-
$\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$ -
$\arcsin$ je lichá funkce
-
-
$\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$ - trochu podobné lichosti, ale je tam navíc
$\pi$
- trochu podobné lichosti, ale je tam navíc
-
$\mathrm{arctg}(-x) = -\mathrm{arctg}(x)$ -
$\mathrm{arctg}$ je lichá funkce
-
-
$\mathrm{arccotg}(-x) = \pi - \mathrm{arccotg}(x)$ - trochu podobné lichosti, ale je tam navíc
$\pi$
- trochu podobné lichosti, ale je tam navíc
-
$\arccos(\frac{1}{2})$ $\frac{\pi}{3}$
-
$\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2})$ $\frac{\pi}{4}$
-
$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2})$ $-\frac{\pi}{3}$
-
$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$ $\frac{3\pi}{4}$
-
$\mathrm{arctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$ $\frac{\pi}{6}$
-
$\arcsin(1)$ $\frac{\pi}{2}$
-
$f(x) = \frac{1}{\arcsin(\ln(x))}$ $Df = \langle \frac{1}{e}, 1 ) \cup (1, e \rangle$
-
$f(x) = \arccos(\frac{x-2}{2x-3})$ $Df = (-\infty, 1 \rangle \cup \langle \frac{5}{3}, \infty )$
-
$f(x) = \mathrm{arctg}(x^2-3x-6)$ $Df = \mathbb{R}$
- Goniometrická jednička
$\forall x \in \mathbb{R} : \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ - Vlastně Pythagorova věta
- Zopakovat, že
$\sin^2(x) = (\sin(x))^2$ apod.
- Dvojnásobný úhel
$\forall x \in \mathbb{R} : \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$ $\forall x \in \mathbb{R} : \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$
- Poloviční úhel
$\forall x \in \mathbb{R} : \sin^2(x) = \frac{1-\cos(2x)}{2}$ $\forall x \in \mathbb{R} : \cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2}$
- Pro ty, kterým to nestačí
-
$\mathrm{tg}^3(x) + \mathrm{tg}^2(x) = \mathrm{tg}(x) + 1$ $x \in \lbrace \frac{\pi}{4} + k\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \rbrace$
-
$\sin(x) + \sin(2x) < 0$ $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} (\frac{2\pi}{3}+2k\pi, \pi+2k\pi) \cup (\frac{4\pi}{3}+2k\pi, 2\pi+2k\pi)$
-
$2\sin^2(x) + 7\cos(x) - 5 = 0$ $x \in \lbrace \frac{\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \rbrace \cup \lbrace -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \rbrace$
-
$\mathrm{tg}(x) + \frac{\cos(x)}{1+\sin(x)} = 2$ $x \in \lbrace -\frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \rbrace \cup \lbrace -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \rbrace \cup \lbrace \frac{\pi}{3} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z} \rbrace$
-
$2\sin^2(\frac{x}{2}) + 3\cos(x) \ge 2$ $x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \langle -\frac{\pi}{3}+2k\pi, \frac{\pi}{3}+2k\pi \rangle$
Definice: posloupnost reálných čísel
Posloupností rozumíme každou funkci, jejíž definičním oborem je
$\mathbb{N}$
Zobrazení$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$
Značíme
$\quad$ $a_1, a_2, a_3, \dots$
$\quad$ $(b_n)$
$\quad$ $\lbrace c_n \rbrace _{n=1}^{\infty}$
