-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 0
/
Copy pathfmt2_solve.tex
executable file
·167 lines (124 loc) · 9.74 KB
/
fmt2_solve.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
% arara: xelatex
\documentclass[12pt]{article} % размер шрифта
\usepackage{tikz} % картинки в tikz
\usepackage{microtype} % свешивание пунктуации
\usepackage{array} % для столбцов фиксированной ширины
\usepackage{indentfirst} % отступ в первом параграфе
\usepackage{multicol} % текст в несколько колонок
\usepackage{verbatim}
\graphicspath{{images/}} % путь к картинкам
\usepackage{sectsty} % для центрирования названий частей
\allsectionsfont{\centering} % приказываем центрировать все sections
\usepackage{amsmath, amssymb} % куча стандартных математических плюшек
\usepackage[top=2cm, left=1.5cm, right=1.5cm, bottom=2cm]{geometry} % размер текста на странице
\usepackage{lastpage} % чтобы узнать номер последней страницы
\usepackage{enumitem} % дополнительные плюшки для списков
% например \begin{enumerate}[resume] позволяет продолжить нумерацию в новом списке
\usepackage{caption} % подписи к картинкам без плавающего окружения figure
\usepackage{fancyhdr} % весёлые колонтитулы
\pagestyle{empty}
%\lhead{ФМТ}
%\chead{}
%\rhead{КЛШ-2019}
%\lfoot{}
%\cfoot{}
%\rfoot{\thepage/\pageref{LastPage}}
%\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
%\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\usepackage{todonotes} % для вставки в документ заметок о том, что осталось сделать
% \todo{Здесь надо коэффициенты исправить}
% \missingfigure{Здесь будет картина Последний день Помпеи}
% команда \listoftodos — печатает все поставленные \todo'шки
\usepackage{booktabs} % красивые таблицы
% заповеди из документации:
% 1. Не используйте вертикальные линии
% 2. Не используйте двойные линии
% 3. Единицы измерения помещайте в шапку таблицы
% 4. Не сокращайте .1 вместо 0.1
% 5. Повторяющееся значение повторяйте, а не говорите "то же"
\usepackage{fontspec} % поддержка разных шрифтов
\usepackage{polyglossia} % поддержка разных языков
\setmainlanguage{russian}
\setotherlanguages{english}
\setmainfont{Linux Libertine O} % выбираем шрифт
% можно также попробовать Helvetica, Arial, Cambria и т.Д.
% чтобы использовать шрифт Linux Libertine на личном компе,
% его надо предварительно скачать по ссылке
% http://www.linuxlibertine.org/
\newfontfamily{\cyrillicfonttt}{Linux Libertine O}
% пояснение зачем нужно шаманство с \newfontfamily
% http://tex.stackexchange.com/questions/91507/
\AddEnumerateCounter{\asbuk}{\russian@alph}{щ} % для списков с русскими буквами
\setlist[enumerate, 2]{label=\asbuk*),ref=\asbuk*} % списки уровня 2 будут буквами а) б) ...
%% эконометрические и вероятностные сокращения
\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}
\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}
\DeclareMathOperator{\Var}{Var}
\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}}
\newcommand \hVar{\widehat{\Var}}
\let\P\relax
\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}}
\let\Re\relax
\DeclareMathOperator{\Re}{Re}
\begin{document}
\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
\includegraphics[scale=0.25]{klshlogo.pdf} &
\raisebox{1cm}{
{\Large\bf ФМТ, II тур}
}
\end{tabular}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item % На пружинных весах стоит сосуд с водой; весы показывают 1 кг. На невесомом подвесе, соединённом с динамометром, висит железная гирька массой 100\,г ($\rho_{\textsf{Fe}}=8\,\mfrac{\textrm{г}}{\textrm{см}^3}$).
% Гирьку медленно опускают в сосуд с водой до полного погружения; вода при этом не вытекает через край. Что покажут весы? %покажет динамометр?
На двух чашках чашечных весов стоят сосуды содержащие по одному литру воды.
