A curva apresentada nas atividades anteriores foi descoberta e utilizada muito antes do surgimento do conceito de função. Os relatos históricos apontam que os gregos já utilizavam curvas obtidas por meio de cortes específicos em cones retos (denominadas cônicas), porém foram os textos de Apolônio (262 a.C. — 194 a.C.) que definiram e explicitaram as propriedades destas curvas. Das cônicas definidas por Apolônio, a que estamos estudando, é denominada de parábola.
A abordagem dada à parábola durante muitos séculos foi apenas geométrica, a seguir apresentamos sua definição geométrica:
Definição
Dado um ponto F e uma reta d que não contém F, chamamos de parábola o conjunto dos pontos P, no plano definido por F e d, tais que P equidista de F e d. Onde denominamos F como foco e d como reta diretiz.
Parábola como Lugar Geométrico
Ou seja, Pin parábola equiv d(P,F)=d(P,d)
Agora vamos mostrar que essa definição atende à função f:mathbb{R}tomathbb{R} definida por f(x)=x^2.
Na figura a seguir destacamos, além do gráfico da função f, os pontos F=(0,frac{1}{4}) e a reta d:y=-frac{1}{4}
Parábola, Foco e diretriz
Sabemos que todos ponto pertencentes à f são do tipo P=(x,x^2) para que f satizfaça a definição anterior, temos que para todo P pertencente à f, a distância de P ao foco F=(0,frac{1}{4}) seja a mesma distância de P à reta diretriz d:y=-frac{1}{4}, e isto é fato, veja:
d(P,F)=sqrt{(x-0)^2+(x^2-frac{1}{4})^2}=sqrt{x^2+(x^2-frac{1}{4})^2}
Distância de P a F
Por outro lado:
d(P,d)=x^2+frac{1}{4}
Distância de P à d
Como queremos d(P,F)=d(P,d), temos:
sqrt{x^2+(x^2-frac{1}{4})^2}=x^2+frac{1}{4}
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos:
(sqrt{x^2+(x^2-frac{1}{4})^2})^2=(x^2+frac{1}{4})^2
x^2+(x^2-frac{1}{4})^2=(x^2+frac{1}{4})^2
Desenvolvendo teremos:
x^2+(x^4-frac{1}{2}x^2+frac{1}{16})=x^4+frac{1}{2}x^2+frac{1}{16}
x^4+(x^2-frac{1}{2}x^2)+frac{1}{16}=x^4+frac{1}{2}x^2+frac{1}{16}
E finalmente:
x^4+frac{1}{2}x^2+frac{1}{16}=x^4+frac{1}{2}x^2+frac{1}{16}
Isso nos mostra que a curva descrita no gráfico da função quadrática f:mathbb{R}tomathbb{R} definida por f(x)=x^2 é realmente uma parábola.
Agora utilizaremos os conceitos abordados na :ref:`ativ-funcao-quadratica-graf-curva`.
- Observamos que a variação de a na curva y=ax^2 faz com que a concavidade da curva fique mais aberta quando a se aproxima de zero ou mais fechada quando a se afasta de zero, e também que o sinal de a indica se a concavidade aponta para cima (a>0) ou para baixo (a<0). É facil demonstrar que o gráfico de toda função real f dada na forma f(x)=ax^2 é uma parábola. Note que o texto anterior, provamos para a=1. Para generalizarmos, basta assumirmos o foco como F=(0,frac{1}{4a}) e reta diretriz como a reta horizontal y=-frac{1}{4a}.
- Além disso vimos que as variações dos termos p e q da forma canônica f(x)=a(x-p)^2+q provocam as translações horizontais e verticais respectivamente. Como as translaçoes não deformam as figuras transladadas, podemos inferir que os gráficos todas as funções reais dadas por f(x)=a(x-p)^2+q são parábolas. Cujo vértice é dado por V=(p,q).
- Portanto toda função quadrática apresentada na sua forma canônica f(x)=a(x-p)^2+q e também em sua forma polinomial f(x)=ax^2+bx+c têm gráficos parabólicos.