Příklady posloupností:
-
$42, 42, 42, 42, 42, \dots$ - konstantní posloupnost
-
$5, 7, 9, 11, 13, \dots$ - aritmetická posloupnost
$\exists \delta \in \mathbb{R} \enspace \forall n \in \mathbb{N} : a_{n+1} = a_n + \delta$
-
$4, 8, 16, 32, 64, \dots$ - geometrická posloupnost
$\exists q \in \mathbb{R} \enspace \forall n \in \mathbb{N} : a_{n+1} = q \cdot a_n$
Definice: limita posloupnosti
Řekneme, že posloupnost
$(a_n)$ má limitu$a \in \mathbb{R}$
$\quad \iff$
$\forall \varepsilon \in \mathbb{R}^+ \enspace \exists n_0 \in \mathbb{N} \enspace \forall n \in \mathbb{N}, n > n_0 : |a_n-a| < \varepsilon$
Značíme
$\quad$ $\lim a_n = a$
$\quad$ $a_n \rightarrow a$
Řekneme, že posloupnost
$(a_n)$ má limitu$\infty$
$\quad \iff$
$\forall k \in \mathbb{R} \enspace \exists n_0 \in \mathbb{N} \enspace \forall n \in \mathbb{N}, n > n_0 : a_n > k$
Řekneme, že posloupnost
$(a_n)$ má limitu$-\infty$
$\quad \iff$
$\forall k \in \mathbb{R} \enspace \exists n_0 \in \mathbb{N} \enspace \forall n \in \mathbb{N}, n > n_0 : a_n < k$
Pojmenování jednotlivých případů limit
Řekneme, že posloupnost
$(a_n)$ má vlastní limitu
$\quad$ $\iff$
Řekneme, že posloupnost$(a_n)$ je konvergentní
$\quad$ $\iff$
$\exists a \in \mathbb{R} : \lim a_n = a$ .
($\iff$ limita existuje a je reálná (není nekonečno))
V opačném případě nazýváme posloupnost divergentní
Řekneme, že posloupnost
$(a_n)$ má nevlastní limitu
$\quad$ $\iff$
$\lim a_n = \pm \infty$
Základní limity:
$\lim c = c, \quad \text{kde}\quad c \in \mathbb{R}$ $\lim n = \infty$ $\lim \frac{1}{n} = 0$ $\lim (-1)^n \quad\text{neexistuje}$ $\lim \ln(n) = \infty$ $\lim \sqrt{n} = \infty$ $\lim \sqrt[n]{n} = 1$ $\lim q^n = \infty, \quad\quad\quad\quad\text{pokud } q > 1$ $\lim q^n = 1, \quad\quad\quad\quad\text{ pokud } q = 1$ $\lim q^n = 0, \quad\quad\quad\quad\text{ pokud } q \in (-1,1)$ $\lim q^n \quad\text{neexistuje}, \quad\text{pokud } q \le -1$ $\lim (1+\frac{1}{n})^n = e$
Základní pravidla pro výpočet limit:
Nechť
-
$\lim |a_n| = |\lim a_n| = |a|$ - limita absolutní hodnoty je absolutní hodnota limity
-
$\lim (a_n \pm b_n) = \lim a_n \pm \lim b_n = a \pm b$ , má-li pravá strana smysl- limita součtu/rozdílu je součet/rozdíl limit
-
$\lim a_n b_n = (\lim a_n)(\lim b_n) = ab$ , má-li pravá strana smysl- limita součinu je součin limit
-
$\lim \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim a_n}{\lim b_n} = \frac{a}{b}$ , má-li pravá strana smysl a$\forall n \in \mathbb{N} : b_n \neq 0$ - limita podílu je podíl limit
-
$\lim \sqrt[k]{a_n} = \sqrt[k]{a}$ , je-li$k \in \mathbb{N} \setminus \lbrace 1 \rbrace, a \in \mathbb{R}, \forall n \in \mathbb{N} : a_n \ge 0$ - limita odmocniny je odmocnina limity
-
$((a_n \le c_n \le b_n$ pro všechna dost velká$n \in \mathbb{N}) \wedge a=b) \implies \lim c_n = a = b$ - věta o dvou policajtech, o třech limitách
-
$((c_n \ge a_n$ pro všechna dost velká$n \in \mathbb{N}) \wedge a = \infty) \implies \lim c_n = \infty$