O conceito físico que lida com a variação da velocidade de um objeto é a aceleração. Imagine que num certo intervalo de tempo de t segundos em objeto altera sua velocidade de vec{v_1}~text{m}/text{s} para vec{v_2}~text{m}/text{s}. Neste caso dizemos que a aceleração média deste objeto neste intervalo de tempo é o vetor
\vec{a}=\dfrac{\vec{v_2} - \vec{v_1}}{t}.
Isto é, a aceleração média naquele intervalo de tempo é a variação da velocidade (isto é um vetor) dividido pelo tempo decorrido t. A unidade de aceleração neste caso é text{m}/text{s}^2 (metros por segundo ao quadrado). Isto significa que a velocidade varia |vec{a}|~text{m}/text{s} a cada segundo na direção e sentido do vetor vec{a}.
Na atividade a seguir isso deve se tornar mais concreto.
Para o professor
Objetivos específicos:
- consolidar as definições de velocidade e aceleração média.
- Usar vetores de modo apropriado para representar situações físicas que envolvem velocidade e aceleração.
Recomendações e sugestões: aproximar velocidade instatânea por velocidades médias é algo bastante razoável na física. Na verdade esta é a velocidade que conseguimos, de fato, calcular.
Caso todos os estudantes tenham smartphones, recomendamos que os encorage a jogar um pouco a corrida de vetores neste aplicativo disponível para Android. No aplicativo os estudantes podem jogar em dupla via bluetooth. Jogar o jogo deve ajudar a identificar os trechos de aceleração e desaceleração na figura. Se dispuser de computador com internet e projetor de multimídia, sugerimos que mostre para seus estudantes o jogo Corrida de Vetores. Neste jogo pode-se introduzir a linguagem de vetores, de inércia, deslocamento, velocidade e aceleração, sempre do ponto de vista vetoria. No artigo [Oliveira-2009]_ de uma única página, você encontra uma apresentação deste jogo de mais de 50 anos. Este é um link para o artigo. Uma observação interessante é que o tempo mínimo gasto para uma volta completa na pista de Interlagos foi de 1 minuto, 10 segundos e 23 milésimos de segundo em 2014 por Nico Rosberg, em sua Mercedes V6 Turbo (informação de outubro de 2017). Na situação fictícia desta atividade, a pista teria sido percorrida em 75 segundos.
A figura abaixo representa o movimento fictício de um carro no autódromo de Interlagos - SP a partir do repouso (no ponto vermelho). A trajetória exata não é conhecida, mas a cada 1 segundo foi marcada a posição do carro. Os pontos sucessivos foram ligados por segmentos de reta.
Parte I
Sobre os intervalos de tempo a seguir [0,1], [1,2], [2,3], [3,4], [4,5], [5,6] e [6,7], faça o que se pede.
- Em quais dos intervalos o carro teve deslocamentos iguais.
- Em quais dos intervalos o carro teve velocidades médias iguais?
- Em quais destes intervalos o carro teve velocidade média menor que no segundo anterior?
- Em quais deles o carro teve velocidade média maior que no segundo anterior?
Parte II
Copie o trecho de 0 a 6 segundos duas vezes em seu caderno, uma para cada item a seguir. Faça o que se pede nos itens a) e b) para cada um dos intervalos de tempo [0,1], [1,2], [2,3], [3,4], [4,5] e [5,6].
.. tikz::
\tikzstyle{ponto}=[circle, minimum size=2pt, inner sep=0, draw=black, fill=black, shift only, label={}]
\begin{scope}[scale=.8]
\draw[step=1.0,gray,thin] (-0.05,-0.05) grid (8.05,8.05);
\node[ponto, color=destacado] (o) at (0,0) {};
\foreach \n in {1,3,5,6,7,8}{
\node[ponto,color=atento] (t\n) at (\n,\n) {};};
\draw[color=atento] (o)--(t1)--(t3)--(t5)--(t6)--(t7)--(t8);
\node[right] at (o) {$t=0$ s};
\node[right] at (t1) {$t=1$ s};
\node[right] at (t3) {$t=2$ s};
\node[right] at (t5) {$t=3$ s};
\node[right] at (t6) {$t=4$ s};
\node[right] at (t7) {$t=5$ s};
\node[right] at (t8) {$t=6$ s};
\end{scope}
- Esboce o vetor velocidade média posicionando a origem deste vetor na posição inicial do deslocamento correspondente para cada um dos intervalos listados.
