CircuitTheory2.tex

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\begin{document}

\title{2017-S 電気回路理論第二}

\author{教員: 山﨑俊彦 入力: 高橋光輝}

\maketitle
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\section*{第1回}

\section{回路網の性質}

\subsection{回路網関数}

S(ラプラス変換後)平面で回路を記述して解析

\subsubsection{回路網関数とは}

線形回路において、初期条件が0ならば
\[
G\left(s\right)=H\left(s\right)\cdot F\left(s\right)
\]

$G\left(s\right)$: 出力

$H\left(s\right)$: 回路網関数

$F\left(s\right)$: 出力

一般的には、$G\left(s\right)=H\left(F\left(s\right)\right)$

\paragraph{例1: 1端子対回路(2端子回路)}

図電回1-1

\[
V\left(s\right)=Z\left(s\right)\cdot I\left(s\right)
\]

$Z\left(s\right)$: インピーダンス回路

\[
I\left(s\right)=Y\left(s\right)\cdot V\left(s\right)
\]

$Y\left(s\right)$: アドミッタンス関数

まとめてイミタンス関数と呼ぶ。

\paragraph{例2: 4端子回路}

図電回1-2

\[
\left[\begin{array}{c}
V_{1}\\
V_{2}
\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}
Z_{11} & Z_{12}\\
Z_{21} & Z_{22}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
I_{1}\\
I_{2}
\end{array}\right]
\]

$Z_{11},Z_{21}$:駆動点関数

$Z_{12},Z_{22}$: 伝達関数

\subsubsection{集中定数回路の回路網関数}

\[
H\left(s\right)=\frac{P\left(s\right)}{Q\left(s\right)}=\frac{b_{n}S^{n}+b_{n}+S^{n-1}+\cdots+b_{0}}{a_{m}S^{m}+a_{m-1}S^{m-1}+\cdots+a_{0}}
\]
と書ける←$S$の実係数有理関数

\paragraph{例}

図電回1-3

\[
H\left(s\right)=\frac{V_{out}\left(s\right)}{V_{in}\left(s\right)}=\frac{1}{sCR+1}
\]


\subsubsection{極と零点}

\[
H\left(s\right)=\frac{P\left(s\right)}{Q\left(s\right)}=H\frac{\left(S-S_{o1}\right)\cdots\left(S-S_{on}\right)}{\left(S-S_{p1}\right)\cdots\left(S-S_{pn}\right)}
\]

$H=\frac{b_{m}}{a_{n}}$: scale factor (尺度函数)

零点: 分子を0にするような$S=S_{o1},S_{o2},\cdots S_{on}$

極: 分母を0にするような$S=S_{p1},S_{p2},\cdots,S_{pm}$

$r$重根→$r$位の極

解は実数or共役複素数の形に限る

\paragraph{例}

図電回1-4

\paragraph{例}

図電回1-5

\paragraph{無限遠点$S\rightarrow\infty$の扱い}

$n>m$: $H\left(s\right)=HS^{n-m}$…$n-m$位の零点

$n<m$: $H\left(s\right)=H\frac{1}{S^{m}-n}$…$m-n$位の極

$n=m$: $H\left(s\right)=H$

\subsubsection{回路の応答}

応答 $g\left(t\right)=\invlaplace{G\left(s\right)}=\invlaplace{H\left(s\right)F\left(s\right)}$

入力 $f\left(t\right)=\delta\left(t\right)$ (インパルス信号) → $F\left(s\right)=1$
とすると

\paragraph{例}

図電回2-1

$m$位の極(m-th order of polen

\[
\frac{Km}{\left(S-S_{pi}\right)^{m}}\xrightarrow{\mathcal{L}^{-1}}\frac{Km}{\left(m-1\right)!}t^{m-1}\e^{S_{pi}t}
\]

図電回2-2

\subsubsection{回路全体の安定性}

($t\rightarrow\infty$のときの固有応答)

\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline 
極 & 左半面内 & 虚軸上 & 右半面内\tabularnewline
\hline 
\hline 
1位 & 減衰 & 振動 & 発散\tabularnewline
\hline 
2位以上 & 減衰 & 発散 & 発散\tabularnewline
\hline 
\end{tabular}
\begin{itemize}
\item 回路網関数の曲が全て左半面内
\begin{itemize}
\item 応答は全て減衰→狭義安定
\end{itemize}
\item 左反面内+虚軸上(1位)
\begin{itemize}
\item 応答は持続→広義安定
\end{itemize}
\item 一つでも右半面内にある or 虚軸上で2位以上→不安定
\end{itemize}
(注)広義安定な回路でも、外部入力の虚軸上に1位の極があると合わせて2位→共振、発散

