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200
201
open import prelude
open import core
module marking.marking where
infix 4 _⊢_↬⇒_
infix 4 _⊢_↬⇐_
-- mark insertion
mutual
-- synthesis
data _⊢_↬⇒_ : {τ : Typ} (Γ : Ctx) → (e : UExp) → (Γ ⊢⇒ τ) → Set where
MKSHole : ∀ {Γ u}
→ Γ ⊢ ‵⦇-⦈^ u ↬⇒ ⊢⦇-⦈^ u
MKSVar : ∀ {Γ x τ}
→ (∋x : Γ ∋ x ∶ τ)
→ Γ ⊢ ‵ x ↬⇒ ⊢ ∋x
MKSFree : ∀ {Γ y}
→ (∌y : Γ ∌ y)
→ Γ ⊢ ‵ y ↬⇒ ⊢⟦ ∌y ⟧
MKSLam : ∀ {Γ x τ e τ₁}
→ {ě : Γ , x ∶ τ ⊢⇒ τ₁}
→ (e↬⇒ě : Γ , x ∶ τ ⊢ e ↬⇒ ě)
→ Γ ⊢ ‵λ x ∶ τ ∙ e ↬⇒ ⊢λ x ∶ τ ∙ ě
MKSAp1 : ∀ {Γ e₁ e₂ τ τ₁ τ₂}
→ {ě₁ : Γ ⊢⇒ τ}
→ {ě₂ : Γ ⊢⇐ τ₁}
→ (e₁↬⇒ě₁ : Γ ⊢ e₁ ↬⇒ ě₁)
→ (τ▸ : τ ▸ τ₁ -→ τ₂)
→ (e₂↬⇐ě₂ : Γ ⊢ e₂ ↬⇐ ě₂)
→ Γ ⊢ ‵ e₁ ∙ e₂ ↬⇒ ⊢ ě₁ ∙ ě₂ [ τ▸ ]
MKSAp2 : ∀ {Γ e₁ e₂ τ}
→ {ě₁ : Γ ⊢⇒ τ}
→ {ě₂ : Γ ⊢⇐ unknown}
→ (e₁↬⇒ě₁ : Γ ⊢ e₁ ↬⇒ ě₁)
→ (τ!▸ : τ !▸-→)
→ (e₂↬⇐ě₂ : Γ ⊢ e₂ ↬⇐ ě₂)
→ Γ ⊢ ‵ e₁ ∙ e₂ ↬⇒ ⊢⸨ ě₁ ⸩∙ ě₂ [ τ!▸ ]
MKSLet : ∀ {Γ x e₁ e₂ τ₁ τ₂}
→ {ě₁ : Γ ⊢⇒ τ₁}
→ {ě₂ : Γ , x ∶ τ₁ ⊢⇒ τ₂}
→ (e₁↬⇒ě₁ : Γ ⊢ e₁ ↬⇒ ě₁)
→ (e₂↬⇒ě₂ : Γ , x ∶ τ₁ ⊢ e₂ ↬⇒ ě₂)
→ Γ ⊢ ‵ x ← e₁ ∙ e₂ ↬⇒ ⊢ x ← ě₁ ∙ ě₂
MKSNum : ∀ {Γ n}
→ Γ ⊢ ‵ℕ n ↬⇒ ⊢ℕ n
MKSPlus : ∀ {Γ e₁ e₂}
→ {ě₁ : Γ ⊢⇐ num}
→ {ě₂ : Γ ⊢⇐ num}
→ (e₁↬⇐ě₁ : Γ ⊢ e₁ ↬⇐ ě₁)
→ (e₂↬⇐ě₂ : Γ ⊢ e₂ ↬⇐ ě₂)
→ Γ ⊢ ‵ e₁ + e₂ ↬⇒ ⊢ ě₁ + ě₂
MKSTrue : ∀ {Γ}
→ Γ ⊢ ‵tt ↬⇒ ⊢tt
MKSFalse : ∀ {Γ}
→ Γ ⊢ ‵ff ↬⇒ ⊢ff
MKSIf : ∀ {Γ e₁ e₂ e₃ τ₁ τ₂ τ}
→ {ě₁ : Γ ⊢⇐ bool}
→ {ě₂ : Γ ⊢⇒ τ₁}
→ {ě₃ : Γ ⊢⇒ τ₂}
→ (e₁↬⇐ě₁ : Γ ⊢ e₁ ↬⇐ ě₁)
→ (e₂↬⇐ě₂ : Γ ⊢ e₂ ↬⇒ ě₂)
→ (e₃↬⇐ě₃ : Γ ⊢ e₃ ↬⇒ ě₃)
→ (τ₁⊓τ₂ : τ₁ ⊓ τ₂ ⇒ τ)
→ Γ ⊢ ‵ e₁ ∙ e₂ ∙ e₃ ↬⇒ ⊢ ě₁ ∙ ě₂ ∙ ě₃ [ τ₁⊓τ₂ ]
MKSInconsistentBranches : ∀ {Γ e₁ e₂ e₃ τ₁ τ₂}
→ {ě₁ : Γ ⊢⇐ bool}