- Use as velocidades médias do item anterior como aproximações para as velocidades nos instantes em que estão posicionadas. Esboce o vetor aceleração média posicionando a origem deste vetor na posição final do deslocamento correspondente para cada um dos intervalos listados.
Parte III
A figura a seguir reproduz os deslocamentos a cada 1 segundo entre os instantes 43 e 48 segundos do movimento do carro. Considerando as velocidades médias em cada um destes intervalos de 1 segundo como aproximações das velocidades instantâneas nos pontos iniciais dos deslocamentos, represente o vetor aceleração média do intervalo [43,47] com origem na posição do instante t=45 segundos.
.. tikz::
\tikzstyle{vetor}=[->,>=latex]
\definecolor{atento}{RGB}{0,94,176} %azul forte
\begin{scope}[scale=.8]
\draw[step=1.0,gray,thin] (-0.05,-0.05) grid (6.05,2.05);
\draw[vetor, color=atento] (5,0)node[below,black]{$t=43$ s} -- (6,1);
\draw[vetor, color=atento] (6,1)node[right,black]{$t=44$ s} -- (6,2);
\draw[vetor, color=atento] (6,2)node[right,black]{$t=45$ s} -- (5,2);
\draw[vetor, color=atento] (5,2)node[above,black]{$t=46$ s} -- (3,1);
\draw[vetor, color=atento] (3,1)node[above,black]{$t=47$ s} -- (0,0)node[below,black]{$t=48$ s};
\foreach \x/\y in {5/0,6/1,6/2,5/2,3/1,0/0}{\fill[blue] (\x,\y) circle (.08);};
\end{scope}
Resposta
Parte I
- Os deslocamentos foram iguais a vec{u} = (1,1) nos intervalos com tempos [0,1], [3,4], [4,5] e [5,6]. Nos intervalos [1,2] e [2,3] os deslocamentos foram ambos iguais a vec{u} = (2,2).
- As velocidades médias coincidem com os deslocamentos porque os intervalos considerados são todos de 1 segundo. Assim as velocidades médias são iguais nos mesmos intervalos em que os deslocamentos são iguais.
- Os módulos das velocidades são na ordem sqrt{2}, 2sqrt{2}, 2sqrt{2}, sqrt{2}, sqrt{2}, sqrt{2} e sqrt{2} unidades de comprimento do lado de cada quadradinho. Portanto, apenas no intervalo [3,4] a velcidade é menor que no intervalo anterior.
- No intervalo [1,2] a velocidade média foi maior que no segundo anterior.
Parte II
Como os intervalos de tempo têm todos comprimento 1 segundo, a velocidade média neste intervalos coincidem com os deslocamentos nos respectivos intervalos.
