>a</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>b</mi>
								</mrow>
								<mrow>
									<mn>2</mn>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mo>=</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<msqrt>
										<msup>
											<mi>a</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>+</mo>
										<msup>
											<mi>b</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
									</msqrt>
								</mrow>
								<mrow>
									<msqrt>
										<mn>2</mn>
									</msqrt>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mo>-</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<msqrt>
										<mi>a</mi>
										<mo>+</mo>
										<mi>b</mi>
									</msqrt>
									<mo>&times;</mo>
									<msqrt>
										<mi>a</mi>
										<mo>+</mo>
										<mi>b</mi>
									</msqrt>
								</mrow>
								<mrow>
									<msqrt>
										<mn>2</mn>
									</msqrt>
									<mo>&times;</mo>
									<msqrt>
										<mn>2</mn>
									</msqrt>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mo>=</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<msqrt>
										<mn>2</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mfenced open="(" close=")" separators=",">
											<mrow>
												<msup>
													<mi>a</mi>
													<mn>2</mn>
												</msup>
												<mo>+</mo>
												<msup>
													<mi>b</mi>
													<mn>2</mn>
												</msup>
											</mrow>
										</mfenced>
									</msqrt>
									<mo>-</mo>
									<msqrt>
										<mi>a</mi>
										<mo>+</mo>
										<mi>b</mi>
									</msqrt>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<msqrt>
										<mi>a</mi>
										<mo>+</mo>
										<mi>b</mi>
									</msqrt>
								</mrow>
								<mrow>
									<mn>2</mn>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mspace width="0.5em" />
							<mtext>рассмотрим числитель отдельно...</mtext>
						</mrow>
					</math>
					Теперь, чтобы доказать, что разность больше нуля, нужно сравнивать уменьшаемое и вычитаемое (первое, соответственно, должно быть больше другого).
					<math display="block">
						<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
						<mrow>
							<mtable groupalign="{left}">
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<mo>&#x25FD;</mo>
										<msqrt>
											<mn>2</mn>
											<mo>&InvisibleTimes;</mo>
											<mfenced open="(" close=")" separators=",">
												<mrow>
													<msup>
														<mi>a</mi>
														<mn>2</mn>
													</msup>
													<mo>+</mo>
													<msup>
														<mi>b</mi>
														<mn>2</mn>
													</msup>
												</mrow>
											</mfenced>
										</msqrt>
										<mo>&or;</mo>
										<msup>
											<mrow>
												<mfenced open="(" close=")" separators=",">
													<mrow>
														<msqrt>
															<mi>a</mi>
															<mo>+</mo>
															<mi>b</mi>
														</msqrt>
													</mrow>
												</mfenced>
											</mrow>
											<mn>2</mn>
										</msup>
									</mtd>
								</mtr>
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<msqrt>
											<mn>2</mn>
											<mo>&InvisibleTimes;</mo>
											<mfenced open="(" close=")" separators=",">
												<mrow>
													<msup>
														<mi>a</mi>
														<mn>2</mn>
													</msup>
													<mo>+</mo>
													<msup>
														<mi>b</mi>
														<mn>2</mn>
													</msup>
												</mrow>
											</mfenced>
										</msqrt>
										<mo>&or;</mo>
										<msqrt>
											<msup>
												<mi>a</mi>
												<mn>2</mn>
											</msup>
											<mo>+</mo>
											<msup>
												<mi>b</mi>
												<mn>2</mn>
											</msup>
											<mo>+</mo>
											<mn>2</mn>
											<mo>&InvisibleTimes;</mo>
											<mi>a</mi>
											<mo>&InvisibleTimes;</mo>
											<mi>b</mi>
										</msqrt>
										<mtext>(оба положительны)</mtext>
									</mtd>
								</mtr>
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<mn>2</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<msup>
											<mi>a</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>+</mo>
										<mn>2</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<msup>
											<mi>b</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>&or;</mo>
										<msup>
											<mi>a</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>+</mo>
										<msup>
											<mi>b</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>+</mo>
										<mn>2</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>a</mi>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>b</mi>
										<mo>|</mo>
										<mo>-</mo>
										<mn>2</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>a</mi>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>b</mi>
									</mtd>
								</mtr>
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<mn>2</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mfenced open="(" close=")" separators=",">
											<mrow>
												<msup>
													<mi>a</mi>
													<mn>2</mn>
												</msup>
												<mo>+</mo>
												<msup>
													<mi>b</mi>
													<mn>2</mn>
												</msup>
												<mo>+</mo>
												<mi>a</mi>
												<mo>&InvisibleTimes;</mo>
												<mi>b</mi>
											</mrow>
										</mfenced>
										<mo>&gt;</mo>
										<msup>
											<mi>a</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>+</mo>
										<msup>
											<mi>b</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
									</mtd>
								</mtr>
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<mo>&therefore;</mo>
										<mtext>исходное тоже больше</mtext>
										<mo>&#x25FD;</mo>
									</mtd>
								</mtr>
							</mtable>
						</mrow>
					</math>
					Затем в цепочку неравенств можно добавить средние степеней &plusmn;&infin; - максимум и минимум.
