5.html

<!DOCTYPE html>
<html lang="ru">
	<head>
		<meta charset="UTF-8"/>
		<meta name='viewport' content='width=device-width' />
		<link rel="shortcut icon" href="favicon.ico" />
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="57x57" href="apple-touch-icon-57x57.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="60x60" href="apple-touch-icon-60x60.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="72x72" href="apple-touch-icon-72x72.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="76x76" href="apple-touch-icon-76x76.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="114x114" href="apple-touch-icon-114x114.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="120x120" href="apple-touch-icon-120x120.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="144x144" href="apple-touch-icon-144x144.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="152x152" href="apple-touch-icon-152x152.png">
		<link rel="apple-touch-icon" sizes="180x180" href="apple-touch-icon-180x180.png">
		<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-32x32.png" sizes="32x32">
		<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-194x194.png" sizes="194x194">
		<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-96x96.png" sizes="96x96">
		<link rel="icon" type="image/png" href="android-chrome-192x192.png" sizes="192x192">
		<link rel="icon" type="image/png" href="favicon-16x16.png" sizes="16x16">
		<link rel="manifest" href="/manifest.json">
		<link rel="mask-icon" href="safari-pinned-tab.svg"><!--color="#5bbad5"-->
		<meta name="apple-mobile-web-app-title" content="SomeBasicMathsNotions">
		<meta name="application-name" content="SomeBasicMathsNotions">
		<meta name="msapplication-TileColor" content="#da532c">
		<meta name="msapplication-TileImage" content="mstile-144x144.png">
		<meta name="theme-color" content="#e0cb5c">
		<title>Алгебра | свойства квадратного корня и квадратичная функция</title>
		<script type="text/x-mathjax-config">
			MathJax.Hub.Config({
				CommonHTML: { linebreaks: { automatic: true } },
				"HTML-CSS": { linebreaks: { automatic: true } },
				SVG: { linebreaks: { automatic: true } }
				});
		</script>
		<script type="text/javascript" src="MathJax/MathJax.js?config=MML_HTMLorMML"></script>
		<link rel="stylesheet" href="normalize.css">
		<link rel="stylesheet" href="main.css">
	</head>
	<body>
		<header>
			<h1><span>&sum;</span>Некоторые алгебраические понятия - определения и работа с ними</h1>
		</header>
		<main>
			<article>
				<h1>Квадратный корень из произведения, дроби и степени. Вынесение множителя из-под знака корня, внесение под знак корня. Функция y = &radic;x и её график</h1>
				<section>
					<h2>Арифметический квадратный корень</h2>
					<figure>
						<img src="Square_root_function.svg" alt="График функции арифметического квадратного кореня">
						<figcaption>График функции арифметического квадратного корня - <var>y</var> = &radic;<var>x</var></figcaption>
					</figure>
					В ходе этой темы под квадратным корнем будет всегда подразумеваться лишь арифметический, если не указано обратное (<a href="4.html">узнать больше о квадратном корне и тонкостях его точного определения</a>).
				</section>
				<section>
					<h2>Свойства квадратного корня</h2>
					<p>При работе с квадратным корнем можно пользоваться его определёнными свойствами, перечисленными ниже.</p>
					<section>
						<h3>Теорема 1</h3>
						<p>
							Квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению квадратных корней из этих множителей (множителей может быть любое число).
							<math display="inline">
								<mrow>
									<msqrt>
										<mi>a</mi>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>b</mi>
									</msqrt>
									<mo>=</mo>
									<msqrt>
										<mi>a</mi>
									</msqrt>
									<mo>&times;</mo>
									<msqrt>
										<mi>b</mi>
									</msqrt>
									<mspace width="0.5em" />
									<mo>&forall;</mo>
									<mi>a</mi>
									<mo>&geq;</mo>
									<mn>0</mn>
									<mtext>,</mtext>
									<mspace width="0.5em" />
									<mi>b</mi>
									<mo>&geq;</mo>
									<mn>0</mn>
								</mrow>
							</math>. Из доказательства очевидно, что его можно легко расширить, и свойство является частным случаем свойства арифметического корня n-ой степени - решения уравнения <i>x<sup>n</sup>=a</i> (в целом, тоже верно и для второго и третьего свойства).
