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Praticando

Atividade: dividindo um segmento em partes iguais

Para o professor

Objetivos específicos

Levar o estudante a

  • Perceber que nossa visão é limitada e nossos instrumentos de medida são limitados e imperfeitos.
  • Aprender que construções geométricas não dependem de medidas.
  • Perceber que construções geométricas são procedimentos abstratos, portanto mostram resultados exatos, coisa que nossos sentidos não permitem.
  • Executar concretamente uma aplicação de algo que ele mesmo demonstrou.

Observações e recomendações

  • O processo de medição, na prática, é sempre aproximado. Uma experiência interessante é desenhar um segmento no papel e pedir para vários alunos usarem a régua para medir o comprimento desse segmento. Depois, peça que eles multipliquem a medida por um número grande (isso amplia qualquer erro) e compare os resultados.
  • As construções geométricas são processos rigorosos matematicamente, capazes de produzir medidas exatas. Quando as executamos concretamente com os instumentos de desenho, certamente também cometeremos erros, mas estes serão provavelmente menores do que os outros que foram feitos através de medidas. Por exemplo, se um segmento de 9cm for dividido em 7 partes iguais, cada parte medirá 1,285714...cm, medida impossível de ser construída com uma régua comum. Entretanto, com uma construção geométrica, obteremos uma divisão bastante boa.

Um segmento desenhado no papel precisa ser dividido em três partes iguais. Um aluno fez assim:

Com uma régua mediu seu comprimento encontrando 7,1cm.

Com a calculadora dividiu essa medida por 3.

Ele pretende usar a régua para aplicar sobre o segmento a medida que aparece na calculadora.

  1. Que número o visor da calculadora mostrou quando o segmento dado foi dividido por 3?

  2. Você consegue, com a régua escolar, marcar sobre o segmento a medida que a calculadora mostrou?

    Você percebe aí uma dificuldade, não é mesmo? Nossos sentidos são limitados e a régua não marca com precisão medidas menores que 1 milímetro. Como fazer então?

    Buscamos inspiração na atividade anterior. Considere a seguinte construção:

    Nosso segmento chama-se AB.

    • A partir de A trace uma semirreta AX (que não contenha o segmento AB).
    • Com o compasso em uma abertura qualquer fixada, assinale, a partir de A, três segmentos iguais. Chamaremos esses pontos sobre a semirreta AX de M, N e P. Veja a figura.
    .. tikz::

   \draw [line width=0.8pt] (0.,0.)-- (4.5,0.);
   \draw [line width=0.8pt] (0.,0.)-- (6.38,-3.18);
   \draw (1.46,-1.04) node[anchor=north west] {M};
   \draw (3.26,-1.88) node[anchor=north west] {N};
   \draw (5.08,-2.8) node[anchor=north west] {P};
   \draw (6.5,-2.96) node[anchor=north west] {X};
   \draw [line width=0.8pt] (0.,0.)-- (1.7450813116921962,-0.8698054186804365);
   \draw [line width=0.8pt] (0.8813642797528934,-0.33874063957697237) -- (0.8010678993991632,-0.4998384089659029);
   \draw [line width=0.8pt] (0.9440134122930329,-0.369967009714534) -- (0.8637170319393028,-0.5310647791034646);
   \draw [line width=0.8pt] (1.7450813116921962,-0.8698054186804365)-- (3.4901626233843923,-1.739610837360873);
   \draw [line width=0.8pt] (2.6264455914450897,-1.2085460582574088) -- (2.546149211091359,-1.3696438276463392);
   \draw [line width=0.8pt] (2.6890947239852294,-1.2397724283949703) -- (2.608798343631499,-1.4008701977839009);
   \draw [line width=0.8pt] (3.4901626233843923,-1.739610837360873)-- (5.235243935076588,-2.6094162560413094);
   \draw [line width=0.8pt] (4.371526903137285,-2.078351476937845) -- (4.291230522783555,-2.239449246326776);
   \draw [line width=0.8pt] (4.4341760356774245,-2.1095778470754065) -- (4.353879655323694,-2.2706756164643376);
   \draw [fill=black] (0.,0.) circle (1.0pt);
   \draw[color=black] (-0.06,0.31) node {$A$};
   \draw [fill=black] (4.5,0.) circle (1.0pt);
   \draw[color=black] (4.46,0.33) node {$B$};
   \draw [fill=black] (1.7450813116921962,-0.8698054186804365) circle (2.0pt);
   \draw [fill=black] (3.4901626233843923,-1.739610837360873) circle (2.0pt);
   \draw [fill=black] (5.235243935076588,-2.6094162560413094) circle (2.0pt);

