differentialrRFkt.tex

\section {Motivation der Differentialrechnung}
Ziel der Differentialrechnung ist, möglichst viele Aussagen über das Verhalten einer Funktion zu machen. Dazu gehört zum Beispiel das Bestimmen von Extremstellen der Funktion.\\
Die Differentialrechnung bedient sich dazu dem Mittel der \emph{Ableitung}, die das Steigungsverhalten der Funktion beschreibt. Die Ableitung $f'(x_0)$ der Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ ist genau gleich der Steigung der Tangenten am Graphen der Funktion $f$ am Punkt $x_0$. Wie wir diese Steigung ermitteln haben wir in Jahrgangsstufe 11 gelernt (vgl. \emph{Differenzenquotienten})\\
Als Begründer der Differentialrechnung gelten im Übrigen sowohl \textsc{Isaac Newton} (1642-1727) als auch \textsc{Gottfried Wilhelm Leibniz} (1646-1716). Die heutige Definition der Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigungen geht jedoch auf \textsc{Augustin Louis Cauchy} (1789-1857) zurück.


\section {Differenzierbarkeit von Funktionen}
Jeder Punkt auf dem Graphen von $f$ muss eine \emph{eindeutige} Tangente haben. \\
Mathematisch bedeutet dies, dass
\begin{equation*}
\lim_{x\nearrow x_0} \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \right) = \lim_{x\searrow x_0} \left( \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \right)
\end{equation*}
gelten muss, wobei darauf zu achten ist, dass die beiden Grenzwerte auch existieren.
\begin{bsp}
Polynome sind differenzierbare Funktionen. Ein Beispiel für eine nicht differenzierbare Funktion liefert $f(x) = |x|$, denn diese Funktion hat in $0$ keine eindeutige Tangente.
\begin{figure}[h]
	\centering
		\includegraphics[width=0.50\textwidth]{abbildungen/abs(x).jpeg}
	\caption{$f(x) = |x|$}
	\label{fig:abs(x)}
\end{figure}
\end{bsp}
Erste Regel für die Ableitungsfunktion: 
\begin{equation*}
f(x)=x^n \rightarrow f'(x) = n \cdot x^{n-1}
\end{equation*}
Mit dieser Regel kann man Polynomfunktionen ableiten, denn es gilt zusätzlich:
\begin{equation*}
(u(x)+v(x))' = u'(x) + v'(x)
\end{equation*}
\begin{bsp}
Die Ableitung der Funktion $f(x) = x^3 + 2x^2 + 4x -1$ lautet $f'(x) = 3x^2 + 4x + 4$.
\end{bsp}

\section {Eigenschaften einer Funktion}
\begin{itemize}
	\item Verhalten von $f$ für $ x \rightarrow \pm \infty $
	\item Nullstellen
	\item Monotonieverhalten
	\item	Extrema
	\item Wendepunkte
	\item Symmetrieverhalten
\begin{itemize}
	\item Nullpunktsymmetrie
	\item y-Achsensymmetrie
\end{itemize}
\end{itemize}

\section {Vollständige Kurvendiskussion einer Ganz-Rationalen Funktion}
\begin{enumerate}
	\item Definitionsmenge\index{Definitionsmenge}, Differenzierbarkeit
	\item Ableitungen bilden
	\item Symmetrieverhalten \\
	Nullpunktsymmetrie: $ f(-x) = -f(x) $ \\
	y-Achsensymmetrie: $ f(-x) = f(x) $
	\item Verhalten für $ x \rightarrow \pm \infty $
	\item Nullstellen ($f(x) = 0$)
	\item Extrema (lokale) \\
	notwendige Bedingung: $ f'(x) = 0 $ \\
	hinreichende Bedingug: $f'(x) = 0 \land f''(x) \neq 0 $ \\
	a) $ f'(x_E) = 0 \land f''(x_E) < 0 \rightarrow $ in $x_E$ liegt ein HOP \\
	b) $ f'(x_E) = 0 \land f''(x_E) > 0 \rightarrow $ in $x_E$ liegt ein TIP
	\item Wendepunkte
	notwendige Bedingung: $f''(x) = 0$ \\
	hinreichende Bedingung: $f''(x) = 0 \land f'''(x) \neq 0$ \\
	a) $ f''(x_W) = 0 \land f'''(x_W) < 0 \rightarrow$  in $x_W$ liegt ein L-R Wendepunkt vor. \\
	b) $ f''(x_W) = 0 \land f'''(x_W) > 0 \rightarrow$  in $x_W$ liegt ein R-L Wendepunkt vor.
	\item Wertetabelle
	\item Graph
\end{enumerate}