						</p>
						Доказательство (для удобства возьмём два множителя, хотя то же верно для любого количества).<br>
						<math display="block">
							<mrow>
								<mo>&#x25FD;</mo>
								<msup>
									<mrow>
										<mfenced open="(" close=")" separators=",">
											<mrow>
												<msqrt>
													<mi>a</mi>
												</msqrt>
												<mo>&times;</mo>
												<msqrt>
													<mi>b</mi>
												</msqrt>
											</mrow>
										</mfenced>
									</mrow>
									<mn>2</mn>
								</msup>
								<mo>=</mo>
								<msup>
									<mrow>
										<mfenced open="(" close=")" separators=",">
											<mrow>
												<msqrt>
													<mi>a</mi>
												</msqrt>
											</mrow>
										</mfenced>
									</mrow>
									<mn>2</mn>
								</msup>
								<mo>&times;</mo>
								<msup>
									<mrow>
										<mfenced open="(" close=")" separators=",">
											<mrow>
												<msqrt>
													<mi>b</mi>
												</msqrt>
											</mrow>
										</mfenced>
									</mrow>
									<mn>2</mn>
								</msup>
								<mo>=</mo>
								<mi>a</mi>
								<mo>&InvisibleTimes;</mo>
								<mi>b</mi>
								<mo>&#x25FD;</mo>
							</mrow>
						</math>
					</section>
					<section>
						<h3>Теорема 2</h3>
						<p>
							Квадратный корень из дроби с неотрицательным числителем и положительным знаменателем равен частному от деления квадратного корня из числителя на квадратный корень из знаменателя.
							<math display="inline">
								<mrow>
									<msqrt>
										<mfrac>
											<mrow>
												<mi>a</mi>
											</mrow>
											<mrow>
												<mi>b</mi>
											</mrow>
										</mfrac>
									</msqrt>
									<mo>=</mo>
									<mfrac>
										<mrow>
											<msqrt>
												<mi>a</mi>
											</msqrt>
										</mrow>
										<mrow>
											<msqrt>
												<mi>b</mi>
											</msqrt>
										</mrow>
									</mfrac>
								</mrow>
							</math>
							(Конечно, подразумевается, что а&ge;0 и b&gt;0; однако, важно помнить, что b именно строго больше 0, а иначе дробь не будет иметь смысла, т.к. деление на ноль не определено).
						</p>
						Доказательство (конечно, мы опять берём существующую положительную дробь, чтобы выражение имело смысл).
						<math display="block">
							<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
							<mrow>
								<mo>&#x25FD;</mo>
								<msup>
									<mrow>
										<mfenced open="(" close=")" separators=",">
											<mrow>
												<msqrt>
													<mfrac>
														<mrow>
															<mi>a</mi>
														</mrow>
														<mrow>
															<mi>b</mi>
														</mrow>
													</mfrac>
												</msqrt>
											</mrow>
										</mfenced>
									</mrow>
									<mn>2</mn>
								</msup>
								<mo>=</mo>
								<mfrac>
									<mrow>
										<mi>a</mi>
									</mrow>
									<mrow>
										<mi>b</mi>
									</mrow>
								</mfrac>
								<mspace width="0.5em" />
								<mtext>и</mtext>
								<mspace width="0.5em" />
								<msup>
									<mrow>
										<mfenced open="(" close=")" separators=",">
											<mrow>
												<mfrac>
													<mrow>
														<msqrt>
															<mi>a</mi>
														</msqrt>
													</mrow>
													<mrow>
														<msqrt>
															<mi>b</mi>
														</msqrt>
													</mrow>
												</mfrac>
											</mrow>
										</mfenced>
									</mrow>
									<mn>2</mn>
								</msup>
								<mo>=</mo>
								<mfrac>
									<mrow>
										<msup>
											<mrow>
												<mfenced open="(" close=")" separators=",">
													<mrow>
														<msqrt>
															<mi>a</mi>
														</msqrt>
													</mrow>
												</mfenced>
											</mrow>
											<mn>2</mn>
										</msup>
									</mrow>
									<mrow>
										<msup>
											<mrow>
												<mfenced open="(" close=")" separators=",">
													<mrow>
														<msqrt>
															<mi>b</mi>
														</msqrt>
													</mrow>
												</mfenced>
											</mrow>
											<mn>2</mn>
										</msup>
									</mrow>
								</mfrac>
								<mo>=</mo>
								<mfrac>
									<mrow>
										<mi>a</mi>
									</mrow>
									<mrow>
										<mi>b</mi>
									</mrow>
								</mfrac>
								<mo>&rArr;</mo>
								<msqrt>
									<mfrac>
										<mrow>