\subsection{回路網の安定性}

\subsubsection{安定な回路の駆動点イミタンス関数 ($Z_{11},Z_{22},Y_{11},Y_{22}$)}

広義安定の条件
\begin{enumerate}
\item 極と零点が右反面にない
\begin{itemize}
\item 零点→電圧と電流を入れ替えても成り立つから
\end{itemize}
\item 虚軸上の極、零点は高々1位
\item 分母と分子の次数さは高々1次
\begin{itemize}
\item $S\rightarrow\infty\left(\omega\rightarrow\infty\right)$とすると、回路はL,C,Rのいずれかと等価
\end{itemize}
\end{enumerate}

\subsubsection{安定な回路の伝達関数(transfer function) ($Z_{12},Z_{21},Y_{12},Y_{21}$)}

広義安定
\begin{enumerate}
\item 極は右半面内にない
\item 虚軸上の極は高々1位
\item $H\left(s\right)=\frac{n\text{次}}{m\text{次}}$としたとき、$n\leq m+1$
\end{enumerate}
逆数に対する制約がないので、駆動点イミタンス関数よりもゆるい。

\subsection{回路網関数の周波数特性}

\subsubsection{極・零点と周波数特性の関係}

\[
H\left(s\right)=H\frac{\left(S-S_{o1}\right)\cdots\left(S-S_{om}\right)}{\left(S-S_{p1}\right)\cdots\left(S-S_{pn}\right)}
\]
とすると、

\paragraph{振幅特性}

\[
H\left(\j\omega\right)=\left|H\right|\frac{d_{o1}\cdots d_{om}}{d_{p1}\cdots d_{pn}}
\]

$d_{om}$: 虚軸上$S\left(\j\omega\right)$と$S_{om}$との距離

図電回2-3

\[
\log\left|H\left(\j\omega\right)\right|=\log\left|H\right|+\sum_{i}\log d_{oi}-\sum_{j}\log d_{pj}
\]


\subsubsection{1次と2次の伝達関数}

(1) 1次伝達関数 $H\left(s\right)=\frac{b_{1}S+b_{0}}{S+a_{0}}$

①LP型

\[
H\left(s\right)=\frac{b_{0}}{S+a_{0}}
\]

図電回2-4

図電回2-5

②HP型

図電回2-6

図電回2-7

③AP型

図電回2-8

図電回2-9

図電回2-10

\subsection*{第2回}

遅刻

\paragraph{ソース抵抗付きソース接地抵抗}

\subsection*{第3回}

\paragraph{(訂正)}

定理1 $\re Z\left(s\right)\geqq0$である→$\re Z\left(\j\omega\right)\geqq0$

\paragraph{(続き)}

定理2: 右半面内($\re S>0$)で、$\re Z\left(s\right)>0$

ここで、有理正実関数$Z\left(S\right)$
\begin{enumerate}
\item $s$の実係数有理関数
\item $\re S>0$で$\re Z\left(s\right)>0$
\end{enumerate}
を定めると、

定理3: $Z\left(s\right)$が受動集中定数回路のイミタンス関数⇔$Z\left(s\right)$が正実関数

\paragraph{正実関数の性質}

$Z\left(s\right)$が正実関数なら、$\frac{1}{Z\left(s\right)},Z\left(\frac{1}{s}\right)$も正実関数

∵正実関数の正実関数は正実関数だから

定理4: $Z\left(s\right)$が正実関数である必要十分条件は、
\begin{enumerate}
\item $S$の実係数有理関数
\item $\re S>0$で$Z\left(s\right)$が正則(安定性)
\item 虚軸上で$\re Z\left(\j n\right)\geqq0$(定理1)
\item 虚軸上に極があるときは高々1位で、留数は正の実数
\end{enumerate}