\begin{bsp}[Diskussion der Funktion $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2$]
Wir diskutieren hier als Beispiel die Funktion $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2$ nach obigen Schema.
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Definitionsmenge} und \textbf{Diffbarkeit}: $D = \mathbb{R}$, da $f$ ein ganz-rationales Polynom, daher ist $f$ auch auf dem gesamten Definitionsbereich differenzierbar.
		\item \textbf{Ableitungen} bilden:
			\begin{align*}
				&f'(x) = x^2 + x\\
				&f''(x) = 2x+1\\ 
				&f'''(x) = 2
			\end{align*}
		\item \textbf{Symmetrie:} Das Polynom enthält sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von x $\Rightarrow$ keine Aussagen über Symmetrie möglich.
		\item \textbf{Nullstellen:}
			\begin{align*}
				&f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 = x^2 \left(\frac{1}{3} x + \frac{1}{2}\right) \\
				\Rightarrow &f(x) = 0 \\
				\Leftrightarrow &x = 0 \vee \frac{1}{3} x + \frac{1}{2} = 0 \\
				\Leftrightarrow &x=0 \vee x = -\frac{3}{2}
			\end{align*}
			Die Nullstellen sind also $x_{N_1} = 0$ und $x_{N_2} = - \frac{3}{2}$.
		\item \textbf{Verhalten gegen $\pm \infty$:}\\
			\begin{align*}
				\lim_{x\to \infty} f(x) = + \infty\\
				\lim_{x\to - \infty} f(x) = - \infty
			\end{align*}
		\item \textbf{Extremstellen:}\\
			(1) notwendige Bedingung: $f'(x) = 0$\\
			(2) hinreichende Bedingung: $f''(x) \neq 0$\\
			zu (1):
			\begin{align*}
				f'(x) = 0 &\Leftrightarrow x^2 + x = 0\\
				&\Leftrightarrow x(x+1) = 0\\
				&\Leftrightarrow x=0 \vee x=-1
			\end{align*}
			zu (2):
			\begin{align*}
				f''(0) = 1 > 0 \Rightarrow \textrm{in $x=0$ liegt ein lokales Minimum}\\
				f''(-1) = -1 <0 \Rightarrow \textrm{in $x=-1$ liegt ein lokales Maximum}
			\end{align*}
		\item \textbf{Wendestellen:}\\
			(1) notwendige Bedingung: $f''(x) = 0$\\
			(2) hinreichende Bedingung: $f'''(x) \neq 0$\\
			zu (1):
			\begin{align*}
				f''(x) = 0 &\Leftrightarrow 2x + 1 = 0\\
				&\Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}
			\end{align*}
			zu (2):
			\begin{align*}
				f'''\left(-\frac{1}{2}\right) = 2 >0 \Rightarrow \textrm{in $x = - \frac{1}{2}$ liegt ein Rechts-Links-Wendepunkt.}
			\end{align*}
		\item \textbf{Wertetabelle:}\\
			\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c}
				$x$ & $-\frac{3}{2}$ & $0$ & $-1$ & $-\frac{1}{2}$ & $1$ \\
				\hline
				$f(x)$ & $0$ & $0$ & $\frac{1}{6}$&$\frac{1}{12}$&$\frac{5}{6}$\\
				\hline
				&Nst&Nst, Min& Max & WEP &
			\end{tabular}
		\item \textbf{Graph:}\\	
\begin{figure}[h]
	\centering
		\includegraphics[width=0.50\textwidth]{abbildungen/funkt1.jpeg}
	\caption{$f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2$}
	\label{fig:funkt1}
\end{figure}
		