											<mi>a</mi>
										</mrow>
										<mrow>
											<mi>b</mi>
										</mrow>
									</mfrac>
								</msqrt>
								<mo>=</mo>
								<mfrac>
									<mrow>
										<msqrt>
											<mi>a</mi>
										</msqrt>
									</mrow>
									<mrow>
										<msqrt>
											<mi>b</mi>
										</msqrt>
									</mrow>
								</mfrac>
								<mo>&#x25FD;</mo>
							</mrow>
						</math>
					</section>
					<section>
						<h3>Теорема 3</h3>
						<p>
							При любом значении a и натуральном k верно равенство
							<math display="inline">
								<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
								<mrow>
									<msqrt>
										<msup>
											<mi>a</mi>
											<mrow>
												<mn>2</mn>
												<mo>&InvisibleTimes;</mo>
												<mi>k</mi>
											</mrow>
										</msup>
									</msqrt>
									<mo>=</mo>
									<mfenced open="|" close="|" separators=",">
										<mrow>
											<msup>
												<mi>a</mi>
												<mi>k</mi>
											</msup>
										</mrow>
									</mfenced>
								</mrow>
							</math>
						</p>
						Доказательсво. Пусть <var>k</var>=0 для начала, докажем
						<math display="inline">
							<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
							<mrow>
								<msqrt>
									<msup>
										<mi>a</mi>
										<mn>2</mn>
									</msup>
								</msqrt>
								<mo>=</mo>
								<mfenced open="|" close="|" separators=",">
									<mrow>
										<mi>a</mi>
									</mrow>
								</mfenced>
							</mrow>
						</math>
						Это очевидно верно, так как арифметический корень не может быть отрицательным. Применим данное тождество (полезное часто при извлечении корня из выражений с переменными и т.д.) к
						<math display="inline">
							<mrow>
								<msqrt>
									<msup>
										<mi>a</mi>
										<mrow>
											<mn>2</mn>
											<mo>&InvisibleTimes;</mo>
											<mi>k</mi>
										</mrow>
									</msup>
								</msqrt>
							</mrow>
						</math>
						, где k &isin; &#8469;, получим:
						<math display="block">
							<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
							<mrow>
								<mo>&#x25FD;</mo>
								<msqrt>
									<msup>
										<mi>a</mi>
										<mrow>
											<mn>2</mn>
											<mi>k</mi>
										</mrow>
									</msup>
								</msqrt>
								<mo>=</mo>
								<msqrt>
									<msup>
										<mrow>
											<mfenced open="(" close=")" separators=",">
												<mrow>
													<msup>
														<mi>a</mi>
														<mi>k</mi>
													</msup>
												</mrow>
											</mfenced>
										</mrow>
										<mn>2</mn>
									</msup>
								</msqrt>
								<mo>=</mo>
								<mfenced open="|" close="|" separators=",">
									<mrow>
										<msup>
											<mi>a</mi>
											<mi>k</mi>
										</msup>
									</mrow>
								</mfenced>
								<mo>&#x25FD;</mo>
							</mrow>
						</math>
					</section>
					Ещё одно свойство или скорее теорема, связанная с неравенствами, рассматривается на <a href="6.html">этой странице</a>.
				</section>
				<section>
					<h3>О некоторых других свойствах арифметических корней</h3>
					<p>
						Надо отметить, что для арифметических корней n-ой степени будет также верно следующее: <math display="inline">
							<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
							<mrow>
								<mroot>
									<mrow>
										<mroot>
											<mrow>
												<mi>x</mi>
											</mrow>
											<mrow>
												<mi>m</mi>
											</mrow>
										</mroot>
									</mrow>
									<mrow>
										<mi>n</mi>
									</mrow>
								</mroot>
								<mo>=</mo>
								<mroot>
									<mrow>
										<mi>x</mi>
									</mrow>
									<mrow>
										<mi>n</mi>
										<mo>&InvisibleTimes;</mo>
										<mi>m</mi>
									</mrow>
								</mroot>
							</mrow>
						</math>, поэтому <math display="inline">
							<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
							<mrow>
								<msqrt>
									<msqrt>
										<mi>x</mi>
									</msqrt>
								</msqrt>
								<mo>=</mo>
								<mroot>
									<mrow>
										<mi>x</mi>
									</mrow>
									<mrow>
										<mn>4</mn>
									</mrow>
								</mroot>
							</mrow>
						</math> (что является достаточно интуитивным). Расширить все выше приведённые доказательства для корней n-ой степени нетрудно, но они для упрощения здесь специально не берутся.