					С максимальным и минимальным значением доказать неравенства достаточно просто.<br>
					Пусть среди двух чисел одно больше другого (на самом деле, лучше взять - больше другого на <i>c</i>, где <i>c</i> может быть равно 0, и тогда неравенство становится равенством), тогда <i>b = a + c</i>, и max(a, b) = a + c и &there4; <i>max(a, b) &equiv; max(a, a+c)</i> (позже также можно поступить и с минимумом). Для доказательства просто воспользуемся <a href="10.html">свойствами неравенств</a> и сведём к элементарному.
					<math display="block">
						<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
						<mrow>
							<mtable groupalign="{left}">
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<msqrt>
											<mfrac>
												<mrow>
													<msup>
														<mi>a</mi>
														<mn>2</mn>
													</msup>
													<mo>+</mo>
													<msup>
														<mi>a</mi>
														<mn>2</mn>
													</msup>
													<mo>+</mo>
													<msup>
														<mi>c</mi>
														<mn>2</mn>
													</msup>
													<mo>+</mo>
													<mn>2</mn>
													<mo>&times;</mo>
													<mi>a</mi>
													<mo>&times;</mo>
													<mi>c</mi>
												</mrow>
												<mrow>
													<mn>2</mn>
												</mrow>
											</mfrac>
										</msqrt>
										<mo>&or;</mo>
										<mi>max</mi><mo>&ApplyFunction;</mo>
										<mfenced open="(" close=")" separators=",">
											<mrow>
												<mi>a</mi>
											</mrow>
											<mrow>
												<mi>a</mi>
												<mo>+</mo>
												<mi>c</mi>
											</mrow>
										</mfenced>
									</mtd>
								</mtr>
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<msqrt>
											<mfrac>
												<mrow>
													<mn>2</mn>
													<mo>&InvisibleTimes;</mo>
													<msup>
														<mi>a</mi>
														<mn>2</mn>
													</msup>
													<mo>+</mo>
													<mn>2</mn>
													<mo>&InvisibleTimes;</mo>
													<mi>a</mi>
													<mo>&InvisibleTimes;</mo>
													<mi>c</mi>
													<mo>+</mo>
													<msup>
														<mi>c</mi>
														<mn>2</mn>
													</msup>
												</mrow>
												<mrow>
													<mn>2</mn>
												</mrow>
											</mfrac>
										</msqrt>
										<mo>&or;</mo>
										<mi>a</mi>
										<mo>+</mo>
										<mi>c</mi>
									</mtd>
								</mtr>
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<mfrac>
											<mrow>
												<msqrt>
													<mn>2</mn>
													<mo>&InvisibleTimes;</mo>
													<mfenced open="(" close=")" separators=",">
														<mrow>
															<msup>
																<mi>a</mi>
																<mn>2</mn>
															</msup>
															<mo>+</mo>
															<mi>a</mi>
															<mo>&InvisibleTimes;</mo>
															<mi>c</mi>
														</mrow>
													</mfenced>
													<mo>+</mo>
													<msup>
														<mi>c</mi>
														<mn>2</mn>
													</msup>
												</msqrt>
											</mrow>
											<mrow>
												<msqrt>
													<mn>2</mn>
												</msqrt>
											</mrow>
										</mfrac>
										<mo>&or;</mo>
										<mfenced open="(" close=")" separators=",">
											<mrow>
												<mi>a</mi>
												<mo>+</mo>
												<mi>c</mi>
											</mrow>
										</mfenced>
									</mtd>
								</mtr>
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<msqrt>
											<mn>2</mn>
											<mo>&InvisibleTimes;</mo>
											<mfenced open="(" close=")" separators=",">
												<mrow>
													<msup>
														<mi>a</mi>
														<mn>2</mn>
													</msup>
													<mo>+</mo>
													<mi>a</mi>
													<mo>&InvisibleTimes;</mo>
													<mi>c</mi>
												</mrow>
											</mfenced>
											<mo>+</mo>
											<msup>
												<mi>c</mi>
												<mn>2</mn>
											</msup>
										</msqrt>
										<mo>&or;</mo>
										<msqrt>
											<mn>2</mn>
										</msqrt>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>a</mi>
										<mo>+</mo>
										<msqrt>
											<mn>2</mn>
										</msqrt>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>c</mi>