	\end{enumerate}
\end{bsp}

\section {Funktionenscharen}
$ f_a (x) = x^4 - ax^2$ --- $ a \in \mathbb{R} \land \mathbb{D}  \in \mathbb{R} $ \\
$a$ ist der Scharenparameter. Alle markanten Stellen  (Extrema, Wendepunkte, ...) werden in Abhängigkeit von $a$ berechnet.
\emph{Wichtig}: Gegebenenfalls sind Fallunterscheidungen notwendig!
\begin{definition}[Ortskurven]
\textbf{Ortskurven} sind Graphen, die durch jweils alle markanten Punkte eines Typs verlaufen. (Also zum Beispiel ein Graph durch alle WEP oder durch alle HOP usw.)
\end{definition}

\begin{bsp}[Diskussion einer Funktionenschar]
	Gegeben ist die Funktionenschar
	\begin{align*}
		f_a(x) = \frac{1}{4}x^4-ax^2 \quad a \in \mathbb{R}\setminus\{0\}
	\end{align*}
	\begin{enumerate}
		\item Wir bilden zunächst die ersten drei \textbf{Ableitungen}:
			\begin{align*}
				f'_a(x) &= x^3 -2ax\\
				f''_a(x) &= 3x^2 -2a\\
				f'''_a(x) &=  6x
			\end{align*}
		\item \textbf{Symmetrie:} $f_a(x)$ ist achsensymmetrisch für alle $a$, denn es kommen nur gerade Potenzen von $x$ in der Funktionsgleichung vor.
		\item \textbf{Verhalten im Unendlichen:} Es ist
			\begin{align*}
				\lim_{x \to \infty} f_a(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{4}x^4 = \infty \\
				\lim_{x \to -\infty} f_a(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{4}x^4 = \infty
			\end{align*}
		\item \textbf{Nullstellen:}
			\begin{align*}
				f_a(x) = 0 &\Leftrightarrow \frac{1}{4}x^4-ax^2 \\
				&\Leftrightarrow x^2 (\frac{1}{4} x^2 -a)\\
				&\Leftrightarrow x^2 = 0 \lor \frac{1}{4} x^2-a = 0 \\
				&\Leftrightarrow x = 0 \lor x = \pm 2\sqrt{a}
			\end{align*}
			Hier sehen wir nun, dass die Nullstellen abhängig von der Wahl des Parameters $a$ sind. Es ergibt sich:
			\begin{itemize}
				\item für $a<0$: $x=0$ ist die einzige Nullstelle, denn $2\sqrt{a}$ ist für $a<0$ nicht definiert.
				\item für $a>0$: Die Nullstellen sind $x=0$, $x=2\sqrt{a}$, $x=-2\sqrt{a}$
			\end{itemize}
		\item \textbf{Extrema:}
			\begin{align*}
				f'_a(x) = 0 &\Leftrightarrow x^3-2ax = 0\\
				&\Leftrightarrow x(x^2-2a) = 0\\
				&\Leftrightarrow x= 0 \lor x^2-2a = 0\\
				&\Leftrightarrow x= 0 \lor x^2 = 2a\\
				&\Leftrightarrow x= 0 \lor x = \pm \sqrt{2a}
			\end{align*}
			Wieder müssen wir die Extrema in Abhängigkeit von $a$ angeben:
			\begin{itemize}
				\item $a<0$: $x=0$ ist das einzige potentielle Extremum. Setze $x=0$ in $f''_a(x)$ ein und erhalte $f''_a(0) = -2a >0$ also ist $x=0$ in diesem Fall ein Tiefpunkt.
				\item $a>0$: Die Extrema sind $x=0$, $x=\sqrt{2a}$ und $x=-\sqrt{2a}$. Einsetzen in $f''_a(x)$ liefert, dass $x=\pm \sqrt{2a}$ Tiefpunkte sind und $x=0$ ein Hochpunkt.
			\end{itemize}
		\item \textbf{Wendestellen:}
			\begin{align*}
				f''_a(x) = 0 &\Leftrightarrow 3x^2 -2a = 0\\
				&\Leftrightarrow x^2 = \frac{2}{3}a\\
				&\Leftrightarrow x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}a}
			\end{align*}
			\begin{itemize}
				\item $a<0$: Es gibt keine Wendepunkte.
				\item $a>0$: Die potentiellen Wendestellen sind $x=\pm \sqrt{\frac{2}{3}a}$. Durch Einsetzen in $f'''_a(x)$ erhält man, dass $\sqrt{\frac{2}{3}a}$ ein rechts-links Wendepunkt und $-\sqrt{-\frac{2}{3}a}$ ein links-rechts Wendepunkt ist.
			\end{itemize}
		\item \textbf{Ortskurve durch die Wendepunkte mit $x=\sqrt{\frac{2}{3}a}$ für $a>0$:}\\
			Die Wendepunkte haben die Koordinaten $W\left(\sqrt{\frac{2}{3}a}, - \frac{5}{9}a^2\right)$. Bringen wir nun $x$ und $y$ in funktionale Abhängigkeit:
			\begin{align*}
				x= \sqrt{\frac{2}{3}a} &\wedge y= - \frac{5}{9}a^2 \\
				a == \frac{3}{2} x^2 &\wedge y= - \frac{5}{9}a^2\\
				\Rightarrow y = - \frac{5}{4}x^4
			\end{align*}
			Die Ortskurve durch alle Wendepunkte mit $x=\sqrt{\frac{2}{3}a}$ lautet also $y = - \frac{5}{4}x^4$. Die Ortskurve durch die anderen Wendepunkte berechnet man analog.
		\item \textbf{Graph:}
\begin{figure}[h]
	\centering
		\includegraphics[width=0.70\textwidth]{abbildungen/funktschar1.jpeg}
	\caption{Die Graphen der Funktionenschar für $a=0.5$ (rot) und $a=-0.5$ (grün)}
	\label{fig:funktschar1}
\end{figure}		
	\end{enumerate}
\end{bsp}

