15.html

<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
	<head>
		<meta charset="UTF-8"/>
		<meta name='viewport' content='width=device-width' />
		<link rel="shortcut icon" href="favicon.ico" />
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="57x57" href="apple-touch-icon-57x57.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="60x60" href="apple-touch-icon-60x60.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="72x72" href="apple-touch-icon-72x72.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="76x76" href="apple-touch-icon-76x76.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="114x114" href="apple-touch-icon-114x114.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="120x120" href="apple-touch-icon-120x120.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="144x144" href="apple-touch-icon-144x144.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="152x152" href="apple-touch-icon-152x152.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="180x180" href="apple-touch-icon-180x180.png">
		<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-32x32.png" sizes="32x32">
		<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-194x194.png" sizes="194x194">
		<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-96x96.png" sizes="96x96">
		<link rel="icon" type="image/png" href="android-chrome-192x192.png" sizes="192x192">
		<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-16x16.png" sizes="16x16">
		<link rel="manifest" href="/manifest.json">
		<link rel="mask-icon" href="safari-pinned-tab.svg"><!--color="#5bbad5"-->
		<meta name="apple-mobile-web-app-title" content="SomeBasicMathsNotions">
		<meta name="application-name" content="SomeBasicMathsNotions">
		<meta name="msapplication-TileColor" content="#da532c">
		<meta name="msapplication-TileImage" content="mstile-144x144.png">
		<meta name="theme-color" content="#e0cb5c">
		<title>Алгебра | исследование функций</title>
		<script type="text/x-mathjax-config">
			MathJax.Hub.Config({
				CommonHTML: { linebreaks: { automatic: true } },
				"HTML-CSS": { linebreaks: { automatic: true } },
				SVG: { linebreaks: { automatic: true } }
				});
		</script>
		<script type="text/javascript" src="MathJax/MathJax.js?config=MML_HTMLorMML"></script>
		<link rel="stylesheet" href="normalize.css">
		<link rel="stylesheet" href="main.css">
	</head>
	<body>
		<header>
			<h1><span>&sum;</span>Некоторые алгебраические понятия - определения и работа с ними</h1>
		</header>
		<main>
			<article>
				<h1>Исследование функции: чётность, монотонность, точки экстремума, обратная функция.</h1>
				<section>
					<h2>Исследование функции</h2>
					<p>
						<dfn title="исследование функции">Исследование функции</dfn> - это задача, заключающаяся в определении основных параметров заданной функции. Вообще, это информация, помогающая узнать больше о функции, представить примерно (а затем, может быть, и точно) её график.
					</p>
					<p>
						У функций есть достаточно много интересных свойств, многое говорящих об их природе.
					</p>
				</section>
				<hr>
				<section>
					<p>
						Отдельно следует упомянуть и кратко пояснить основные моменты при любой работе с функциями: всегда в первую очередь следует определить <i>область определения</i> D(x) (в отечественных учебниках для российских школьников обычно обозначается <i>D(y)</i>) и  <i>облать значений</i> E(y).
					</p>
					<p>
						Область определения заданной функции есть множество точек, на котором задаётся функция, в каждой точке которого значение функции должно быть определено. Обозначение: <i>D(x)</i>.
					</p>
					<p>
						Область значений заданной функции есть множество, состоящее из всех значений, которые может принимать функция. Обозначение: <i>E(y)</i>.
					</p>
					<p>
						Одной из наиболее важных задач всегда является нахождение <i>нулей функции</i>: корней уравнения <i>&fnof;(x)=0</i>, где &fnof;(<var>x</var>) - исследуемая функция (мест, где график функции пересекает Ox).
					</p>
					<p>
						Также следует бегло указать, что иногда ищут <i>промежутки знакопостоянства</i> - промежутки, где знак функции не меняется. <dfn title="промежуток знакопостоянства">Промежуток знакопостоянства (обычно интервал)</dfn> – это промежуток, *в каждой точке которого* функция положительна либо отрицательна (см. <a href="12.html">числовые промежутки</a>).
					</p>
					<p>
						Значения функции можно расписать: положительны при значениях аргумента в данных промежутках, отрицательны при значении аргумента в данных промежутках, функция обращается в ноль при аргументе равном... Это тоже важная часть исследования (которую очень удобно делать уже по готовому графику).
					</p>
				</section>
				<section>
					<h2>Чётность</h2>
					<p>
						Чётность/нечётность - это свойство, которым обладают функции. Функции могут быть <i>чётными</i>, <i>нечётными</i>, но основная масса является <i>ни чётными, ни нечётными</i>.
