exercises.tex

\documentclass[ngerman,11pt]{scrartcl}

\subject   {CdE-MusikAkademie 2024}
\title     {Theorie der reinen Intonation}
\author    {Thomas Drögemüller\and Florian Kranhold}
\subtitle  {Aufgaben}

\input{preamble}

\usepackage{scrlayer-scrpage}
\lohead{T. Drögemüller, F. Kranhold}
\cohead{}
\rohead{Theorie der reinen Intonation}
\pagestyle{scrheadings}

\begin{document}

\maketitle

\section{Einleitung und Überblick}

\begin{aufg}
  Bringe Dein Rechengerät dazu, folgende Ergebnisse zu berechnen:
  \begin{align*}
    \log_2(\tfrac54) &\approx 0{,}322,\\
    2^{\frac{11}{12}} &\approx 1{,}887.
  \end{align*}
  [\emph{Hinweis:} Zu welcher Basis auch immer der Befehl \texttt{log} den Logarithmus
  berechnet, \texttt{log(...)/log(2)} berechnet den Logarithmus zur Basis $2$.]
\end{aufg}

\begin{aufg}
  Berechne die Frequenzen folgender Töne in gleichstufiger Stimmung: fis’’, E,
  b, des’ und cis’’.
\end{aufg}

\begin{aufg}
  Finde Intervalle, deren Frequenzverhältnis in gleichstufiger Stimmung nah an
  folgenden Brüchen sind: $\frac43$, $\frac65$, $\frac53$, $\frac98$,
  $\frac{15}8$. Gib jeweils den Unterschied zwischen gleichstufigem
  Frequenzverhältnis und dem entsprechenden Bruch in ct an.
\end{aufg}

\begin{aufg}
  Finde ein ganzzahliges Verhältnis $a:b:c$, das einem gleichstufigen
  Molldreiklang sehr nahe kommt.
\end{aufg}

\section{Reine Quinten und die pythagoreische Stimmung}

\begin{aufg}
  Berechne das Frequenzverhältnis einer übermäßigen Sekunde (also
  z.\,B. f\,:\,\sharp g) in pythagoreischer Stimmung (sowohl als Bruch als auch
  in ct). Vergleiche Dein Ergebnis mit dem Verhältnis für eine kleine Terz
  (Tabelle 1 im Skript).
\end{aufg}

\begin{aufg}
  Fülle die folgende Tabelle weiter aus:
  \begin{center}
    \renewcommand{\arraystretch}{1.3}
    \begin{tabular}{lrrr}
      \toprule
      & gleichst. Frequenz [Hz] & pyth. Frequenz [Hz] & Unterschied [Grad]\\
      \midrule
      \flat a’ & $415{,}30$ & $412{,}03$ & $-7$\\
      \sharp g’ & $415{,}30$ & $417{,}66$ & $+5$\\
      \flat a  &  & & \\
      c & &&\\
      a’’ &&&\\
      \sharp c’’ &&&\\
      \flat d’ &&&\\
      \bottomrule
    \end{tabular}
  \end{center}
  Hierbei muss für die letzte Spalte keine Rechenhilfe verwendet werden.  Einige
  andere Einträge dieser Tabelle lassen sich ebenfalls durch reines Überlegen und von
  Hand durchführbare Rechnungen füllen.
\end{aufg}

\begin{aufg}
  Finde einen Ton, der mit \dsharp c enharmonisch verwechselt werden könnte
  (also: „die gleiche Taste auf dem Klavier beschreibt“), aber in
  pythagoreischer Stimmung ungefähr einen gleichstufigen Viertelton (also $50\ct$)
  tiefer intoniert wird.
\end{aufg}

\section{Dreiklänge und das Eulersche Tonnetz}

\begin{aufg}
  Trage in das untenstehende Tonnetz (in das wir die Tonika T schon
  eingetragen haben) folgende weiteren Funktionen ein:
  \begin{enumerate}[itemsep=0em]
  \item die Subdominante S,
  \item die Dominante D,
  \item die Subdominantparallele Sp,
  \item die Tonikaparallele Tp,
  \item die Doppeldominante \raisebox{1.5px}{D}\kern-5.5px D,
  \item die Tonikavariante t,
  \item die Subdominantvariante s,
  \item die Zwischendominante zur Subdominantparallele (D)\textsubscript{[Sp]},
  \item die Variante der Tonikaparallele TP.
  \end{enumerate}
  
