https://homel.vsb.cz/~hom0056/teaching/2022-2023-1_MA1.html
konzultace - středa od 17:30 po domluvě, nebo kdykoliv jindy po domluvě
komunikace - nejlíp MS Teams nebo mail
vytvořím tým v MS teams. kdo tam do pátku nebude, ať mi napíše
zápočet max 30b, minumum 10b. 2x písemka po 15 bodech
zkouška 70b písemná
kdo opakuje předmět - kdo chce zrušit zápočet z minulého roku, ať napíše Bouchalovi. prvních 14 dnů semestru
kdo si nechá zápočet, tak už nepíše písemky - nedostane další pokusy. neúčastní se bodovaných aktivit. ale cvičně ať si písemku klidně přijde napsat.
dotazy, upozornění na chyby, apod. - ihned, kdykoliv
málo času, semestr zkrácený o dva týdny. konec výuky 10.12.
příští týden 28.9. státní svátek. není čas ztrácet čas. takže udělám video které vám pošlu a vy to doma nastudujete
další týden 5.10. je technika run, rektorské volno pro ty, kteří se akce účastní. takže cviko normálně bude. ostatní uvidí příklady tady na gitu.
vždycky po cviku sem na git dám materiály a příklady co se dělalo. nevím jak dlouho mě to bude bavit, snad do konce semestru.
co je to výrok
- je to tvrzení, o němž má smysl říci, zda je pravdivé nebo nepravdivé
pravdivostní hodnota výroku V
- p(V) = 0 nebo 1. pravda nebo nepravda.
příklad: určete, zda jde o výrok. pokud ano, urči jeho pravdivostní hodnotu
-
$2+3=5$ - je to výrok, pravda
- kde je na FEIce studijní oddělení?
- není to výrok
- obloha je zelená
- je to výrok, nepravda
výroková forma:
- tvrzení obsahující proměnnné, z něhož se stane výrok až po dosazení konstant za proměnné
příklad: určete, zda je dané tvrzení výrok, výroková forma, nebo nic
- x je větší než 3
- výroková forma
- Pendolino odjíždí ze Svinova v 18:30
- výrok
- zajdi do obchodu
- nic
- a je modré
- výroková forma
- tato kočka je bílá
- výrok
| A | B |
|
A |
A |
A |
A |
|---|---|---|---|---|---|---|
| název | negace | konjunkce | disjunkce | implikace | ekvivalence | |
| čte se | negace A | A a zároveň B | A nebo B | pokud (jestliže) A, pak B ... | A právě tehdy, když B | |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
priorita, precedence: v tom pořadí jak je to napsané, zleva doprava
výroková formule
- vzniká správných složením výroků, logických spojek a závorek
Mějme výroky A, B a C. Následující výroky jsou pravdivé:
příklad: přečtěte to, a pomocí tabulky dokažte
| dvojitá negace | |
| jinak zapsaná implikace | |
| věta obměněná | |
| ekvivalence je obousměrná implikace | |
| další zápis ekvivalence | |
| de morganovy zákony | |
| de morganovy zákony | |
| distributivní zákony | |
| distributivní zákony |
tautologie
- taková výroková forma, která je vždy pravdivá
- např.
$A \vee \neg A$
kontradikce
- taková výroková forma, která je vždy nepravdivá
- např.
$A \wedge \neg A$
příklad: přečtěte a znegujte
-
$A \wedge \neg B$ $\neg A \vee B$
-
$A \vee (\neg B \wedge C)$ $\neg A \wedge (B \vee \neg C)$
-
$A \implies B$ $A \wedge \neg B$
-
$A \iff B$ $(\neg A \vee \neg B) \wedge (A \vee B)$
jenom pro připomenutí, v rychlosti
ze střední znáte
| značení | název | příklad |
|---|---|---|
| přirozená čísla | ||
| celá čísla | ||
| racionální čísla | ||
| reálná čísla | ||
| komplexní čísla |
každá "následující" množina obsahuje i tu předchozí. např. reálná čísla obsahují všechna racionální, apod.