\section{Bisher bekannte Ableitungsregeln}
\begin{enumerate}
	\item Konstantenregel \\
	$f(x) = c \cdot u(x)$, $u(x)$ differenzierbar und $ c \in \mathbb{R}$ \\
	$ \rightarrow $ f ist differenzierbar und 
	\begin{align}
	f'(x) = c \cdot u'(x)
	\end{align}
	\item Summenregel \\
	u, v differenzierbar \\
	$ f(x) = u(x) + v(x) $ differenzierbar und 
	\begin{align}
	f'(x) = u'(x) + v'(x)
	\end{align}
\end{enumerate}

\section {Weitere Ableitungsregeln}
\begin{satz}[Kettenregel]
Sei $f(x) = u(v(x)) $ und u, v differenzierbar, dann ist auch f differenzierbar und 
\begin{align} 
f'(x) = u'(v(x)) \cdot v'(x)
\end{align}
\end{satz}
\begin{bsp}
$f(x) = (x^2 + 3)^2$ also $u(x)=z^2$ und $ v(x) = x^2 + 3$
\begin{align*}
f(x)  &= x^4 + 6x^2 + 9 \\
f'(x) &= 4x^3 + 12x = 2(x^2 + 3) \\
\end{align*}
\end{bsp}
\begin{beweis}[Kettenregel]
$ x_0 \in \mathbb{D}_f $ beliebig, $ z = v(x)$ und $z_0 = v(x_0)$ ($z \neq z_0$ "`nahe"' $x_0$)
\begin{align*}
\lim_{x \rightarrow x_0} \left[ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \right] &= \lim_{x \rightarrow x_0} \left[ \frac{u(v(x)) - u(v(x_0))}{x-x_0} \cdot \frac{z-z_0}{z-z_0}\right] \\
&=\lim_{x \rightarrow x_0} \left[ \frac{u(z) - u(v(z_0))}{z-z_0}\right] \cdot  \lim_{x \rightarrow x_0} \left[ \frac{v(x) - v(x_0)}{x-x_0}\right] \\
&=\lim_{v(x) \rightarrow v(x_0)} \left[ \frac{u(z) - u(v(z_0))}{z-z_0}\right] \cdot v'(x_0)\\
&=u'(v(x_0)) \cdot v'(x_0)
\end{align*}
\end{beweis}

