在自然数集中，依然尝试对乘法进行归纳性质的定义。
首先定义 $0\times x=0$，其次，$(m++)\times n=m\times n+n$。
这个定义同样是对称的，容易得到的是 $x\times 0=0$。
而对于另一方面，要证明 $m\times (n++)=m\times n+m$，对 $m$ 归纳，首先 $m=0$ 的情形 $0\times (n++)=0\times n+0$ 是显然成立的，然后在假定 $m\times (n++)=m\times n+m$ 成立的情况下证明 $(m++)\times (n++)=(m++)\times n+(m++)$，左边是 $m\times(n++)+(n++)$，根据假定化简为 $m\times n+m+(n++)$，右边是 $m\times n+n+(m++)$，显然这两边是相同的，归纳成立。
即 $a\times b = b\times a$。
证明中，对 $a$ 归纳，首先 $0\times b=b\times 0=0$。
假定 $a\times b = b\times a$，要证 $(a++)\times b=b\times (a++)$，左边是 $a\times b$，右边是 $b\times a+b$，由于已有假定 $a\times b=b\times a$，再用一个加法的消去律就可以完成证明。
归纳成立。
ps：我们现在为止的讨论中都没有涉及封闭性的讨论……也没有详细说明各种运算的边界情况，可以自己糊一下这些东西，比较无聊。
ps：在一些抽象代数的内容中，还有更有趣的东西……自己去找，我还没学。
即 $a(b+c)=ab+ac$，仍然使用归纳法，对于 $a=0$ 的情形是显然的。
所以假设 $a(b+c)=ab+ac$，要证明 $(a++)\times(b+c)=(a++)b+(a++)c$。
根据乘法的定义，左边是 $a(b+c)+b+c$，故归纳成立。
即 $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$，使用归纳法证明。
对 $a$ 归纳，$a=0$ 的情况显然成立。
假设 $(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$，要证明 $((a++)\times b)\times c=(a++)\times (b\times c)$。
使用之前证明的分配律和交换律可以很容易知道等式两边相等。
归纳成立。
即通过 $ac=bc$ 和 $c\neq 0$ 两条，推出 $a=b$。
还是使用归纳法，对于 $c=1$ 的情形，显然成立。
假设已经能从 $ac=bc$ 推出 $a=b$，要证明从 $a(c++)=b(c++)$ 也能推出 $a=b$。
首先这个 $a(c++)=b(c++)$ 化为 $ac+a=bc+b$，由于 $ac=bc$，直接消去律。
归纳成立。
没意思，毕竟只是在自然数集里的东西。
至于带余除法衍生出的一些其他东西如同余理论，是数论的内容，这里不讲。