kvantifikátor se přídává před výrokovou formu. tím se specifikují ty volné proměnné a z výrokové formy se stává výrok (pokud se specifikují všechny proměnné)
| název | značení | čtení |
|---|---|---|
| obecný kvantifikátor | pro všechna, pro každé | |
| existenční kvantifikátor | existuje | |
| kvantifikátor jednoznačné existence | existuje právě jeden |
čtení ve větě. dvojtečka se čte jako "takové, že" nebo "platí, že", v závislosti na kvantifikátoru
- existuje ... takové, že
- pro každé ... platí, že
příklady: přečtěte, rozhodněte pravdivost
-
$\forall n \in \mathbb{N} : n > 5$ - pro každé n z množiny přirozených čísel platí, že n je větší než 5
- pro každé přirozené číslo n platí, že n je větší než 5
- každé přirozené číslo je větší než 5
- nepravda. protipříklad 2
-
$\exists n \in \mathbb{N} : n > 5$ - existuje n z množiny přirozených čísel takové, že n je větší než 5
- existuje přirozené číslo n takové, že n je větší než 5
- existuje přirozené číslo větší nez 5
- některé přirozené číslo je větší než 5
- pravda. třeba
$n=16$
-
$\exists! n \in \mathbb{N} : n > 5$ - existuje právě jedno n z množiny přirozených čísel takové, že n je větší než 5
- existuje právě jedno přirozené číslo n takové, že n je větší než 5
- existuje právě jedno přirozené číslo větší než 5
- nepravda. protipříklad 7 a 8
-
$\forall x \in \mathbb{R} : x^2 > 0$ - pro každé reálné číslo x platí, že x na druhou je větší než 0
- nepravda. protipříklad 0
-
$\exists x \in \mathbb{R} : ln(x) = 0$ - existuje reálně číslo x takové, že přirozený logaritmus x je rovno 0
- pravda. x = 1
-
$\exists! x \in \mathbb{R} : e^x = 1$ - existuje právě jedno reálné číslo x takové, že e na x je rovno 1
- pravda. x = 0
-
$\forall x \in \mathbb{R} : x > 0 \implies x^3 \ge 0$ - pro každé reálné číslo x platí, že pokud je x větší než 0, pak x na třetí je větší nebo rovno nule
- pravda
-
$\exists x \in \mathbb{R} : \sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ - existuje reálné číslo x takové, že sinus x je roven odmocnině ze dvou dělěno dvěma
- pravda. třeba
$\frac{\pi}{4}$ nebo$\frac{3\pi}{4}$
-
$\exists! x \in \mathbb{R} : cos(x) = \frac{1}{2}$ - existuje právě jedno reálné číslo x takové, že sinus x je roven jedné polovině
- nepravda. nakreslit cosinus. třeba
$\frac{\pi}{3}$ nebo$-\frac{\pi}{3}$
-
$\exists x \in \mathbb{R} : x^2 - 3x + 2 = 0$ - existuje reálné číslo x takové, že x na druhou plus tři x mínus dva je rovno nule
- pravda. 1 a 2
-
$\forall x \in \mathbb{R} : -x^2 - x + 6 > 0$ - pro každé reálné číslo x platí, že mínus x na druhou mínus x plus 6 je větší než 0
- nepravda. nakreslit graf
$-x^2$ a zjistit, že nemůžou být všechny hodnoty nad 0
příklady naopak: napište výrok pomocí kvantifikátorů a rozhodněte pravdivost.