\begin{satz}[Produktregel]
Sei $ f(x) = u(x) \cdot v(x)$ und u, v sind differenzierbar. Dann gilt: f ist auch differenzierbar und 
\begin{align}
f'(x) = v(x) \cdot u'(x) + u(x) \cdot v'(x)
\end{align}
\end{satz}
\begin{bsp}
$f(x) = 2x^3 \cdot 4x$ also $u(x) = 2x^3 \Rightarrow u'(x) = 6x^2$ und $v(x) = 4x \Rightarrow v'(x) = 4$
\begin{align*}
f(x) &= 8x^4 \\
f'(x) &= 32x^3 \\
& = 24x^3 + 8x^3\\
& = 6x^2 \cdot 4x + 4 \cdot 2x^3 \\
\end{align*}
\end{bsp}
\begin{beweis}[Produktregel]
$ x_0 \in \mathbb{D}_f $ beliebig
\begin{align*}
\lim_{x \rightarrow x_0} \left[\frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}\right] &= \lim_{x \rightarrow x_0} \left[\frac{u(x) v(x) - u(x_0)  v(x_0)}{x-x_0}\right]\\
&= \lim_{x \rightarrow x_0} \left[\frac{u(x)  v(x) - u(x_0)  v(x) + u(x_0)  v(x) - u(x_0)  v(x_0)}{x-x_0} \right] \\
&= \lim_{x \rightarrow x_0} \left[\frac{u(x)  v(x) - u(x_0)  v(x)}{x-x_0}\right]  \\
&\quad + \lim_{x \rightarrow x_0} \left[\frac{u(x_0)  v(x) - u(x_0)  v(x_0)}{x-x_0}\right]\\
&=v(x_0)  u'(x_0) + u(x_0)  v'(x_o)
\end{align*}
\end{beweis}

\begin{satz}[Quotientenregel]
Sei $f(x) = u(x) \cdot \frac{1}{v(x)}$ und u, v seien differenzierbar und $v(x) \neq 0$. Dann gilt: f ist auch differenzierbar und 
\begin{align}
f'(x) = \frac{v(x) \cdot u'(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)}
\end{align}
\end{satz}
\begin{beweis}[Quotientenregel]
\begin{align*}
f(x) &= u(x) \cdot \frac{1}{v(x)}\\
sei \quad \frac{1}{v(x)} &= w(x) \rightarrow w'(x) = - \frac{1}{v^2(x)} \cdot v'(x) \\
\\
f'(x) &= u'(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot w'(x) \\
&= \frac{u'(x)}{v(x)} + u(x) \cdot \frac{-v'(x)}{v^2(x)}\\
&= \frac{v(x) \cdot u'(x) - u(x) \cdot v'(x)}{v^2(x)}
\end{align*}
\end{beweis}

\section{Extremalwertaufgaben mit Nebenbedingung}
\begin{enumerate}
	\item Skizze
	\item Extremale Größe als Formel erfassen (\emph{Extremalbedingung})
	\item Aufstellen einer \emph{Nebenbedingung}
	\item Reduktion der beiden Gleichungen auf eine Variable (\emph{Zielfunkrion})
	\item Berechnung des Extremums
	\item Hinreichende Bedingung prüfen und / oder Randwerte betrachten
	\item Rückbezug zum Sachproblem
\end{enumerate}

\section{Gebrochen rationale Funktionen}

\begin{definition}[Gebrochen-rationale Funktionen] Gebrochen-rationale Funktionen sind Quotienten aus zwei ganz-rationalen Funktionen.\\
$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, wobei $u$, $v$ differenzierbar und $n$ Grad von $u$, $m$ Grad von $v$.
\end{definition}

\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
$n= m$:  \emph{unecht gebrochen} & $n<m$:  \emph{echt gebrochen} & $n>m$: \emph{unecht gebrochen}\\ \hline
$f(x) = \frac{2x^2 + 1}{3x^2 - 1}$ & $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ & $f(x) = \frac{x^2+3}{x-1}$\\ \hline
\end{tabular} \\
\\
Für gebrochen-rationale Funktionen gilt: \\
$\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \mathbf{N_v}$ \ \ ($ \mathbf{N_v}$: Nullstellenmenge von v) \\
$\mathbf{N_f} = \mathbf{N_u}$ \ \ (ein Bruch ist genau dann 0, wenn der Zähler 0 ist.)

