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Determinação do comprimento P

Pode-se determinar o comprimento $P$ da sequência $y[n]$ gerada na saída do sistema em função de $K$ e $D$, comprimentos da entrada $x[n]$ e $y[n]$ respectivamente, com o método de cálculo analítico da convolução. Tal procedimento faz referência ao exemplo dado em aula pelo professor e ao exemplo 11 do capítulo 2 do livro texto. A operação de convolução é dada por

$$y[n]=x[n]*h[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{x[k]h[n-k]}$$

Iniciamos o processo operando sobre a resposta ao impulso. O objetivo é obter $h[n-k]$ neste primeiro momento. A função de resposta ao impulso pode ser esboçada (como sugere o enunciado) por:

Espelhamos o sinal

e efetuamos um deslocamento de $n$ amostras e forma-se o sinal $h[n-k]$

Neste segundo momento iremos avaliar os extremos da convolução discreta. Para isso, analisaremos, primeiramente n=0, posição que a resposta ao impulso “toca” o sinal de entrada:

Dessa imagem podemos notar que $n<0$ implica $y[n]=0$ uma vez que um nessas regiões os produtos das amostras da resposta ao impulso com a entrada seriam nulas. Isso se dá porque $x[n]=0$ para $n<0$, por definição do sinal. O outro extremo pode ser analisado por partes. Imagine primeiramente que o deslocamento será de $n=K-1$. Nessa condição, a amostra $h[0]$ coincidirá com a amostra $x[K-1]$. Com essa intuição, podemos imaginar então a segunda parte do raciocínio, quando a amostra $h[D-1]$ coincida com $x[K-1]$. Essa será o outro extremo do cálculo da convolução. Para que essa situação ocorra, teremos que fazer o deslocamento ser $n=K+D-2$. Segue o gráfico dessa última condição:

Note que, um incremento unitário no deslocamento, todos os produtos se anulam, como no caso de $n<0$. Dado isso, temos também $y[n]=0$ para $n>K+D-2$, e, podemos escrever, de uma forma mais ampla:

$$y[n] = \begin{cases} x[n]*h[n], & 0 \leq n \leq K+D-2\\\ 0 , & caso\ contrário \end{cases}$$

Fica evidente dessa análise que o comprimento temporal da saída $y[n]$ será dado por

$$P=K+D-1$$

a soma de uma unidade em relação ao intervalo definido na função por partes de deve por esse conjunto iniciar em zero.