→ {ě₂ : Γ ⊢⇒ τ₁}
→ {ě₃ : Γ ⊢⇒ τ₂}
→ (e₁↬⇐ě₁ : Γ ⊢ e₁ ↬⇐ ě₁)
→ (e₂↬⇐ě₂ : Γ ⊢ e₂ ↬⇒ ě₂)
→ (e₃↬⇐ě₃ : Γ ⊢ e₃ ↬⇒ ě₃)
→ (τ₁~̸τ₂ : τ₁ ~̸ τ₂)
→ Γ ⊢ ‵ e₁ ∙ e₂ ∙ e₃ ↬⇒ ⊢⦉ ě₁ ∙ ě₂ ∙ ě₃ ⦊[ τ₁~̸τ₂ ]
MKSPair : ∀ {Γ e₁ e₂ τ₁ τ₂}
→ {ě₁ : Γ ⊢⇒ τ₁}
→ {ě₂ : Γ ⊢⇒ τ₂}
→ (e₁↬⇒ě₁ : Γ ⊢ e₁ ↬⇒ ě₁)
→ (e₂↬⇒ě₂ : Γ ⊢ e₂ ↬⇒ ě₂)
→ Γ ⊢ ‵⟨ e₁ , e₂ ⟩ ↬⇒ ⊢⟨ ě₁ , ě₂ ⟩
MKSProjL1 : ∀ {Γ e τ τ₁ τ₂}
→ {ě : Γ ⊢⇒ τ}
→ (e↬⇒ě : Γ ⊢ e ↬⇒ ě)
→ (τ▸ : τ ▸ τ₁ -× τ₂)
→ Γ ⊢ ‵π₁ e ↬⇒ ⊢π₁ ě [ τ▸ ]
MKSProjL2 : ∀ {Γ e τ}
→ {ě : Γ ⊢⇒ τ}
→ (e↬⇒ě : Γ ⊢ e ↬⇒ ě)
→ (τ!▸ : τ !▸-×)
→ Γ ⊢ ‵π₁ e ↬⇒ ⊢π₁⸨ ě ⸩[ τ!▸ ]
MKSProjR1 : ∀ {Γ e τ τ₁ τ₂}
→ {ě : Γ ⊢⇒ τ}
→ (e↬⇒ě : Γ ⊢ e ↬⇒ ě)
→ (τ▸ : τ ▸ τ₁ -× τ₂)
→ Γ ⊢ ‵π₂ e ↬⇒ ⊢π₂ ě [ τ▸ ]
MKSProjR2 : ∀ {Γ e τ}
→ {ě : Γ ⊢⇒ τ}
→ (e↬⇒ě : Γ ⊢ e ↬⇒ ě)
→ (τ!▸ : τ !▸-×)
→ Γ ⊢ ‵π₂ e ↬⇒ ⊢π₂⸨ ě ⸩[ τ!▸ ]
USu→MSu : ∀ {e : UExp} {Γ : Ctx} {τ : Typ} {ě : Γ ⊢⇒ τ} → USubsumable e → Γ ⊢ e ↬⇒ ě → MSubsumable ě
USu→MSu {ě = ⊢⦇-⦈^ u} USuHole _ = MSuHole
USu→MSu {ě = ⊢_ {x = x} ∋x} USuVar _ = MSuVar
USu→MSu {ě = ⊢⟦ x ⟧} USuVar _ = MSuFree
USu→MSu {ě = ⊢ ě₁ ∙ ě₂ [ τ▸ ]} USuAp _ = MSuAp1
USu→MSu {ě = ⊢⸨ ě₁ ⸩∙ ě₂ [ τ!▸ ]} USuAp _ = MSuAp2
USu→MSu {ě = ⊢ℕ n} USuNum _ = MSuNum
USu→MSu {ě = ⊢ ě₁ + ě₂} USuPlus _ = MSuPlus
USu→MSu {ě = ⊢tt} USuTrue _ = MSuTrue
USu→MSu {ě = ⊢ff} USuFalse _ = MSuFalse
USu→MSu {ě = ⊢π₁ ě [ τ▸ ]} USuProjL _ = MSuProjL1
USu→MSu {ě = ⊢π₁⸨ ě ⸩[ τ!▸ ]} USuProjL _ = MSuProjL2
USu→MSu {ě = ⊢π₁ ě [ τ▸ ]} USuProjR _ = MSuProjL1
USu→MSu {ě = ⊢π₁⸨ ě ⸩[ τ!▸ ]} USuProjR _ = MSuProjL2
USu→MSu {ě = ⊢π₂ ě [ τ▸ ]} USuProjR _ = MSuProjR1
USu→MSu {ě = ⊢π₂⸨ ě ⸩[ τ!▸ ]} USuProjR _ = MSuProjR2