\subsection{Untersuchung einer Funktion in der Nähe der Definitionslücken} \label{defluck}
Dieser Punkt ist bei der Diskussion einer gebrochen-rationalen Funktion gesondert zu betrachten.
\begin{definition}[Polstelle] Ist $x_0$ eine Nullstelle der Nennerfunktion und nach Kürzen \textbf{nicht} Nullstelle der Zählerfunktion, so heißt $x_0$ \textbf{Polstelle} von $f$
\end{definition}
In der Nähe von $x_0$ gilt dann: $f(x) \rightarrow \pm \infty $ \\
Wir unterscheiden:
\begin{enumerate}
	\item falls $x \rightarrow x_0 \land x<x_0$ \ \ \ $f(x) \rightarrow + \infty $ \\
	und $x \rightarrow x_0 \land x>x_0$ \ \ \ $f(x) \rightarrow + \infty $ \\
	dann heißt $x_0$ \emph{Pol ohne Vorzeichenwechsel}.
	\item falls $x \rightarrow x_0 \land x<x_0$ \ \ \ $f(x) \rightarrow + \infty $ \\
	aber $x \rightarrow x_0 \land x>x_0$ \ \ \ $f(x) \rightarrow - \infty $ \\
	dann heißt $x_0$ \emph{Pol mit Vorzeichenwechsel}.
\end{enumerate}

\subsection{Asymptotisches Verhalten}
\textbf{Wichtig:} Bei unecht gebrochen-rationalen Funktionen, deren Zählergrad höher ist als der Nennergrad, ist zunächst eine Polynomdivision durchzuführen, um ein ganz-rationales und ein echt gebrochen-rationales Polynom zu erhalten.
\begin{definition}[Asymptote] Eine Funktion $a(x)$ heißt \emph{Asymptote} des Graphen f, genau dann wenn  $\lim_{x \to x_0} (f(x) - a(x)) = 0$
\end{definition}

\subsubsection{Ergänzung: Regel von l'Hospital}
\begin{satz}[Regel von l'Hospital]
Sei $f(x) = u(x) / v(x)$ eine gebrochen rationale Funktion mit $v(x_0) = 0$. Sind $(u,v)$ differenzierbar in $x_0$, $u(x_0) = v(x_0) = 0$ und $v'(x_0) \neq 0$ dann ist
\begin{align}
\lim_{x \to x_0} \frac{u(x)}{v(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{u'(x)}{v'(x)}
\end{align}
\end{satz}

\subsection{Hebbare Definitionslücken}
\begin{definition}[Hebbare Definitionslücke] Ist $x_0$ eine Nullstelle des Nenners und auch Nullstelle des Zählers und lässt sich der Linearfaktor $(x-x_0)$ vollständig kürzen, so heißt $x_0$ \textbf{hebbare Definitionslücke}.
\end{definition}



\section{Ableitungen wichtiger Funktionen}



\begin{tabular}{c|c|c}
\textbf{Zeit} & \textbf{Wissende Personen} & \textbf{Wissende Personen} \\ \hline
$t=0$ & 1 & 3 \\ \hline
$t=1$ & 2 & 6 \\ \hline
$t=2$ & 4 & 12 \\ \hline
$t=3$ & 8 & 24 \\ \hline
Funktion: & $f(t) = 2^t$ & $f(t) = 2^t \cdot 3$ \\ \hline
\end{tabular}
\\
Allgemein: $f(x) = c \cdot a^x$ dabei ist $c$ der Startwert, $a$ der Wachstumsfaktor, $a 
 1$, $a \in \mathbb{R}^{+ \neq 1}$ ($0<a<1 \rightarrow$ Zerfall, $a>1 \rightarrow$ Wachstum) \\

\begin{satz} $f(x+1)=c \cdot a^{x+1} = c \cdot a \cdot a^x = a \cdot f(x)$ \end{satz}

\subsection{Ableitung von Exponentialfunktionen}
$f(x) = a^x$ \\
$a = e \rightarrow$ Eulerzahl \\
$f(x) = e^x \rightarrow$ Exponentialfunktion \\
\\
wobei: \\
$e= \lim_{n \rightarrow \infty} (1 + \frac {1}{n})^n$ mit $n \in \mathbb{N}$\\
für sehr große $n$: $e\approx(1+\frac{1}{n})^n$ \\
$e\approx2.718$ \\
Ziel: Ableitung für $f(x) = a^x$\\
$x_0 \in \mathbb{D}$
\begin{align*}
f'(x) &= \lim_{x \rightarrow 0} \left[\frac{a^x - a^{x_0}}{x-x_0}\right]\\
&= \lim_{h \rightarrow 0} \left[\frac{a^{h+x_0}-a^{x_0}}{h}\right]\\
& = \lim_{h \rightarrow 0} \left[\frac{a^h \cdot a^{x_0} - a^{x_0}}{h}\right]\\
& = \lim_{h \rightarrow 0} \left[\frac{a^h - 1}{h}\right] \cdot a^{x_0}\\
\end{align*}
muss noch berechnet werden.\\