- pro všechna přirozená čísla
$n$ platí, že$n^2 > n$ $\forall n \in \mathbb{N} : n^2 > n$ - nepravda. protipříklad 1
- existuje reálné číslo
$x$ takové, že$x^2+x-12=0$ $\exists x \in \mathbb{R} : x^2+x-12=0$ - pravda, 3 a -4
- absolutní hodnota všech reálných čísel je kladná
$\forall x \in \mathbb{R} : |x| > 0$ - nepravda. protipříklad 0
- nějaké přirozené číslo je záporné
$\exists n \in \mathbb{N} : n < 0$ - nepravda
- všechna záporná reálná čísla mají zápornou třetí mocninu
$\forall x \in \mathbb{R} : (x < 0) => (x^3 < 0)$ $\forall x \in \mathbb{R}^- : x^3 < 0$ - pravda
- druhá mocnina všech přirozených čísel větších než 10 je větší než 100
$\forall n \in \mathbb{N} : (n > 10) => (n^2 > 100)$ - pravda
- vymění se kvantifikátor (obecný
$\leftrightarrow$ existenční) a zneguje se vnitřek - u kvantifikátoru jednoznačné existence to není tak jechoduché. to si ukážeme později
úvodní příklady: znegujte
-
$\forall x \in \mathbb{R} : x > 5$ $\exists x \in \mathbb{R} : x \le 5$
-
$\exists x \in \mathbb{R} : x \ge 7$ $\forall x \in \mathbb{R} : x < 7$
real-world příklady, zneguj:
- všechna jablka jsou sladká
- existuje jablko, které není sladké
- nějaké jablko není sladké
- nějaký pomeranč je kyselý
- všechny pomeranče nejsou kyselé
- žádný pomeranč není kyselý
další příklady: znegujte
-
$\forall x \in \mathbb{R} : \sin(x) < 1$ $\exists x \in \mathbb{R} : \sin(x) \ge 1$
-
$\forall x \in \mathbb{R} : \sqrt{x} \ge 0$ $\exists x \in \mathbb{R} : \sqrt{x} < 0 \wedge x \in D\sqrt{}$
-
$\exists n \in \mathbb{N} : n^2 = 256$ $\forall n \in \mathbb{N} : n^2 \neq 256$
- když je víc stejných kvantifikátorů za sebou tak se mezi němi říká a
- pokud je po obecném kvantifikátoru existenční, neříká se platíže
- závorky se můžou ale nemusí dávat
$\forall x \in \mathbb{R} \enspace \exists y \in \mathbb{R} : x+y=7$ $(\forall x \in \mathbb{R}) \enspace (\exists y \in \mathbb{R}) : x+y=7$
příklady, přečtěte a rozhodněte pravdivost:
-
$\forall x \in \mathbb{N} \enspace \forall y \in \mathbb{N} : x \le y$ - pro každé přirozené číslo x a pro každé přirozené číslo y platí, že x je menší nebo rovno než y
- nepravda. protipříklad
$x=5, y=3$
-
$\exists x \in \mathbb{N} \enspace \exists y \in \mathbb{N} : x \le y$ - existuje přirozené číslo x a existuje přirozené číslo y takové, že x je menší nebo rovno než y
- pravda. třeba
$x=3, y=5$
-
$\forall x \in \mathbb{N} \enspace \exists y \in \mathbb{N} : x \le y$ - pro každé přirozené číslo x existuje přirozené číslo y takové, že x je menší nebo rovno než y
- pravda. třeba
$y=x$
-
$\exists x \in \mathbb{N} \enspace \forall y \in \mathbb{N} : x \le y$ - existuje přirozené číslo x takové, že pro každé přirozené číslo y platí, že x je menší nebo rovno než y
- pravda.
$x=1$
pravidla prohazování kvantifikátorů
- nelze jen tak přeházet kvantifikátory. můžou se prohazovat jenom kvantifikátory, které jsou za sebou, a jenom některé. a jenom někdy.