					</p>
					<section>
						<h3>Чётные функции</h3>
						<p>
							<dfn>Чётные функции</dfn> - это функции, у которых противоположным значениям аргумента соответствуют одинаковые значения функции: <i>&fnof;(x)=&fnof;(-x)</i>.
						</p>
						<p>
							Чётные функции обладают рядом важных свойств.
						</p>
						<ol>
							<li>Область определения чётной функции симметрична относительно 0. (Иначе говоря, если <i>x&isin;D(x)</i>, то <i>-x&isin;D(x)</i>)</li>
							<li>&forall;x&isin;D(x) <i>&fnof;(x)=&fnof;(-x)</i> (согласно определению).</li>
							<li>График функции симметричен относительно оси ординат.</li>
						</ol>
						<p>
							Примером чётной функции могут служить <a href="11.html">модульная</a>, <a href="7.html">квадратичная</a>.
						</p>
					</section>
					<section>
						<h3>Нечётные функции</h3>
						<p>
							<dfn>Нечётные функции</dfn> - это функции, у которых значению функции с противоположным аргументом соответствует значение, противоположное функции с изначальным аргументом: <i>&fnof;(-x)=-&fnof;(x)</i>.
						</p>
						<p>
							Нечётные функции (как и чётные) обладают рядом важных свойств.
						</p>
						<ol>
							<li>Область определения нечётной функции симметрична относительно 0. (Иначе говоря, если <i>x&isin;D(x)</i>, то <i>-x&isin;D(x)</i>)</li>
							<li>&forall;x&isin;D(x) <i>&fnof;(-x)=-&fnof;(x)</i> (согласно определению).</li>
							<li>График нечётной функции симметричен относительно начала координат.</li>
						</ol>
						<p>
							Примером нечётной функции будет служить <a href="14.html">функция обратной пропорциональности</a>, <i>кубическая</i> и т.д.
						</p>
					</section>
					<section>
						<h3>Ни чётные, ни нечётные функции</h3>
						<p>
							Зная, что функция является чётной или нечётной, с ней очень приятно и удобно работать. Однако, большинство функций таковыми не являются.
						</p>
						<p>
							<dfn title="ни чётные, ни нечётные функции">Ни чётными, ни нечётными</dfn> являются все остальные функции, не подпадающие под определение чётной и нечётной.
						</p>
						<p>
							Думаю, здесь с примером проблем нет. Например, функция квадратного корня <a href="5.html">здесь уже обсуждалась</a>.
						</p>
					</section>
				</section>
				<section>
					<h2>Монотонность</h2>
					<p>
						График той или иной функции может быть не только симметричным относительно определённой точки или прямой, но также и убывающим или возрастающим. Убывает и возрастает функция на определённых промежутках. Монотонность функции - это её возрастание/убывание на данном промежутке.
					</p>
					<section>
						<h3>Убывание (строгое) на промежутке</h3>
						<p>
							Говорят, функция <i>&fnof;(x)</i> является (строго) убывающей на промежутке <i>X</i>, когда &forall;x<sub>1</sub>&lt;x<sub>2</sub>&isin;<i>X</i> <i>&fnof;(x<sub>2</sub>)-&fnof;(x<sub>1</sub>)&gt;0</i>.
						</p>
					</section>
					<section>
						<h3>Возрастание (строгое) на промежутке</h3>
						<p>
							Говорят, функция <i>&fnof;(x)</i> является (строго) убывающей на промежутке <i>X</i>, когда &forall;x<sub>1</sub>&lt;x<sub>2</sub>&isin;<i>X</i> <i>&fnof;(x<sub>2</sub>)-&fnof;(x<sub>1</sub>)&lt;0</i>.
						</p>
					</section>
					<hr>
					<p>
						Соответственно, также как и чётные/нечётные функции обладают важными и удобными при работе с ними свойствами, так и <i>строго монотонная функция</i> представляет интерес. Строго монотонными называют функции между упорядоченными множествами, которые либо сохраняют, либо инвертируют отношение порядка. У них есть много полезных свойств.
					</p>
					<p>
						На самом деле, при обсуждении монотонных функций можно говорить о более общем понятии просто (а не строго) монотонных функций. Итак, в целом, монотонная функция &fnof; - это функция, приращение которой &Delta;&fnof;=&fnof;(x&prime;)-&fnof;(x) при &Delta;x=x&prime;-x&gt;0 не меняет знака. Ещё лучше, если в дополнение приращение &Delta;&fnof; не равно 0, тогда это и есть наиболее интересная <i>строго возрастающая функция</i>, обсуждающаяся выше.