  \begin{center}
    \begin{tikzpicture}[scale=.9]
      \draw (-2,0) -- (6,0);
      \draw (-1,{sqrt(3)}) -- (5,{sqrt(3)});
      \draw (-3,{-sqrt(3)}) -- (5,{-sqrt(3)});
      \draw (-1,{sqrt(3)}) -- (1,{-sqrt(3)});
      \draw (-1,{-sqrt(3)}) -- (1,{sqrt(3)});
      \draw (-2,0) -- (-1,{-sqrt(3)});
      \draw (-3,{-sqrt(3)}) -- (-1,{sqrt(3)});
      \draw (3,{sqrt(3)}) -- (1,{-sqrt(3)});
      \draw (3,{-sqrt(3)}) -- (1,{sqrt(3)});
      \draw (3,{-sqrt(3)}) -- (5,{sqrt(3)});
      \draw (3,{sqrt(3)}) -- (5,{-sqrt(3)});
      \node at (1,-.7) {T};
      \draw (5,{-sqrt(3)}) -- (6,0) -- (5,{sqrt(3)});
      \draw (-3,{-sqrt(3)}) -- (-2,{-2*sqrt(3)}) -- (2,{-2*sqrt(3)}) -- (3,{-sqrt(3)});
      \draw (-2,{-2*sqrt(3)}) -- (-1,{-sqrt(3)}) -- (0,{-2*sqrt(3)}) -- (1,{-sqrt(3)}) -- (2,{-2*sqrt(3)});
      \draw[fill=white] (-2,0) circle (.32);
      \draw[fill=white] (0,0) circle (.32);
      \draw[fill=white] (2,0) circle (.32);
      \draw[fill=white] (4,0) circle (.32);
      \draw[fill=white] (6,0) circle (.32);
      \draw[fill=white] (-1,{sqrt(3)}) circle (.32);
      \draw[fill=white] (1,{sqrt(3)}) circle (.32);
      \draw[fill=white] (3,{sqrt(3)}) circle (.32);
      \draw[fill=white] (5,{sqrt(3)}) circle (.32);
      \draw[fill=white] (-3,{-sqrt(3)}) circle (.32);
      \draw[fill=white] (-1,{-sqrt(3)}) circle (.32);
      \draw[fill=white] (1,{-sqrt(3)}) circle (.32);
      \draw[fill=white] (3,{-sqrt(3)}) circle (.32);
      \draw[fill=white] (5,{-sqrt(3)}) circle (.32);
      \draw[fill=white] (-2,{-2*sqrt(3)}) circle (.32);
      \draw[fill=white] (0,{-2*sqrt(3)}) circle (.32);
      \draw[fill=white] (2,{-2*sqrt(3)}) circle (.32);
    \end{tikzpicture}
  \end{center}%
  [\emph{Hinweis:} Es könnte helfen, sich für eine Tonart zu entscheiden und in
  die Knoten die entsprechenden Töne zu schreiben. Dafür gibt es auch die großen
  Kreise.]
\end{aufg}

\begin{aufg}
  Trage in folgenden Satz Helmholtz-Ellis-Zeichen ein, um die Akkorde gemäß
  ihrer Funktion rein auszustimmen:
  \begin{center}
    \LY{e-HE}\\[-\baselineskip]
    \includegraphics{ly/e-HE}
  \end{center}
\end{aufg}

\wrap{\enlargethispage{\baselineskip}}

\begin{aufg}
  Prüfe folgenden Satz auf Kommafallen und gib an, an welchen Stellen eine
  Stimme „nachjustieren“ muss:
  \begin{center}
    \LY{e-drift}\\[-\baselineskip]
    \includegraphics{ly/e-drift}
  \end{center}
  Wäre ein rein intonierendes Ensemble, das die Kommafallen nicht beachtet, am
  Ende dieses Abschnitts gesunken oder gestiegen? Wenn ja, um wie viel ct?
\end{aufg}

\section{Die melodische Perspektive}

\begin{aufg}
  Benenne in folgendem Beispiel alle bei reiner Intonation auftretenden Schritte
  in der Oberstimme (wir haben Kommafallen schonmal vorgemerkt):
  \begin{center}
    \LY{e-steps}\\[-\baselineskip]
    \includegraphics{ly/e-steps}
  \end{center}%
  % [\emph{Hinweis:} Die zur Umgehung von Kommafallen notwendigen Anpassungen
  % haben wir der Einfachheit halber schonmal eingetragen.]
\end{aufg}

\begin{aufg}
  Stimme in nachfolgendem Beispiel (bei dem die Akkorde selbst schon ausgestimmt
  sind) die Zwischennoten:
  \begin{center}
    \LY{e-inter}\\[-\baselineskip]
    \includegraphics{ly/e-inter}
  \end{center}%
\end{aufg}

\section{Komplexere Akkorde}

\begin{aufg}
  Stimme folgenden Chorsatz (\emph{Herzliebster Jesu, was hast du verbrochen}
  aus Bachs Johannespassion, \acr{BWV} 245) aus:
  \begin{center}
    \LY{e-bach}\\[-\baselineskip]
    \includegraphics{ly/e-bach}
  \end{center}%
\end{aufg}

\section{Naturseptimen}

\begin{aufg}
  Findet jemand in obigem Bachchoral eine Stelle, an der sich eine Naturseptime
  anböte? Wir haben keine entdeckt.
\end{aufg}

\appendix

\section{Das kleinste gemeinsame Vielfache als Maß}

\begin{aufg}Wir wollen uns um das kgV des Sixte ajoutées in Moll kümmern:
  \begin{enumerate}
  \item[(a)] Berechne das kgV des Sixte ajoutée in Moll.
  \item[(b)] Vergleiche Dein Ergebnis mit dem kgV des Septakkords. Was fällt auf?
  \item[(c)] Wie sieht das Frequenzverhältnis des Sixte ajoutée in Moll aus,
    wenn die Sexte im Bass liegt? Was ist dann das kgV?
  \item[(d)] Vergleiche Dein Ergebnis aus (c) erneut mit dem kgV des
    Septakkords.
  \item[(e)] Erkläre Deine Ergebnisse aus (b) und (d) anhand von Noten.
  \end{enumerate}
\end{aufg}


\end{document}