									</mtd>
								</mtr>
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<msqrt>
											<mn>2</mn>
											<mo>&InvisibleTimes;</mo>
											<mfenced open="(" close=")" separators=",">
												<mrow>
													<msup>
														<mi>a</mi>
														<mn>2</mn>
													</msup>
													<mo>+</mo>
													<mi>a</mi>
													<mo>&InvisibleTimes;</mo>
													<mi>c</mi>
												</mrow>
											</mfenced>
											<mo>+</mo>
											<msup>
												<mi>c</mi>
												<mn>2</mn>
											</msup>
										</msqrt>
										<mo>&or;</mo>
										<msqrt>
											<mn>2</mn>
										</msqrt>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<msup>
											<mrow>
												<mfenced open="(" close=")" separators=",">
													<mrow>
														<msqrt>
															<mi>a</mi>
															<mo>+</mo>
															<mi>c</mi>
														</msqrt>
													</mrow>
												</mfenced>
											</mrow>
											<mn>2</mn>
										</msup>
									</mtd>
								</mtr>
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<mn>2</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mfenced open="(" close=")" separators=",">
											<mrow>
												<msup>
													<mi>a</mi>
													<mn>2</mn>
												</msup>
												<mo>+</mo>
												<mi>a</mi>
												<mo>&InvisibleTimes;</mo>
												<mi>c</mi>
											</mrow>
										</mfenced>
										<mo>+</mo>
										<msup>
											<mi>c</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>&or;</mo>
										<mn>2</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<msup>
											<mfenced open="(" close=")" separators=",">
												<mrow>
													<mi>a</mi>
													<mo>+</mo>
													<mi>c</mi>
												</mrow>
											</mfenced>
											<mn>2</mn>
										</msup>
									</mtd>
								</mtr>
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<mn>2</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<msup>
											<mi>a</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>+</mo>
										<mn>2</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>a</mi>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>c</mi>
										<mo>+</mo>
										<msup>
											<mi>c</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>&or;</mo>
										<mn>2</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<msup>
											<mi>a</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>+</mo>
										<mn>2</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<msup>
											<mi>c</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>+</mo>
										<mn>4</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>a</mi>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>c</mi>
										<mo>|</mo>
										<mo>-</mo>
										<mfenced open="(" close=")" separators=",">
											<mrow>
												<mn>2</mn>
												<mo>&InvisibleTimes;</mo>
												<mfenced open="(" close=")" separators=",">
													<mrow>
														<msup>
															<mi>a</mi>
															<mn>2</mn>
														</msup>
														<mo>+</mo>
														<mi>a</mi>
														<mo>&InvisibleTimes;</mo>
														<mi>c</mi>
													</mrow>
												</mfenced>
												<mo>+</mo>
												<msup>
													<mi>c</mi>
													<mn>2</mn>
												</msup>
											</mrow>
										</mfenced>
									</mtd>
								</mtr>
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<mn>0</mn>
										<mo>&le;</mo>
										<msup>
											<mi>c</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>+</mo>
										<mn>2</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>a</mi>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>c</mi>
									</mtd>
								</mtr>
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<mo>&therefore;</mo>
										<mtext>то же верно для исходного</mtext>
										<mo>&squarf;</mo>
									</mtd>
								</mtr>
							</mtable>
						</mrow>
					</math>
					Теперь докажем что функция минимального значения меньше всех пифагорийских средних (соответственно, <i>min(a, b) &equiv; min(a, a+c)=a</i>).