В одном сосуде плавает пробковый шарик плотности $700 \text{кг/м}^3$.
На дне второго сосуда лежит металлический кубик плотностью $5600 \text{кг/м}^3$.
Объем кубика в 8 раз меньше объема шарика.
Какую разницу весов показывают чашечные весы?
\textsl{Ответ/решение}:
Весы покажут нулевую разницу. Засчитываем ответы «0 кг», «0 Н» и «отсутствие разницы».
Аргумент: масса шарика и кубика одинаковая. Положим их мысленно в пустые сосуды и затем дольем по литру воды.
% Весы покажут сумму весов воды и гирьки, т.\,е. 1100 грамм. Показания весов не зависят от того, находится гирька на дне, либо не касается такового, либо вообще стоит на весах рядом с сосудом. \bigskip
\item Три последовательных натуральных 2022-значных числа записаны подряд (встык) так, что получилось 6066-значное число~$N$.
На какое минимальное простое всегда делится~$N$?
\textsl{Ответ/решение}: Остатки от деления любых трёх последовательных натуральных чисел на 3 равны (с точностью до перестановки) 0, 1 и 2.
Следовательно, конкатенация трёх последовательных натуральных всегда делится на три.\bigskip
Доказательства того, что сумма цифр и само число дают одинаковый остаток, не требуем.
%\noindent\begin{minipage}{18.3cm}\begin{wrapfigure}[7]{r}{75mm}\raisebox{-16pt}[62pt][38pt]{\includegraphics[width=74mm]{ugol_gruz}}\end{wrapfigure}
\item Автобусы из Красноярска в \textit{Орбиту} первую половину пути прошли во скоростью~$v \text{км/час}$, а вторую~--- с вдвое большей скоростью.
С какой средней скоростью автобусы шли из Красноярска в \textit{Орбиту}?
%Груз массы $M$ подвешен как показано на рисунке и находится в покое; угол между нитями составляет $90^\circ$, а один из углов между нитью и потолком в два раза меньше другого. Массы нитей пренебрежимо малы по сравнению с массой груза. Найти силу натяжения нитей.
%\end{minipage}\vspace{\itemsep}
\textsl{Ответ/решение}: Средняя скорость — это НЕ среднее арифметичекое!
Это среднее гармоническое:
\[
\langle v \rangle = \frac{\ell}{\frac{\ell}{2v}+\frac{\ell}{4v}} = \frac{4v}{3}.
\]
%Когда шар опускался, то на него действовала сила тяжести $(M+m)g- F_{\textrm{Архимеда}}-F_{\textrm{трения}}$. Когда груз выбросили, шар стал подниматься и на него стали действовать силы $F_{\textrm{Архимеда}} - F_{\textrm{трения}}-Mg$. Дальнейшее понятно.\bigskip
\item Дан квадрат $ABCD$; прямая, пересекающая две смежных стороны квадрата, делит его на две части, площади которых относятся как $1\div 2022$.
Прямая делит одну из пересекаемых сторон в пропорции $1\div 2$.
В каком соотношении прямая делит другую пересекаемую сторону?
\textsl{Ответ/решение}: Обозначим кусочки одной стороны как $x$ и $2x$, другой стороны — как $y$ и $ky$.
Получаем два варианта системы
\[
\begin{cases}
3x(1+k)y=2023S \\
0.5xy=S
\end{cases}
\]
Отсюда $k=2017/6$.
Либо
\[
\begin{cases}
3x(1+k)y=2023S \\
xy=S
\end{cases}
\]
Отсюда $k=2020/3$.
Важно: если заявлено одно решение, то это 1 балл за решение и переход.
Например, возможен сценарий: команда А демонстрирует верно одно решение, команда Б делает замечание, что второе решение не дано.
Подача переходит. Команда Б заявляет второе решение с явной отсылкой на то, что первое уже было изложено. Счет будет 3:1 в пользу Б.
\end{enumerate}
\end{document}