					</p>
					<p>
						Также следует заметить: если брать типом числового промежутка при определении возрастания/убывания интервал (так обычно и следует делать), то в случае, когда в концах промежутка функция оказывается определённой и непрерывной, концы также можно включить в промежуток - это не противоречит определению возр./уб. на промежутке.
					</p>
					<p>
						За примерами монотонных (строго) функций не нужно далеко ходить: та же функция квадратного корня или совсем элементарная <a href="3.html">y=x</a> - возрастающие, а убывающей будет, например, <i>y=-x</i> (по предыдущей ссылке объясняется почему).
					</p>
					<p>
						И под конец о полезном: строго монотонные функции имеют некоторые свойства (что и так очевидно), помогающие решать уравнения и неравенства. Например, ясно, что график возрастающей/убывающей функции <i>&fnof;(<var>x</var>)</i> может лишь раз пересечь ось абсцисс (не может пересечь её более чем в одной точке), отсюда следует, что уравнение <i>&fnof;(x)=0</i> имеет не более одного действительного корня. Если же этот корень удалось вычислить, то можно без труда решить неравенства <i>&fnof;(x)&lt;</i> и <i>&fnof;(x)&gt;0</i>. Следует отметить, что при неудачной попытке определения точного значения нуля функции (корня) возможно  по <i>теореме Больцано-Коши</i> (<i>о нуле непрерывной функции</i>) найти достаточно узкий отрезок, этот корень содержащий. Также, если имеется уравнение вида <i>h(x)=g(x)&hArr;h(x)-g(x)=0</i>, где y=g(<var>x</var>) и y<sub>1</sub>=h(<var>x</var>) задают возрастающую и убывающую функции от переменной x (<i>y: X&isin;&reals;&rarr;Y&isin;&reals;</i>; <i>y<sub>1</sub>: Z&isin;&reals;&rarr;V&isin;&reals;</i>), то оно тоже, очевидно, имеет в лучшем случае лишь один корень на поле действительных чисел (если, конечно, их области значений и определений, графики вообще пересекаются).
					</p>
				</section>
				<section>
					<h2>Точки экстремума</h2>
					<p>
						<dfn title="экстремум">Экстремум</dfn> (от лат. <i>крайний</i>) - это максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Далее речь пойдёт о локальных экстремумах на заданных промежутках - их у функции может быть любое количество. Точка, в которой достигается экстремум, называется <i>точкой экстремума</i>. Соответственно, существуют точки максимума и минимума. Необходимо также заметить, что функция может и не иметь ни одного локального или абсолютного экстремума.
					</p>
					<section>
						<h3>Минимум</h3>
						<p>
							<i>x<sub>0</sub></i>&isin;D(x) является точкой локального минимума функции <i>&fnof;(x)</i>, если существует такая проколотая окрестность <math display="inline">
								<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
								<mrow>
									<mover>
										<mrow>
											<msub>
												<mi>U</mi>
												<mi>&epsilon;</mi>
											</msub>
										</mrow>
										<mtext>.</mtext>
									</mover>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<msub>
												<mi>x</mi>
												<mn>0</mn>
											</msub>
										</mrow>
									</mfenced>
								</mrow>
							</math>:=<i>[x<sub>0</sub>-&epsilon;;x<sub>0</sub>+&epsilon;]\{x<sub>0</sub>}</i>, для которой верно следующее: &forall;x&isin;<math display="inline">
								<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
								<mrow>
									<mover>
										<mrow>
											<msub>
												<mi>U</mi>
												<mi>&epsilon;</mi>
											</msub>
										</mrow>
										<mtext>.</mtext>
									</mover>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<msub>
												<mi>x</mi>
												<mn>0</mn>
											</msub>
										</mrow>
									</mfenced>
								</mrow>
							</math> <i>&fnof;(x)&gt;&fnof;(x<sub>0</sub>)</i>.
						</p>
					</section>
					<section>
						<h3>Максимум</h3>
						<p>
							<i>x<sub>0</sub></i>&isin;D(x) является точкой локального максимума функции <i>&fnof;(x)</i>, если существует такая проколотая окрестность <math display="inline">
								<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
								<mrow>
									<mover>
										<mrow>
											<msub>
												<mi>U</mi>
												<mi>&epsilon;</mi>
											</msub>
										</mrow>
										<mtext>.</mtext>
									</mover>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<msub>
												<mi>x</mi>
												<mn>0</mn>
											</msub>
										</mrow>
									</mfenced>
								</mrow>
							</math>:=<i>[x<sub>0</sub>-&epsilon;;x<sub>0</sub>+&epsilon;]\{x<sub>0</sub>}</i>, для которой верно следующее: &forall;x&isin;<math display="inline">
								<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
								<mrow>
									<mover>
										<mrow>
											<msub>
												<mi>U</mi>
												<mi>&epsilon;</mi>
											</msub>
										</mrow>
										<mtext>.</mtext>
									</mover>
									<mfenced open="(" close=")" separators=",">
										<mrow>
											<msub>
												<mi>x</mi>
												<mn>0</mn>
											</msub>
										</mrow>
									</mfenced>
								</mrow>
							</math> <i>&fnof;(x)&lt;&fnof;(x<sub>0</sub>)</i>.