					<math display="block">
						<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
						<mrow>
							<mtable groupalign="{left}">
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<mo>&#x25FD;</mo>
										<mfrac>
											<mrow>
												<mn>2</mn>
											</mrow>
											<mrow>
												<mfrac>
													<mrow>
														<mn>1</mn>
													</mrow>
													<mrow>
														<mi>a</mi>
													</mrow>
												</mfrac>
												<mo>+</mo>
												<mfrac>
													<mrow>
														<mn>1</mn>
													</mrow>
													<mrow>
														<mi>a</mi>
														<mo>+</mo>
														<mi>c</mi>
													</mrow>
												</mfrac>
											</mrow>
										</mfrac>
										<mo>&or;</mo>
										<mi>min</mi><mo>&ApplyFunction;</mo>
										<mfenced open="(" close=")" separators=",">
											<mrow>
												<mi>a</mi>
											</mrow>
											<mrow>
												<mi>a</mi>
												<mo>+</mo>
												<mi>c</mi>
											</mrow>
										</mfenced>
									</mtd>
								</mtr>
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<mfrac>
											<mrow>
												<mn>2</mn>
												<mo>&InvisibleTimes;</mo>
												<mi>a</mi>
												<mo>&InvisibleTimes;</mo>
												<mfenced open="(" close=")" separators=",">
													<mrow>
														<mi>a</mi>
														<mo>+</mo>
														<mi>c</mi>
													</mrow>
												</mfenced>
											</mrow>
											<mrow>
												<mi>a</mi>
												<mo>+</mo>
												<mi>c</mi>
												<mo>+</mo>
												<mi>a</mi>
											</mrow>
										</mfrac>
										<mo>&or;</mo>
										<mi>a</mi>
										<mo>|</mo>
										<mo>&times;</mo>
										<mfenced open="(" close=")" separators=",">
											<mrow>
												<mn>2</mn>
												<mo>&InvisibleTimes;</mo>
												<mi>a</mi>
												<mo>+</mo>
												<mi>c</mi>
											</mrow>
										</mfenced>
									</mtd>
								</mtr>
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<mn>2</mn>
										<mo>&times;</mo>
										<msup>
											<mi>a</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>+</mo>
										<mn>2</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>a</mi>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>c</mi>
										<mo>&or;</mo>
										<mn>2</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<msup>
											<mi>a</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>+</mo>
										<mi>a</mi>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>c</mi>
										<mo>|</mo>
										<mo>-</mo>
										<mi>a</mi>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>c</mi>
									</mtd>
								</mtr>
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<mn>2</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<msup>
											<mi>a</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>+</mo>
										<mi>a</mi>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>c</mi>
										<mo>&or;</mo>
										<mn>2</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<msup>
											<mi>a</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>|</mo>
										<mo>-</mo>
										<mn>2</mn>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<msup>
											<mi>a</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
									</mtd>
								</mtr>
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<mi>a</mi>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>c</mi>
										<mo>&geq;</mo>
										<mn>0</mn>
									</mtd>
								</mtr>
								<mtr>
									<mtd><maligngroup/>
										<mo>&because;</mo>
										<mtext>исходное имеет тот же знак</mtext>
										<mo>&#x25FD;</mo>
									</mtd>
								</mtr>
							</mtable>
						</mrow>
					</math>
					Итак, получаем цепочку неравенств, связывающую все наиболее известные средние для двух положительных чисел:
					<math display="block">
						<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
						<mrow>
							<msub>
								<mrow>
									<mi>M</mi><mo>&ApplyFunction;</mo>
								</mrow>
								<mrow>
									<mo>-</mo>
									<mo>&infin;</mo>
								</mrow>
							</msub>
							<mo>&le;</mo>
							<msub>
								<mrow>
									<mi>M</mi><mo>&ApplyFunction;</mo>
								</mrow>
								<mrow>
									<mo>-</mo>
									<mn>1</mn>
								</mrow>
							</msub>
							<mo>&le;</mo>
							<msub>
								<mrow>
									<mi>M</mi><mo>&ApplyFunction;</mo>
								</mrow>
								<mn>0</mn>
							</msub>
							<mo>&le;</mo>
							<msub>
								<mrow>
									<mi>M</mi><mo>&ApplyFunction;</mo>
								</mrow>
								<mn>1</mn>
							</msub>
							<mo>&le;</mo>
							<msub>
								<mrow>
									<mi>M</mi><mo>&ApplyFunction;</mo>
								</mrow>
								<mn>2</mn>
							</msub>
							<mo>&le;</mo>
							<msub>
								<mrow>
									<mi>M</mi><mo>&ApplyFunction;</mo>
								</mrow>
								<mrow>
									<mo>+</mo>
									<mo>&infin;</mo>
								</mrow>
							</msub>
						</mrow>
					</math>
					<p>
						Здесь, конечно, уже можно заметить закономерность, которая сохраняется для любых средних степенных от одного любого набора чисел: <math display="inline">
							<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
							<mrow>
								<msub>
									<mrow>
										<mi>M</mi><mo>&ApplyFunction;</mo>
									</mrow>
									<mi>i</mi>
								</msub>
								<mo>(</mo>
								<msub>
									<mi>x</mi>
									<mn>1</mn>
								</msub>
								<mtext>,</mtext>
								<mspace width="0.5em" />
								<mo>&hellip;</mo>
								<mtext>,</mtext>
								<mspace width="0.5em" />
								<msub>
									<mi>x</mi>
									<mi>n</mi>
								</msub>
								<mo>)</mo>
								<mo>&le;</mo>
								<msub>
									<mrow>
										<mi>M</mi><mo>&ApplyFunction;</mo>
									</mrow>
									<mi>j</mi>
								</msub>
								<mo>(</mo>
								<msub>
									<mi>x</mi>
									<mn>1</mn>
								</msub>
								<mtext>,</mtext>
								<mspace width="0.5em" />
								<mo>&hellip;</mo>
								<mtext>,</mtext>
								<mspace width="0.5em" />
								<msub>
									<mi>x</mi>
									<mi>n</mi>
								</msub>
								<mo>)</mo>
								<mtext>,</mtext>
								<mspace width="0.5em" />
								<mtext>где</mtext>
								<mspace width="0.5em" />
								<mi>i</mi>
								<mo>&lt;</mo>
								<mi>j</mi>
							</mrow>
						</math>. Причём, необходимое и достаточное условие для равенства средних - это равенство всех чисел в наборе. Для данного (гораздо более общего) утверждения доказательство требует оперирования другими более сложными понятиями, поэтому оно здесь (пока) не приводится. Это неравенство можно называть <i>неравенством о средних</i>.