    Em seguida, trace a reta PB e trace paralelas a ela pelos pontos M e N. Essas paralelas intersectarão o segmento AB nos pontos C e D, como mostra a figura.

    .. tikz::

  \draw [line width=0.8pt] (0.,0.)-- (4.5,0.);
  \draw [line width=0.8pt] (0.,0.)-- (6.38,-3.18);
  \draw (1.46,-1.04) node[anchor=north west] {M};
  \draw (3.26,-1.88) node[anchor=north west] {N};
  \draw (5.08,-2.8) node[anchor=north west] {P};
  \draw (6.5,-2.96) node[anchor=north west] {X};
  \draw [line width=0.8pt] (0.,0.)-- (1.7450813116921962,-0.8698054186804365);
  \draw [line width=0.8pt] (0.8813642797528934,-0.33874063957697215) -- (0.8010678993991632,-0.49983840896590276);
  \draw [line width=0.8pt] (0.9440134122930329,-0.3699670097145338) -- (0.8637170319393028,-0.5310647791034644);
  \draw [line width=0.8pt] (1.7450813116921962,-0.8698054186804365)-- (3.4901626233843923,-1.739610837360873);
  \draw [line width=0.8pt] (2.6264455914450897,-1.2085460582574086) -- (2.546149211091359,- 1.3696438276463392);
  \draw [line width=0.8pt] (2.6890947239852294,-1.2397724283949703) -- (2.608798343631499,-1.4008701977839009);
  \draw [line width=0.8pt] (3.4901626233843923,-1.739610837360873)-- (5.235243935076588,-2.6094162560413094);
  \draw [line width=0.8pt] (4.371526903137285,-2.078351476937845) -- (4.291230522783555,-2.239449246326776);
  \draw [line width=0.8pt] (4.4341760356774245,-2.1095778470754065) -- (4.353879655323694,-2.2706756164643376);
  \draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 1pt off 1pt,color=blue] (4.5,0.)--  (5.235243935076588,-2.6094162560413094);
  \draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 1pt off 1pt,color=blue] (1.7450813116921962,-0.8698054186804365)-- (1.5,0.);
  \draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 1pt off 1pt,color=blue] (3.4901626233843923,-1.739610837360873)-- (3.,0.);
  \draw [color=red](1.34,0.6) node[anchor=north west] {C};
  \draw [color=red](2.88,0.6) node[anchor=north west] {D};
  \draw [fill=black] (0.,0.) circle (1.0pt);
  \draw[color=black] (-0.06,0.31) node {$A$};
  \draw [fill=black] (4.5,0.) circle (1.0pt);
  \draw[color=black] (4.46,0.33) node {$B$};
  \draw [fill=black] (1.7450813116921962,-0.8698054186804365) circle (1.0pt);
  \draw [fill=black] (3.4901626233843923,-1.739610837360873) circle (1.0pt);
  \draw [fill=black] (5.235243935076588,-2.6094162560413094) circle (1.0pt);
  \draw [fill=red] (1.5,0.) circle (1.5pt);
  \draw [fill=red] (3.,0.) circle (1.5pt);

  3. Com esse procedimento, explique por que os pontos C e D dividem o segmento AB em três partes iguais.

  4. Para dividir um segmento em partes iguais há necessidade de fazer medidas?

Resposta

  1. 2,3666666.
  2. Não, pois a régua não permite marcar medidas menores que 1 mm.
  3. Porque quando paralelas são cortadas por transversais se, em uma delas os segmentos são iguais (AM = MN = NP) então sobre a outra os segmentos correspondentes serão também iguais (AC = CD = DB).
  4. Não, pois o procedimento descrito nesta atividade não depende de medições.