- stejné kvantifikátory, které jsou za sebou, lze prohazovat, a můžeme je sloučit
$\forall x \enspace \forall y \iff \forall y \enspace \forall x \iff \forall x,y$ $\exists x \enspace \exists y \iff \exists y \enspace \exists x \iff \exists x,y$
- prohazování rozdílných kvantifikátorů
-
$\forall x \enspace \exists y \enspace\;\not\!\!\!\!\implies \exists y \enspace \forall x \quad$ takto kvantifikátory prohodit nelze -
$\exists y \enspace \forall x \implies \forall x \enspace \exists y \quad$ takto můžeme kvantifikátory prohodit. ale pozor, je to jenom jednosměrná implikace. na druhou stranu je to ten vrchní případ, což se nesmí.
-
- na kvantifikátor jednoznačné existence raději vůbec nešahat. platí ale
$\exists! x \enspace \exists! y \iff \exists! y \enspace \exists! x$
příklad, uvědomte si rozdíl:
- (pro každý zámek) (existuje klíč), který do něho pasuje
- (existuje klíč takový, že) (pro každý zámek platí, že) do něj ten klíč pasuje
- existuje klíč, který pasuje do každého zámku
příklad, přečtěte a rozhodněte pravdivost:
-
$\exists n,m \in \mathbb{N} : n \cdot m = 17$ - existují přirozená čísla
$n$ a$m$ taková, že$n \cdot m = 17$ - nepravda. 17 je prvočíslo
- existují přirozená čísla
-
$\forall x,y \in \mathbb{R} : x < y \implies x^2 < y^2$ - pro všechna reálná čísla
$x$ a$y$ platí, že pokud je$x$ menší než$y$ , pak je$x^2 < y^2$ - nepravda. protipříklad
$x=-3$ ,$y=-2$
- pro všechna reálná čísla
-
$\exists y \in \mathbb{R} \enspace \forall x \in \mathbb{R}^+ : \ln(x) \le y$ - existuje reálné číslo y takové, že pro každé kladné reálné číslo x platí, že
$\ln(x) \le y$ - nepravda. funkce logaritmus není shora omezená
- existuje reálné číslo y takové, že pro každé kladné reálné číslo x platí, že
-
$\forall a,b,c \in \mathbb{R} : a^2 + b^2 = c^2$ - pro všechna reálná čísla
$a$ ,$b$ a$c$ platí, že$a^2 + b^2 = c^2$ - nepravda. vypadá to sice pythagorova věta, ale ta platí jenom když
$a,b,c$ jsou stranypravoúhlého trojúhelníku
- pro všechna reálná čísla
-
$\exists a,b \in \mathbb{N} : a^2 + b^2 = 25$ - existují přirozená čísla a a b taková, že
$a^2 + b^2 = 25$ - pravda. třeba
$a=3$ ,$b=4$
- existují přirozená čísla a a b taková, že
-
$\exists! x \in \mathbb{R} \enspace \forall y \in \mathbb{R} : x + y = y$ - existuje právě jedno reálné číslo x takové, že pro každé reálné číslo y platí, že
$x + y = y$ - pravda.