Spezialfall: $f(x) = e^x$
\begin{align*}
f'(x_0) &= e^{x_0} \cdot \lim_{h \rightarrow 0}\left[\frac{e^h - 1}{h}\right] \\
&= 1\\
& = \lim_{n \rightarrow \infty} \left[\displaystyle \frac{e^{\frac{1}{n}} - 1}{\frac{1}{n}}\right]
\end{align*}
\\
also bleibt zu zeigen, dass $\frac{e^{\frac{1}{n}} - 1}{\frac{1}{n}} = 1$ für sehr hohe $n$:
\begin{align*}
&\Leftrightarrow e^{\frac{1}{n}} -1 = \frac {1}{n} \\
&\Leftrightarrow e^{\frac{1}{n}} = \frac {1}{n} + 1 \\
&\Rightarrow e = (\frac{1}{n} + 1)^n \\
&\Rightarrow f'(x) = f(x)
\end{align*}

\subsection{Natürliche Logarithmusfunktion}
$e^x \rightarrow \overline{f}(x) = \ln(x)$: Natürliche Logarithmusfunktion. \\
$y=e^x \rightarrow x = \ln(y)$ \\
$a = e^{\ln(a)}$ allgemeingültig \\

Daraus lässt sich eine allgemeingültige Ableitung von Exponentialfunktionen entwickeln:
\begin{align*}
f(x) &= a^x \\
&= (e^{(\ln(a))^x}\\ 
&= e^{\ln(a) x} \\
\Rightarrow f'(x) &= e^{\ln(a) x} \cdot \ln(a)\\
&= \ln(a) \cdot a^x
\end{align*}
\\
Zusammenfassend:\\
$(a^x)' = a^x \cdot \ln(a)$ \\
$(e^x)' = e^x$ \\
$f(x) = a^x \Leftrightarrow f(x) = e^{\ln(a)x}$ \\
Es genügt also, die e-Funktion genau zu kennen, und zu diskutieren.

\subsubsection{Ableitung der Logarithmusfunktion}

$f(x) = \ln(x)$ \\
\begin{align*}
x&=e^{\ln(x)} \\
1&=e^{\ln(x)} \cdot \ln'(x)\\
ln'(x) &= \frac{1}{e^{\ln(x)}} \\
& = \frac{1}{x}
\end{align*}

\subsection{Trigonometrische Funktionen}

\emph{Additionstheoreme:}\\
1. $\sin(\alpha) - \sin(\beta) = 2\cos(\frac{\alpha + \beta}{2}) \cdot \sin(\frac{\alpha - \beta}{2})$ \\
2. $\cos(\alpha) - \cos(\beta) = 2\sin(\frac{\alpha + \beta}{2}) \cdot \cos(\frac{\alpha - \beta}{2})$\\
\\
Vermutung: $sin'(x) = cos(x)$ \\
\begin{beweis}
$x_0 \in \mathbb{D}_{sin} = \mathbb{R}$ \\
\begin{align*}
\lim_{x \rightarrow x_0} \left[\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right] = \lim_{x \rightarrow x_0} \left[\frac{\sin(x) - \sin(x_0)}{x-x_0}\right]
\end{align*}

Sei $x:=x_0 + h \Rightarrow x-x_0 = h$, statt $x\rightarrow x_0$ nun $h \rightarrow 0$.

\begin{align*}
&=\lim_{h \rightarrow 0}\left[\frac{\sin(x_0 + h) - \sin (x_0)}{h}\right]\\
&=\lim_{h \rightarrow 0}\left[\displaystyle \frac{2\cos(\frac{x_0 +h + x_0}{2}) \cdot \sin(\frac{x_0 + h + x_0}{2})}{h}\right]\\
&=\lim_{h \rightarrow 0}\left[\displaystyle \frac{\cos(x_0 + \frac{h}{2}) \cdot \sin(\frac{h}{2})}{\frac{h}{2}}\right] = \cos(x_0) \\
\end{align*}

Es folgen analog:\\
$\cos'(x) = -\sin(x)$\\
$\tan'(x) = \frac{1}{cos^2(x)}$
\end{beweis}