					</p>
					Ту цепочку неравенств, которая записана выше, можно записать и в виде самих формул для двух положительных чисел:
					<math display="block">
						<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
						<mrow>
							<mi>min</mi><mo>&ApplyFunction;</mo>
							<mfenced open="(" close=")" separators=",">
								<mrow>
									<mi>a</mi>
								</mrow>
								<mrow>
									<mi>b</mi>
								</mrow>
							</mfenced>
							<mo>&le;</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<mn>2</mn>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>a</mi>
									<mo>&InvisibleTimes;</mo>
									<mi>b</mi>
								</mrow>
								<mrow>
									<mi>a</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>b</mi>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mo>=</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<mn>2</mn>
								</mrow>
								<mrow>
									<mfrac>
										<mrow>
											<mn>1</mn>
										</mrow>
										<mrow>
											<mi>a</mi>
										</mrow>
									</mfrac>
									<mo>+</mo>
									<mfrac>
										<mrow>
											<mn>1</mn>
										</mrow>
										<mrow>
											<mi>b</mi>
										</mrow>
									</mfrac>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mo>&le;</mo>
							<mfrac>
								<mrow>
									<mi>a</mi>
									<mo>+</mo>
									<mi>b</mi>
								</mrow>
								<mrow>
									<mn>2</mn>
								</mrow>
							</mfrac>
							<mo>&le;</mo>
							<msqrt>
								<mfrac>
									<mrow>
										<msup>
											<mi>a</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
										<mo>+</mo>
										<msup>
											<mi>b</mi>
											<mn>2</mn>
										</msup>
									</mrow>
									<mrow>
										<mn>2</mn>
									</mrow>
								</mfrac>
							</msqrt>
							<mo>&le;</mo>
							<mi>max</mi><mo>&ApplyFunction;</mo>
							<mfenced open="(" close=")" separators=",">
								<mrow>
									<mi>a</mi>
								</mrow>
								<mrow>
									<mi>b</mi>
								</mrow>
							</mfenced>
						</mrow>
					</math>
					<p>
						Именно это записанное выше утверждение и было здесь доказано. Этим легко можно пользоваться как опорным неравенством. Доказанное неравенство можно называть <i>неравенством о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом</i>, хотя в нём, конечно, задействованы не только эти средние (оно расширено), и оно также должно быть доказано для любого количества чисел в наборе, здесь же для наглядности оно доказано только для 2.
					</p>
				</section>
				<section>
					<h2>Простейшие неравенства с модулем</h2>
					<p>
						Кроме неравенства о средних при работе с неравенствами необходимы знания о модулях.  При работе с модулями в неравенствах нужно хорошо понимать их геометрическую интерпритацию и определение. Вообще, при работе с неравенствами их визуализация на числовой прямой (или любая другая подходящая) очень полезна.
					</p>
					<section>
						<h3>Модуль и его свойства</h3>
						<figure>
							<img src="Absolute_value.svg" alt="Иллюстрация модуля числа">
							<figcaption>Модуль числа</figcaption>
						</figure>
						<p>
							Итак, <dfn title="модуль числа">модуль числа</dfn> - это расстояние от начала координат (в нашем случае, очевидно, 0) до числа. Также для вещественных чисел можно определить модуль как кусочно-линейную функцию <math display="inline">
								<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
								<mrow>
									<mfenced open="|" close="|" separators=",">
										<mrow>
											<mi>x</mi>
										</mrow>
									</mfenced>
									<mo>=</mo>
									<mfenced open="{" close=" " separators=",">
										<mrow>
											<mtable>
												<mtr>
													<mtd>
														<mi>x</mi>
														<mtext>,</mtext>
													</mtd>
													<mtd>
														<mi>x</mi>
														<mo>&geq;</mo>
														<mn>0</mn>
													</mtd>
												</mtr>
												<mtr>
													<mtd>
														<mo>-</mo>
														<mi>x</mi>
														<mtext>,</mtext>
													</mtd>
													<mtd>
														<mi>x</mi>
														<mo>&lt;</mo>
														<mn>0</mn>
													</mtd>
												</mtr>
											</mtable>
										</mrow>
									</mfenced>
								</mrow>
							</math>. Модуль числа также называют его <i>абсолютным значением</i> (или абсолютной величиной). Модуль от числа <i>a</i> обозначается <i>|a|</i>.