-- analysis
data _⊢_↬⇐_ : {τ : Typ} (Γ : Ctx) → (e : UExp) → (Γ ⊢⇐ τ) → Set where
MKALam1 : ∀ {Γ x τ e τ₁ τ₂ τ₃}
→ {ě : Γ , x ∶ τ ⊢⇐ τ₂}
→ (τ₃▸ : τ₃ ▸ τ₁ -→ τ₂)
→ (τ~τ₁ : τ ~ τ₁)
→ Γ , x ∶ τ ⊢ e ↬⇐ ě
→ Γ ⊢ (‵λ x ∶ τ ∙ e) ↬⇐ (⊢λ x ∶ τ ∙ ě [ τ₃▸ ∙ τ~τ₁ ])
MKALam2 : ∀ {Γ x τ e τ′}
→ {ě : Γ , x ∶ τ ⊢⇐ unknown}
→ (τ′!▸ : τ′ !▸-→)
→ Γ , x ∶ τ ⊢ e ↬⇐ ě
→ Γ ⊢ (‵λ x ∶ τ ∙ e) ↬⇐ (⊢⸨λ x ∶ τ ∙ ě ⸩[ τ′!▸ ])
MKALam3 : ∀ {Γ x τ e τ₁ τ₂ τ₃}
→ {ě : Γ , x ∶ τ ⊢⇐ τ₂}
→ (τ₃▸ : τ₃ ▸ τ₁ -→ τ₂)
→ (τ~̸τ₁ : τ ~̸ τ₁)
→ Γ , x ∶ τ ⊢ e ↬⇐ ě
→ Γ ⊢ (‵λ x ∶ τ ∙ e) ↬⇐ (⊢λ x ∶⸨ τ ⸩∙ ě [ τ₃▸ ∙ τ~̸τ₁ ])
MKALet : ∀ {Γ x e₁ e₂ τ₁ τ₂}
→ {ě₁ : Γ ⊢⇒ τ₁}
→ {ě₂ : Γ , x ∶ τ₁ ⊢⇐ τ₂}
→ (e₁↬⇒ě₁ : Γ ⊢ e₁ ↬⇒ ě₁)
→ (e₂↬⇐ě₂ : Γ , x ∶ τ₁ ⊢ e₂ ↬⇐ ě₂)
→ Γ ⊢ ‵ x ← e₁ ∙ e₂ ↬⇐ ⊢ x ← ě₁ ∙ ě₂
MKAIf : ∀ {Γ e₁ e₂ e₃ τ}
→ {ě₁ : Γ ⊢⇐ bool}
→ {ě₂ : Γ ⊢⇐ τ}
→ {ě₃ : Γ ⊢⇐ τ}
→ Γ ⊢ e₁ ↬⇐ ě₁
→ Γ ⊢ e₂ ↬⇐ ě₂
→ Γ ⊢ e₃ ↬⇐ ě₃
→ Γ ⊢ ‵ e₁ ∙ e₂ ∙ e₃ ↬⇐ ⊢ ě₁ ∙ ě₂ ∙ ě₃
MKAPair1 : ∀ {Γ e₁ e₂ τ τ₁ τ₂}
→ {ě₁ : Γ ⊢⇐ τ₁}
→ {ě₂ : Γ ⊢⇐ τ₂}
→ (e₁↬⇐ě₁ : Γ ⊢ e₁ ↬⇐ ě₁)
→ (e₂↬⇐ě₂ : Γ ⊢ e₂ ↬⇐ ě₂)
→ (τ▸ : τ ▸ τ₁ -× τ₂)
→ Γ ⊢ ‵⟨ e₁ , e₂ ⟩ ↬⇐ ⊢⟨ ě₁ , ě₂ ⟩[ τ▸ ]
MKAPair2 : ∀ {Γ e₁ e₂ τ}
→ {ě₁ : Γ ⊢⇐ unknown}
→ {ě₂ : Γ ⊢⇐ unknown}
→ (e₁↬⇐ě₁ : Γ ⊢ e₁ ↬⇐ ě₁)
→ (e₂↬⇐ě₂ : Γ ⊢ e₂ ↬⇐ ě₂)
→ (τ!▸ : τ !▸-×)
→ Γ ⊢ ‵⟨ e₁ , e₂ ⟩ ↬⇐ ⊢⸨⟨ ě₁ , ě₂ ⟩⸩[ τ!▸ ]
MKAInconsistentTypes : ∀ {Γ e τ τ′}
→ {ě : Γ ⊢⇒ τ′}
→ (e↬⇒ě : Γ ⊢ e ↬⇒ ě)
→ (τ~̸τ′ : τ ~̸ τ′)
→ (s : USubsumable e)
→ Γ ⊢ e ↬⇐ ⊢⸨ ě ⸩[ τ~̸τ′ ∙ USu→MSu s e↬⇒ě ]
MKASubsume : ∀ {Γ e τ τ′}
→ {ě : Γ ⊢⇒ τ′}
→ (e↬⇒ě : Γ ⊢ e ↬⇒ ě)
→ (τ~τ′ : τ ~ τ′)
→ (s : USubsumable e)
→ Γ ⊢ e ↬⇐ ⊢∙ ě [ τ~τ′ ∙ USu→MSu s e↬⇒ě ]