$x=0$
- existuje právě jedno reálné číslo x takové, že pro každé reálné číslo y platí, že
- prostě to co je "uvnitř" vnějšího kvantifikátoru se bere jako celá vnitřní výroková forma která se pak zase zvlášť rekurzivně neguje
- vyměním všechny kvantifikátory a zneguju vnitřek
příklad: znegujte výroky z předchozího příkladu
-
$\exists n,m \in \mathbb{N} : n \cdot m = 17$ $\forall n,m \in \mathbb{N} : n \cdot m \neq 17$
-
$\forall x,y \in \mathbb{R} : x < y \implies x^2 < y^2$ $\exists x,y \in \mathbb{R} : x < y \wedge x^2 \ge y^2$
-
$\exists y \in \mathbb{R} \enspace \forall x \in \mathbb{R}^+ : \ln(x) \le y$ $\forall y \in \mathbb{R} \enspace \exists x \in \mathbb{R}^+ : \ln(x) > y$
-
$\forall a,b,c \in \mathbb{R} : a^2 + b^2 = c^2$ $\exists a,b,c \in \mathbb{R} : a^2 + b^2 \neq c^2$
-
$\exists a,b \in \mathbb{N} : a^2 + b^2 = 25$ $\forall a,b, \in \mathbb{N} : a^2 + b^2 \neq 25$
-
$\exists! x \in \mathbb{R} \enspace \forall y \in \mathbb{R} : x + y = y$ $(\forall x \in \mathbb{R} \enspace \exists y \in \mathbb{R} : x+y=y) \vee (\exists x_1, x_2 \in \mathbb{R} \enspace \exists y \in \mathbb{R} : x_1+y=y \wedge x_2+y=y \wedge x_1 \neq x_2)$
kvantifikátor jednoznačné existence se dá přepsat za použití jenom obecného a existenčního. pomocí toho se dá i negovat. mějme nějakou výrokovou formu V(x)
-
$\exists! x : V(x) \iff ((\exists x : V(x)) \wedge (\forall x,y : V(x) \wedge V(y) \implies x = y))$ - existuje nějaký, a je jenom jeden (každé y pro které to taky platí je rovno x)
-
$\neg(\exists! x : V(x)) \iff (\forall x : \neg V(x)) \vee (\exists x,y : V(x) \wedge V(y) \wedge x \neq y)$ - neexistuje žádný nebo existují dva různé
množina je soubor navzájem různých prvků
obvykle se značí velkými písmeny (
zadávají se výčtem prvků (že prostě napíšu co všechno tam konkrétně je), nebo pomocí charakteristické vlastnosti
duplicitní prvky se neberou v potaz. prvek v množině buď je, nebo není.
příklady:
-
$A = \lbrace 2, 4, 5 \rbrace$ - množina zadaná výčtem prvků
$B = \lbrace 1, 2, 3, ... \rbrace$ $C = \lbrace \bigcirc, \square, \triangle \rbrace$ $D = \lbrace \sin, \cos, \mathrm{tg}, \mathrm{cotg} \rbrace$ -
$E = \lbrace x \in R : x > 470 \rbrace$ - množina zadaná pomocí charakteristické vlastnosti
$F = \lbrace f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} ; : f(0) = 0 \rbrace$ -
$\lbrace \rbrace, \varnothing$ - prázdná množina
prvek
prvek
Vennovy diagramy
podmnožina
- Nechť
$A$ a$B$ jsou množiny. Řekneme, že množina$A$ je podmnožinou množiny$B$ právě tehdy, když platí$\forall x \in A : x \in B$ . - Značíme
$A \subset B$ $A \subset B \iff \forall x : x \in A \implies x \in B$
příklad: uvažujme množiny
$A \subset B$ $C \subset D$ $\lbrace 4,5,6 \rbrace \subset A$ $A \subset A$ $\varnothing \subset A$
rovnost množin
- Nechť A a B jsou množiny. Řekneme, že množina A je rovna množině B právě tehdy, když platí
$A \subset B \wedge B \subset A$ - Značíme
$A = B$
operace s množinami. nechť A a B jsou množiny.
- sjednocení množin
$A \cup B = \lbrace x : x \in A \vee x \in B \rbrace$ $x \in (A \cup B) \iff x \in A \vee x \in B$
- průnik množin
$A \cap B = \lbrace x : x \in A \wedge x \in B \rbrace$ $x \in (A \cap B) \iff x \in A \wedge x \in B$
- rozdíl množin
$A \setminus B = \lbrace x : x \in A \wedge x \notin B \rbrace$ $x \in (A \setminus B) \iff x \in A \wedge x \notin B$
- doplněk
$A' = \lbrace x : x \notin A \rbrace$ $x \in A' \iff x \notin A$
příklad: mějme množiny
$A \cup B$ $A \cap B$ $A \setminus B$