					</p>
				</section>
				<section>
					<h2>Вынесение и внесение множителя из-под и под знак корня</h2>
					<p>
						Кроме перечисленных выше и нескольких очевидных операций из-под знака корня можно выносить числа, переменные и т.д. Это можно делать, используя первую теорему для выделения множителя, который является квадратом. Пример:
						<math display="inline">
							<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
							<mrow>
								<msqrt>
									<mn>8</mn>
								</msqrt>
								<mo>=</mo>
								<msqrt>
									<msup>
										<mn>2</mn>
										<mn>3</mn>
									</msup>
								</msqrt>
								<mo>=</mo>
								<msqrt>
									<msup>
										<mn>2</mn>
										<mn>2</mn>
									</msup>
									<mo>&times;</mo>
									<mn>2</mn>
								</msqrt>
								<mo>=</mo>
								<msqrt>
									<msup>
										<mn>2</mn>
										<mn>2</mn>
									</msup>
								</msqrt>
								<mo>&times;</mo>
								<msqrt>
									<mn>2</mn>
								</msqrt>
								<mo>=</mo>
								<mn>2</mn>
								<msqrt>
									<mn>2</mn>
								</msqrt>
							</mrow>
						</math>.
					</p>
					<p>
						Как уже было выяснено, можно выносить множители из-под корня, но, конечно, существует и обратное действие - внесение множителей под корень. Пример:
						<math display="inline">
							<!--  Created with FireMath www.firemath.info  -->
							<mrow>
								<mn>3</mn>
								<mo>&times;</mo>
								<msqrt>
									<mn>5</mn>
								</msqrt>
								<mo>=</mo>
								<msqrt>
									<msup>
										<mn>3</mn>
										<mn>2</mn>
									</msup>
								</msqrt>
								<mo>&times;</mo>
								<msqrt>
									<mn>5</mn>
								</msqrt>
								<mo>=</mo>
								<msqrt>
									<mn>9</mn>
									<mo>&times;</mo>
									<mn>5</mn>
								</msqrt>
								<mo>=</mo>
								<msqrt>
									<mn>4</mn>
									<mn>5</mn>
								</msqrt>
							</mrow>
						</math>
					</p>
				</section>
				<section>
					<h2>Функция y=&radic;x</h2>
					<figure>
						<img src="Wikimedia/Square_root_function_with_two_values.svg" alt="Wikipedia square root function graph">
						<figcaption>График квадратного корня (не арифметического) или функции квадратного корня f(x) и противоположной ей функции -f(x) из <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Function_with_two_values_1.svg">Wikimedia Commons</a>, добавленный, чтобы показать всю параболу</figcaption>
					</figure>
					Функция квадратного корня
					<math display="inline">
						<mrow>
							<mi>f</mi><mo>&ApplyFunction;</mo>
							<mfenced open="(" close=")" separators=",">
								<mrow>
									<mi>x</mi>
								</mrow>
							</mfenced>
							<mo>=</mo>
							<msqrt>
								<mi>x</mi>
							</msqrt>
						</mrow>
					</math>
					есть на графике сверху страницы, является элементарной функцией. Квадратный корень из x имеет смысл при любом неотрицательном значении x &there4; любому неотрицательному числу соответствует единственное значение выражения. Значит, очевидно, y=&radic;x задаёт функцию. Быстро возрастает до 0.5, потом медленнее. По сути, является половиной параболы, повёрнутой на 90&deg; (см. график рядом). Поэтому её график тесно связан с графиком функции y = x&sup2;, где x&ge;0. На графике ниже показана функция квадратного корня и связанные с ней.<br>
					Область определения: D(x)=[0; +&infin;) - в русских учебниках область определения записывается D(f).<br>
					Область значений: E(f)=[0; +&infin;).<br>
					Функция <i>f(x)</i> является монотонной - строго возрастающей. Точкой абсолютного минимума <i>f(x)</i> является 0. Нужно добавить, что в противовес квадратичной функции <i>y=<var>x</var>&sup2;</i>, функция квадратного корня является субаддитивной - значение функции от суммы элементов всегда меньше либо равна сумме значений функции, применённой к каждому элементу по отдельности: <i>&radic;(<var>x</var>+<var>y</var>) &le; &radic;x + &radic;y</i>.<br>
					<figure class="center_pic">
						<img src="Square_root_and_square_of_non-negative_num.svg" alt="Функция квадратного корня, квадратная функция">
						<figcaption>Функция <var>x</var> = &radic;<var>y</var> и функция <var>y</var> = <var>x</var>&sup2;</figcaption>
					</figure>
				</section>
			</article>
		</main>
		<footer>
			fedor1113<br/>
			<a href="index.html">К остальным темам</a>
		</footer>
	</body>
</html>