						</p>
						<p>
							Некоторые свойства функции модуля и её графика можно посмотреть <a href="3.html">на этой странице</a>.
						</p>
						<p>
							Область определения для вещественных чисел: <i>D(x)=(+&infin;; -&infin;)</i>. Область значений для вещественных чисел: <i>E(y)=[0; +&infin;)</i>. Является, всюду кроме 0 дифференцируемой, чётной функцией.
						</p>
						<p>
							Конечно, понятие модуля можно обобщить и для <a href="9.html">комплексных чисел</a>. Тогда формулой будет: <i>|z|=|x+yi|=&radic;(x&sup2;+y&sup2;)</i>. Модуль комплексного числа z – это расстояние от начала комплексной плоскости до точки, соответствующей числу z в этой плоскости. Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены. Понятие модуля, вообще, можно обобщить для очень большого количества расширений вещественных чисел. Можно сказать, что <i>норма</i> (<a href="https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%BE%D1%80%D0%BC%D0%B0_%28%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0%29" title="Норма">Wikipedia</a>) - это в некотором роде обобщение понятия модуля для векторных пространств.
						</p>
						<h4>Свойства модуля вещественного числа</h4>
						<ol start="0">
							<li>|a| = &radic;(a&sup2;) (очевидное, широко используемое свойство, относящееся скорее к <i><a href="5.html">свойствам квадратного корня</a></i>; теоретически, так даже можно определить само понятие модуля вещественного числа; здесь можно заметить ещё одно &quot;свойство&quot; модуля, а точнее чётных степеней: так как они неотрицательны, то <i>a<sup>2k</sup> = |a|<sup>2k</sup></i>)</li>
							<li>|a| &ge; 0 (<i>неотрицательность</i>) - следует из определения</li>
							<li>|a| = |-a| (<i>чётность</i>) - левая полуплоскость заменяется правой</li>
							<li>|a| = 0 &hArr; a = 0 (<i>положительная определённость</i>)</li>
							<li>|a||b| = |ab| (<i>мультипликативность</i>)</li>
							<li>|a|/|b| = |a/b| (<i>сохранение деления - эквивалент мультипликативности</i>; b&ne;0)</li>
							<li>|a+b| &le; |a|+|b| (<i>субаддитивность</i>)</li>
							<li>|(|a|)| = |a| (<i>идемпотентность</i>)</li>
							<li>|a-b| = 0 &hArr; a = b (<i>эквивалентность равенству - эквивалент положительной определённости</i>; очевидный вывод из того, что |a-b| означает расстояние от <var>a</var> до <var>b</var>)</li>
							<li>|a-b| &le; |a-c|+|c-b| (<i>неравенство треугольника</i> - полный эквивалент свойства субаддитивности)</li>
							<li>|a-b| &ge; |(|a|-|b|)| (<i>обратное неравенство треугольника</i> - эквивалентно свойству субаддитивности)</li>
							<li>|ab|, a &ge; 0 &hArr; a|b| (постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля - тоже очевидное свойство, следующее из определения, также если подмодульное выражение неотрицательно, то модуль можно убрать)</li>
							<li>|a<sup>k</sup>| = |a|<sup>k</sup> (подразумевается, что a<sup>k</sup> существует)</li>
							<li>a &le; |a| (само число либо больше, либо равно своему модулю; или a=|a|, или a отрицательно - тогда модуль противоположен &there4; больше; эквивалентно a&ge;-|a|)</li>
							<li>|a| &le; b &hArr; -b &le; a &le; b (где b &ge; 0)</li>
							<li>|a| &ge; b &hArr; a &le; -b &or; a &ge; b (где b &ge; 0)</li>
						</ol>
						<p>Итак, отсюда можно выделить 4 основных свойства модуля.</p>
						<dl title="Основные свойства модуля">
							<dt><i>Неотрицательность</i></dt>
							<dd>|a| &ge; 0 - Модуль числа всегда неотрицателен.</dd>
							<dt><i>Положительная определённость</i></dt>
							<dd>|a| = 0 &hArr; (модуль числа равен нулю тогда и только тогда, когда это число есть нуль.) a = 0 и предыдушее. Значения функции меньше нуля невозможны.</dd>
							<dt><i>Мультипликативность</i></dt>