\paragraph{(証)}

$Z\left(s\right)$が$S$平面の右半面内で極$S_{p}$を持つとする。

$S_{p}$の近くでローレンス展開をする

\begin{align*}
Z\left(s\right) & =\frac{a_{-n}}{\left(S-S_{p}\right)^{n}}+\frac{a_{-\left(n-1\right)}}{\left(S-S_{p}\right)^{n-1}}+\cdots+a_{0}+a_{1}\left(S-S_{p}\right)+\cdots\\
 & \simeq\frac{a_{-n}}{\left(S-S_{p}\right)^{n}}\;\leftarrow\;S\rightarrow S_{p}\text{のとき}
\end{align*}

一般に、$a_{-n}$は複素数なので、$a_{-n}=A\e^{\j\phi}$と置き換える。($A$: 正の実数)

$S-S_{p}=\rho\e^{\i\theta}$と表すと、
\[
Z\left(s\right)=\frac{A\e^{\j\phi}}{\rho^{n}\e^{\i n\theta}}=\frac{A}{\rho^{n}}\e^{\j\left(\phi-n\theta\right)}
\]

\[
\re Z\left(s\right)=\frac{A}{\rho^{n}}\cos\left(\phi-n\theta\right)
\]

$\theta$を$0\rightarrow2\pi$に1回転させると、$2n$回等号が変化

∴必ず$\re Z\left(s\right)<0$となる時がある→定理2と矛盾→$Z\left(s\right)$は$\re S>0$で正則

虚軸上の場合、
\[
a_{-n}=A\e^{\j\phi}=A
\]

∴留数は正の実数

→まとめると、虚軸上の曲は高々1位で留数は正の実数

\subsection{?}

\subsection{?}

\subsection{熱損失回路とその関数}

熱損失回路: LとCのみで構成される回路←リアクタンス回路

リアクタンス回路のイミタンス関数をリアクタンス関数という。

\paragraph{{[}1{]} リアクタンス関数}

正実奇関数である。

順リアクタンスなので、$\re Z\left(\j\omega\right)=0$ (抵抗成分なし)

奇関数なので、$Z\left(s\right)=-Z\left(s\right)$

\paragraph{{[}2{]} リアクタンス関数の形}

$Z\left(s\right)=\frac{P\left(s\right)}{Q\left(s\right)}$で、高々1位しか変わらない。
\begin{enumerate}
\item $0$-$\infty$型: $\frac{\text{奇}}{\text{偶}}$、$\text{分子の次数}>\text{分母の次数}$
\item $\infty$-$0$型: $\frac{\text{偶}}{\text{奇}}$、$\text{分子の次数}<\text{分母の次数}$
\item $\infty$-$\infty$型: $\frac{\text{偶}}{\text{奇}}$、$\text{分子の次数}>\text{分母の次数}$
\item $0$-$0$型: $\frac{\text{奇}}{\text{偶}}$、$\text{分子の次数}<\text{分母の次数}$
\end{enumerate}

\paragraph{例) $\infty$-$0$型}

\begin{align*}
Z\left(s\right) & =\frac{a_{2n}S^{2n}+a_{2\left(n-1\right)}S^{2\left(n-1\right)}+\cdots a_{2}S^{2}+a_{0}}{S\left(b_{2\left(n-1\right)}S^{2\left(n-1\right)}+\cdots+b_{0}\right)}\\
 & =\frac{H\left(S^{2}-S_{o1}^{2}\right)\cdots\left(S^{2}-S_{o\left(n-1\right)}^{2}\right)}{S\left(S^{2}-S_{p1}^{2}\right)\cdots\left(S^{2}\cdots S_{pn}^{2}\right)}
\end{align*}

←極$S=0,\pm S_{p1},\cdots\pm S_{pn}$

→$S_{p}$が曲なら、$-S_{p}$も極

→(回路の安定上$X$)極は虚軸上にのみ存在。ゼロ点も同様

\paragraph{{[}3{]} リアクタンス関数の性質}
\begin{enumerate}
\item 極と零点は必ず虚軸に存在し、かつ1位
\item $S=0,\infty$は極、零点のいずれか
\item $Z\left(S\right)$を部分分数分解すると、各係数は非負←当たり前のL、Cで実現できる
\item 虚軸上のリアクタンス分を$Z\left(\j\omega\right)=\j X\left(\omega\right)$と書くと
\begin{enumerate}
\item $\d{X\left(\omega\right)}{\omega}>0$⋯単調増加
\item $X\left(\omega\right)$の極と零点は必ず交互に配置されている⋯リアクタンス定理
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}