Observação
Toda parábola com reta diretriz paralela ao eixo das abscissas será uma função quadrática.
São funções de x em y
Note que se esta condição não for aceita, o gráfico apresentado, não será sequer uma função real de x em y, observe nas figuras a seguir:
Não é função de x em y
Se a figura anterior, representar o gráfico da relação phi:mathbb{R_x+}tomathbb{R_y} dada por x=y^2, temos que phi não é função, já que a maioria dos pontos do domínio apresentam duas imagens, na figura destacamos apenas as duas imagens de x=9.
Porém, mesmo não sendo comum, se assumirmos a relação phi:mathbb{R_y}tomathbb{R_x+} dada por x=y^2, temos que phi é função, só que de y em x.
Já no caso da figura a seguir, o gráfico, não representa uma função de x em y nem de y em x.
Não é função de x em y
Ou seja, para que uma parábola seja o gráfico de uma função quadrática de mathbb{R_x}tomathbb{R_y} a condição necessária é que sua reta diretriz seja paralela ao eixo das abscissas.
Para o professor
Objetivos Específicos
- Construir estratégia de resolução que dependa da identificação do que não é solução antes da conclusão.
- Aplicar a definição geométrica de parábola numa situação prática;
Observações e Recomendações
Problemas geométricos que envolvem distâncias de um ponto a outro são, em geral, tratados com o recurso das circunferências e suas propriedades. Aqui desejamos ampliar as ferramentas de solução de problemas desse tipo, ajudando o estudante a incorporar como método de solução de problemas de distâncias, a parábola.
- Comece a resolver os pontos que parecem óbvios.
- Quando o estudante tender a achar que todos são óbvios, sugira que ele utilize régua ou compasso para tentar comprovar a sua intuição.
- Para motivar a solução dada pelos autores, sugira outros pontos, próximos da interseção da parábola com a linha contínua na parte superior da imagem.
- Questione se existe uma região onde a resposta seria: "Tanto faz"! Estimule os estudantes a exibir ou descrever essa região. Se necessário, fornaça-lhe como opções as definições de circunferência, reta mediatriz e parábola.
1) Num jogo eletrônico em que você controla um oficial militar infiltrado. Dentre as fases de treinamento tático há uma que exibe um salão vigiado por câmeras.
Como as câmeras fazem movimento de vai e vem, é possível atravessar o salão sem ser detectado, e esse é o objetivo desta fase. A imagem a seguir mostra a vista de cima desta fase.
A região em cinza é uma região que, em algum momento, pode ser enxergado por câmera durante o movimento de vai e vem. A linha verde contínua representa alguma barreira intransponível; já as linhas tracejadas podem ser ultrapassadas pelo personagem para se abrigar das câmeras e terminar a fase. Em 'E' o personagem entra no cenário essa passagem se fecha, em 'S' ele sai e vence a fase.
Os pontos em vermelho são posições possíveis para o personagem que, percebendo a proximidade do olhar de alguma das câmeras deve correr e se esconder numa região em preto. Sendo assim, para cada posição do personagem, diga para onde ele deve correr: Região horizontal 'H' ou Região quadrada 'Q'.
Resposta
Traçando uma reta no limite da região 'H' e usando o ponto 'Q', pode-se traçar os pontos do salão que equidistam de 'H' ou 'Q', que é a parábola. Assim, as melhores chances de fuga se dão para:
1) Região 'H'.
2) Região 'H'.
3) Região 'H'.
4) Região 'Q'
5) Região 'Q'
6) Região 'H'
Para pesquisar
A definição geométrica da parábola apresentada inicialmente pode ser associada à referência histórica de corte de cone reto, para isso acesse o link do geogebra a seguir e mantenha os valores de t e a, variando apenas os valores de s.
O cone e as cônicas - excentricidade (parábola)
Para demonstrar que toda parábola é gerada por cortes específicos em cones retos, sugerimos uma leitura das páginas 13, 14 e 15 da dissetação de [Monteiro-2014]_.