							<dd>|a||b| = |ab| &mdash; Модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих чисел.</dd>
							<dt><i>Субаддитивность</i></dt>
							<dd>|a+b| &le; |a| + |b| &mdash; Модуль суммы двух чисел не превосходит сумму модулей этих чисел.</dd>
						</dl>
						<p>Всегда важно помнить о чётности функции, которая фактически определяет модуль (или наоборот) - мы берём линейную функцию <i>y=&fnof;(x)</i> и заменяем левую полуплоскость (x&le;0) правой (x&ge;0).</p>
						<p>Идемпотентность - тоже вполне занимательное и важное свойство. Термин <dfn title="идемпотентность">идемпотентность</dfn> - свойство математической операции, означающее, что её повторное применение даёт тот же результат, что и одинарное - сколько раз не применяй, результат остаётся инвариантен.</p>
						<p>
							Модуль <var>x</var> равен не только квадратному корню из квадрата <var>x</var>. Например, рассмотрим одну из известных кусочно-постоянных функций, используемую для компактной записи знака числа - <i>sgn(<var>x</var>)</i>. Она определяется так: <math display="inline">
							<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
							<mrow>
								<mi>sgn</mi><mo>&ApplyFunction;</mo>
								<!--<mo>(</mo>
								<mi>x</mi>
								<mo>)</mo>-->
								<mfenced open="(" close=")" separators=",">
									<mrow>
										<mi>x</mi>
									</mrow>
								</mfenced>
								<mo>&colone;</mo>
								<mfenced open="{" close=" " separators=",">
									<mrow>
										<mtable>
											<mtr>
												<mtd>
													<mn>1</mn>
													<mtext>,</mtext>
												</mtd>
												<mtd>
													<mi>x</mi>
													<mo>&gt;</mo>
													<mn>0</mn>
												</mtd>
											</mtr>
											<mtr>
												<mtd>
													<mn>0</mn>
													<mtext>,</mtext>
												</mtd>
												<mtd>
													<mi>x</mi>
													<mo>=</mo>
													<mn>0</mn>
												</mtd>
											</mtr>
											<mtr>
												<mtd>
													<mo>-</mo>
													<mn>1</mn>
													<mtext>,</mtext>
												</mtd>
												<mtd>
													<mi>x</mi>
													<mo>&lt;</mo>
													<mn>0</mn>
												</mtd>
											</mtr>
										</mtable>
									</mrow>
								</mfenced>
							</mrow>
							</math> (кстати, если представить её график, то можно сразу понять, что она нечётная).
							С этой функцией можно сделать вывод: <i>|x| = x &times; sgn(x)</i>. Ещё переопределить модуль можно через каждому известную функцию <i>max(x, y)</i>, которая здесь уже обсуждалась. Тогда: <i>|x| = max(x, -x).</i>
						</p>
						<p>
							Фактически, модуль разности двух чисел <i>a</i> и <i>b</i> равен расстоянию между точками координатной прямой с координатами <i>a</i> и <i>b</i>. В некотором роде, можно понять, что озвученное определение модуля (геометрическое и наиболее полное) является частным случаем этого определения. Это |a-b| могут назвать также иногда абсолютной разницей. Значит, в целом, абсолютная разница представляет собой расстояние. Модуль очень тесно связан с идеей расстояния.
						</p>
					</section>
					<section>
						<h4>Простейшие неравенства с модулем и числовая прямая</h4>
						<p>Свойства модуля под номерами 14 и 15 хотелось бы разобрать отдельно. По сути, эти свойства означают, что модуль x разбивается на <a href="12.html">систему и совокупность неравенств</a>.</p>
						<p>
							Рассмотрим их подробнее. Сначала |a| &le; b &hArr; -b &le; a &le; b. В свойстве записано b &ge; 0. Почему же это верно? Собственно говоря, если b &le; 0, то &there4; |a| &le; 0, однако, по основному свойству модуля - неотрицательности (свойство 1) <i>a</i>, удовлетворяющих неравенству, не существует - поэтому оно не имеет смысла.