						</p>
					</section>
					<hr>
					<p>
						Кроме локальных минимумов и максимумов есть также <i>абсолютные</i> (глобальные), представляющие особый интерес - абсолютный экстремум является максимумом или минимумом не просто для какой-то окрестности, но для всей области определения функции.
					</p>
					<p>
						Далее также следует, конечно, указать, что выше обсуждаются именно строгие экстремумы, но их также можно задать и нестрого (см. <a href="10.html">числовые неравенства</a>).
					</p>
					<p>
						И опять же: знание абсолютных максимумов/минимумов (да и локальных) очень полезно - оно позволяет сразу утверждать о рамках значения функции.
					</p>
				</section>
				<section>
					<h2>Функция, обратная данной</h2>
					<p>
						Теперь, обсудив все характерные и основные моменты исследования функции, можно перейти к достаточно интересному необязательному моменту: для данной функции можно определить <i>обратную</i>.
					</p>
					<figure>
						<img src="Square_root_and_square_of_non-negative_num.svg" alt="Функция квадратного корня, квадратная функция">
						<figcaption>Пример обратной функции. Функция <var>x</var> = &radic;<var>y</var> и обратная ей функция <var>y</var> = <var>x</var>&sup2;, где x&ge;0</figcaption>
					</figure>
					<p>
						<dfn>Обратная функция</dfn> - это функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.
					</p>
					<p>
						<i>Обратная функция</i> должна удовлетворять 3 условиям. Функция <i>g(x)</i> является обратной к функции <i>&fnof;(x)</i> при выполнении следующих условий:
					</p>
					<ol>
						<li>D(g)=E(&fnof;) Область определения g(x) совпадает с областью значений &fnof;(x).</li>
						<li>E(g)=D(&fnof;) Область значений g(x) совпадает с областью определения &fnof;(x).</li>
						<li><i>Если &fnof;(x<sub>0</sub>)=y<sub>0</sub>, то g(y<sub>0</sub>)=x<sub>0</sub></i>. Eсли функция от x даёт y, то обратная ей функция от y даёт x.</li>
					</ol>
					<p>
						Для решения самой задачи нахождения обратной функции необходимо решить уравнение <i>y=&fnof;(x)</i> относительно <i>x</i>. Эту задачу можно решить только для <i>обратимых функций</i>. Если уравнение имеет более чем один корень, то функции, обратной к &fnof;(x) не существует. Таким образом, функция &fnof;(x) обратима на интервале (a;b) тогда и только тогда, когда на этом интервале она взаимно-однозначна.
					</p>
					<p>
						С примером взаимнообратных функций уже можно было столкнутся ещё <a href="5.html">здесь</a>. А вот <a href="7.html">квадратичная функция</a> - не биекция (взаимно-однозначное отображение), поэтому для неё нет обратной. Также функция <i>sin x</i> не является обратимой. А ещё примерами обратимых будет кубическая функция и т.д.
					</p>
					<p>
						Обратную функцию можно обозначить <i>&fnof;<sup>-1</sup></i>.
					</p>
					<p>
						Возвращаясь к задачи нахождения обратной функции, первые два пункта, определяющие основные свойства обратной функции, очень важны - при её нахождении <strong>всегда</strong> следует проверять область определения и область значений.
					</p>
					<p>
						Последнее очень полезное и удобное свойство взаимнообратных функций: пусть &fnof;: X&sub;&reals;&rarr;Y&sub;&reals; - биекция, и тогда пусть &fnof;<sup>-1</sup>: Y&rarr;X - обратная ей функция, тогда графики функций y=&fnof;(x) и y=&fnof;<sup>-1</sup>(x) симметричны относительно прямой y=x.
					</p>
					<p>
						Пожалуй, о пользе обратной функции можно и не говорить: возможность обратить зависимость часто бывает очень полезна или даже необходима. Также обратные функции можно использовать, чтобы решать уравнения вида <i>y=&fnof;(x)</i>, где &fnof;(<var>x</var>) - обратимая функция.
					</p>
				</section>
			</article>
		</main>
		<footer>
			fedor1113<br/>
			<a href="index.html">К остальным темам</a>
		</footer>
	</body>
</html>