.. tikz:: \tikzstyle{vetor}=[->,>=latex] \tikzstyle{ponto}=[circle, minimum size=2pt, inner sep=0, draw=black, fill=black, shift only, label={}] \definecolor{destacado}{RGB}{183,13,40} %avermelhado \definecolor{atento}{RGB}{0,94,176} %azul forte \begin{scope}[scale=.5] \draw[step=1.0,gray,thin] (-0.05,-0.05) grid (8.05,8.05); \node[ponto, color=destacado] (o) at (0,0) {}; \foreach \n in {1,3,5,6,7,8}{ \node[ponto, color=atento] (t\n) at (\n,\n) {};}; \node[right] at (o) {$t=0$ s}; \node[right] at (t1) {$t=1$ s}; \node[right] at (t3) {$t=2$ s}; \node[right] at (t5) {$t=3$ s}; \node[right] at (t6) {$t=4$ s}; \node[right] at (t7) {$t=5$ s}; \node[right] at (t8) {$t=6$ s}; \draw[vetor, color=atento] (o)--(t1); \draw[vetor, color=atento] (t1)--(t3); \draw[vetor, color=atento] (t3)--(t5); \draw[vetor, color=atento] (t5)--(t6); \draw[vetor, color=atento] (t6)--(t7); \draw[vetor, color=atento] (t7)--(t8); \end{scope}.. tikz:: \begin{scope}[scale=.5] \draw[step=1.0,gray,thin] (-0.05,-0.05) grid (8.05,8.05); \fill[black] (0,0)coordinate(o) circle (.2); \foreach \n in {1,3,5,6,7,8}{ \fill[red] (\n,\n)coordinate(t\n) circle (.13);}; \draw[blue] (o)--(t1)--(t3)--(t5)--(t6)--(t7)--(t8); \fill[red] (3,3) circle (.2); \fill[red] (6,6) circle (.2); \fill[red] (7,7) circle (.2); \node[right] at (o) {$t=0$ s}; \node[right] at (t1) {$t=1$ s}; \node[right] at (t3) {$t=2$ s}; \node[right] at (t5) {$t=3$ s}; \node[right] at (t6) {$t=4$ s}; \node[right] at (t7) {$t=5$ s}; \node[right] at (t8) {$t=6$ s}; \draw[-latex,red,thick] (t1)--(2,2); \draw[-latex,red,thick] (t5)--(4,4); \draw[-latex,red,thick] (t8)--(7,8); \end{scope}A aceleração média no intervalo de tempo [5,6] não pode ser calculada com os dados do item a) porque não se sabe a velocidade no instante t=6 segundos. Contudo, da :numref:`fig-interlagos-corrida` pode-se observar que a velocidade média no intervalo [6,7] é vec{v_6}=(0,1) e como do item a) a velocidade média no intervalo [5,6] é vec{v_5}=(1,1), podemos calcular a aceleração média em [5,6] como a diferença
\vec{a} = \vec{v_6} - \vec{v_5} = (0,1) - (1,1) = (-1,0).Parte III
Conforme foi definido no início desta seção, o vetor aceleração média é
\vec{a} = \dfrac{\vec{v_{47}} - \vec{v_{43}}}{4},onde vec{v_{47}} e vec{v_{43}} são as velocidades nos instantes 47 e 43 segundos, respectivamente. Novamente os vetores velocidade média coincidem com os vetores deslocamento porque estamos considerando o intervalo de tempo de 1 segundo. Portanto, vec{v_{47}} = (-3,-1) e vec{v_{43}} = (1,1), logo vec{a} = left(-1,-frac{1}{2}right). Na figura obtemos
.. tikz:: \begin{scope}[scale=.8] \draw[step=1.0,gray,thin] (-0.05,-0.05) grid (6.05,2.05); \draw[blue,-latex,thick] (5,0)node[below,black]{$t=43$ s}--(6,1); \draw[blue,-latex,thick] (6,1) node[right,black]{$t=44$ s}--(6,2); \draw[blue,-latex,thick] (6,2)node[right,black]{$t=45$ s} --(5,2); \draw[blue,-latex,thick] (5,2)node[above,black]{$t=46$ s}--(3,1); \draw[red,-latex,very thick] (6,2)--(5,1.5)node[below right, black]{$\vec{a}$}; \draw[blue,-latex,thick] (3,1)node[above,black]{$t=47$ s}--(0,0)node[below,black]{$t=48$ s}; \foreach \x/\y in {5/0,6/1,6/2,5/2,3/1,0/0}{ \fill[blue] (\x,\y) circle (.08);}; \end{scope}