						</p>
						<p>
							При решении, доказательстве и формировании неравенств можно определённо пользоваться всеми приведёнными выше свойствами и опорными неравенствами. Говоря об опорных неравенствах и сведении других неравенств к ним (или наоборот) для доказательства, такой подход можно назвать <i>систематическим методом решения неравенств</i>. Он тоже часто используется в доказательствах. Его суть - вывод необходимого (искомого) неравенства из известных (опорных) путём определённых преобразований (конечно, здесь обычно пользуются всеми свойствами неравенств). Примером хороших опорных неравенств с модулями может служить этот достаточно простой: <i>a&sup2;+b&sup2; &ge; 2|ab|</i>
						</p>
						<figure>
							<img src="modulus_x_less_or_equal_to_a.svg" alt="Графическое решение неравенства модуль x меньше или равен a">
							<figcaption>Графическое решение неравенства <i>|x| &le; a (a&ge;0)</i></figcaption>
						</figure>
						<p>
							Но, собственно, как доказать само данное неравенство, и, возвращаясь к исходному &quot;свойству&quot; 14, как доказать его - и притом сделать это быстро, наглядно, логично, ни на что не опираясь. Здесь то и помогает геометрическая интерпретация. Вообще, геометрическое решение неравенств (особенно сложных) можно назвать <i>методом интервалов</i>. Метод интервалов - это метод раскрытия модулей, используя числовую прямую - через визуализацию интервалов (см. <a href="12.html">определение интервала и его обозначения</a>). На самом деле, метод интервалов обозначает немного другое, но об этом не здесь. Данное графическое решение любой может сам вывести, памятуя об определении (геометрической интерпретации) модуля.
						</p>
						<math display="block">
							<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
							<mrow>
								<mtable groupalign="{left}">
									<mtr>
										<mtd><maligngroup/>
											<mfenced open="|" close="|" separators=",">
												<mrow>
													<mi>x</mi>
												</mrow>
											</mfenced>
											<mo>&le;</mo>
											<mi>a</mi>
										</mtd>
									</mtr>
									<mtr>
										<mtd><maligngroup/>
											<mfenced open="{" close=" " separators=",">
												<mrow>
													<mtable>
														<mtr>
															<mtd>
																<mi>x</mi>
																<mo>&le;</mo>
																<mi>a</mi>
															</mtd>
														</mtr>
														<mtr>
															<mtd>
																<mi>x</mi>
																<mo>&geq;</mo>
																<mo>-</mo>
																<mi>a</mi>
															</mtd>
														</mtr>
													</mtable>
												</mrow>
											</mfenced>
										</mtd>
									</mtr>
								</mtable>
							</mrow>
						</math>
						<figure>
							<img src="modulus_x_greater_or_equal_to_a.svg" alt="Графическое решение неравенства модуль x больше или равен a">
							<figcaption>Графическое решение неравенства <i>|x| &ge; a (a&ge;0)</i></figcaption>
						</figure>
						<p>
							Также можно разобрать номер 15, используя числовую прямую. Итак, неравенство <i>|x| &ge; a</i>, <i>a</i> &ge; 0, сводится к совокупности неравенств.
						</p>
						<math display="block">
							<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
							<mrow>
								<mtable groupalign="{left}">
									<mtr>
										<mtd><maligngroup/>
											<mfenced open="|" close="|" separators=",">
												<mrow>
													<mi>x</mi>
												</mrow>
											</mfenced>
											<mo>&geq;</mo>
											<mi>a</mi>
										</mtd>
									</mtr>
									<mtr>
										<mtd><maligngroup/>
											<mfenced open="[" close=" " separators=",">
												<mrow>
													<mtable>
														<mtr>
															<mtd>
																<mi>x</mi>
																<mo>&le;</mo>
																<mo>-</mo>
																<mi>a</mi>
															</mtd>
														</mtr>
														<mtr>
															<mtd>
																<mi>x</mi>
																<mo>&geq;</mo>
																<mi>a</mi>
															</mtd>
														</mtr>
													</mtable>
												</mrow>
											</mfenced>
										</mtd>
									</mtr>
								</mtable>
							</mrow>
						</math>
						<p>Выражения с переменной под модулям всегда неотрицательны (свойство 1), поэтому их можно раскрывать. Например, <i>|x-5| &ge; 7</i>. Тогда раскроем модуль: либо при x&lt;-5 -x+5 &ge; 7, либо при x&ge;-5 x-5 &ge; 7. Для этого и нужна числовая прямая.</p>
						Для модуля <i>|<var>x</var>+a|</i>, где <var>x</var> - переменная, а <i>a</i> - число, можно сделать такую заготовку для &quot;метода интервалов&quot;: иллюстрация есть с подписью &quot;|x+a|&quot;.<br>
						<figure class="center_pic">
							<img src="interval_modulus.svg" alt="Метод интервалов для модулей" class="center_pic">
							<figcaption>|x+a|</figcaption>
						</figure>
					</section>
					<p>
						Тогда для большего количества модулей в неравенстве будет большее количество интервалов &there4; неравенство раскроется с бОльшим количеством случаев.
					</p>
				</section>
			</article>
		</main>
		<footer>
			fedor1113<br/>
			<a href="index.html">К остальным темам</a>
		</footer>
	</body>
</html>