A semelhança de triângulos é uma ferramenta poderosa para resolver inúmeros problemas de geometria. Isso ocorre porque o triângulo tem uma situação especial no que estamos estudando: ao contrário dos outros polígonos, é muito fácil reconhecer quando dois triângulos são semelhantes.
De fato, para triângulos, podemos definir conjuntos de condições mínimas para que possamos afirmar que dois triângulos são semelhantes. Esses conjuntos de condições mínimas são chamados casos de semelhança de triângulos.
A própria definição de semelhança entre duas figuras, no caso dessas figuras serem triângulos, resume-se a verificar a proporcionalidade entre seus lados correspondentes e isso consiste no caso Lado-Lado-lado de semelhança de triângulos, que normalmente é denotado por LLL.
Para o professor
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- Utilizar a definição de semelhança no lugar da intuição;
- Conluir que, no caso de semelhança de triângulos, a definição é equivalente ao caso LLL de semelhança de triângulos
OBSERVAÇÕES E RECOMENDAÇÕES
A atividade a seguir, pede que os alunos verifiquem se os triângulos são ou não semelhantes. Em princípio, os alunos podem ficar confusos tentando mostrar que todos os pontos no interior da região triângular atendem o que foi pedido na definição de semelhança. Vale lembrar que um triângulo fica definido por três pontos não colineares e, portanto, basta verificar que as razões entre distâncias AB, BC e AC e A'B', B'C' e A'C', respectivamente, são iguais. Desse modo, a figura formada pelos pontos A, B e C é semelhante à figura formada pelos pontos A', B' e C'.
Portanto, atender à definião de semelhança, no caso de triângulos, consiste no caso de semelhança LLL. Um caso de semelhança de triângulos é um conjunto de condições mínimas que garantem a semelhança dos triângulos envolvidos. Apenas os triângulos possuem casos de semelhança simples o sufuciente para serem estudados e conhecidos.
A figura a seguir mostra dois triângulos mathcal{T}_1 e mathcal{T}_2.
.. tikz::
\begin{scope}[scale=.5]
\definecolor{wwqqcc}{rgb}{0.4,0.,0.8}
\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39215686274509803,0.}
\fill[line width=1.2pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.20000000298023224] (-2.4026846239814494,9.01432812261539) -- (-3.1006389948749313,3.0550614146931245) -- (4.239720652539582,6.236117881750678) -- cycle;
\fill[line width=1.2pt,color=wwqqcc,fill=wwqqcc,fill opacity=0.20000000298023224] (7.032280832257959,12.718092698860787) -- (12.293364416514931,1.9328713511339897) -- (17.311287593236727,9.404179602873993) -- cycle;
\draw [line width=0.8pt] (-3.1006389948749313,3.0550614146931245)-- (4.239720652539582,6.236117881750678);
\draw [line width=1.2pt,color=qqwuqq] (-2.4026846239814494,9.01432812261539)-- (-3.1006389948749313,3.0550614146931245);
\draw [line width=1.2pt,color=qqwuqq] (-3.1006389948749313,3.0550614146931245)-- (4.239720652539582,6.236117881750678);
\draw [line width=1.2pt,color=qqwuqq] (4.239720652539582,6.236117881750678)-- (-2.4026846239814494,9.01432812261539);
\draw [line width=1.2pt,color=wwqqcc] (7.032280832257959,12.718092698860787)-- (12.293364416514931,1.9328713511339897);
\draw [line width=1.2pt,color=wwqqcc] (12.293364416514931,1.9328713511339897)-- (17.311287593236727,9.404179602873993);
\draw [line width=1.2pt,color=wwqqcc] (17.311287593236727,9.404179602873993)-- (7.032280832257959,12.718092698860787);
\draw (0.8,4.5) node[anchor=north west] {8};
\draw (-1.2,6.7) node[anchor=north west] {$\mathcal{T}_1$};
\draw (-3.6,6.5) node[anchor=north west] {6};
\draw (0.5,8.7) node[anchor=north west] {7,2};
\draw (8.6,7.5) node[anchor=north west] {12};
\draw (15.3,5.8) node[anchor=north west] {9};
\draw (11.5,8.3) node[anchor=north west] {$\mathcal{T}_2$};
\draw (12.2,12.1) node[anchor=north west] {10,8};
\end{scope}
- Atribua a cada vértice de mathcal{T}_1 e mathcal{T}_2 uma letra maiúscula.
- Para cada vértice de mathcal{T}_1 escolha um vértice de mathcal{T}_2. Em cada par de vértices escolhidos, esses vértices serão chamados correspondentes.
- São chamados lados homólogos os pares de lados que estão compreendidos entre vértices correspondentes de dois triângulos. Liste os pares de lados homólogos, segundo sua escolha no item anterior.
- Colocando os comprimentos dos lados de mathcal{T}_1 em ordem crescente e os lados de mathcal{T}_2 em ordem crescente, os lados homólogos do item anterior estão nas nas mesmas posições das listas criadas?
- É possível renomear os vértices de modo que a condição pedida no item anterior seja atendida?
- Determine a razão entre os pares de lados homólogos, após a renomeação sugerida no item anterior.
- Compare as razões encontradas. Esse resultado garante que mathcal{T}_1 e mathcal{T}_2 são semelhantes? Justifique sua resposta.
Resposta
- Nomeação do professor: A, B e C opostos, respectivamente aos lados de comprimentos 6, 7,2 e 8 e para mathcal{T}_1` usaremos as letras P, Q e R, respectivamente opostos aos lados de comprimentos 9, 10,8 e 12.
- (A, P), (B, Q) e (C, R)
- (AB, PQ), (BC, QR) e (AC, PR)
- no nosso caso sim e ele pode ser vir de exemplo para que os alunos renomeiem seus vértices ou para que refaçam as escolhas dos vértices correspondentes.
- Sim. Use com exemplo as escolhas do professor ou adeque para que isso ocorra.
- Calculando as razões:
- dfrac{6}{9}=dfrac{2}{3}
- dfrac{8}{12}=dfrac{2}{3}
- dfrac{7,2}{10,8}=dfrac{2}{3}
- Note que dfrac{6}{9}=dfrac{8}{12}=dfrac{7,2}{10,8}=dfrac{2}{3} e os triângulos são semelhantes na razão dfrac{2}{3} pelo caso LLL ou pela própria definição de semelhança de figuras..
Para o professor
O aluno deve acompanhar a demonstração de mais um caso de semelhança de triângulos que facilita o reconhecimento de triângulos semelhantes. Trata-se do caso Ângulo - Ângulo ou, simplesmente AA.
Observações e recomendações
- É importante que, se o aluno tem uma definição, ele deve usá-la.
- Como o aluno conhece a definição de figuras semelhantes então ele deve entender como a definição geral se aplica a triângulos semelhantes.
- O aluno deve entender bem o que é dado e onde se pretende chegar. Em seguida, deve ser levado a perceber a beleza do resultado, que permite reconhecer facilmente quando dois triângulos são semelhantes.
- Dizer que dois ângulos de um triângulo são, respectivamente, iguais aos dois ângulos de outro triângulo é o mesmo que dizer que os três ângulos do primeiro triângulo são, respectivamente, iguais aos três ângulos do segundo triângulo. No enunciado do teorema, são citados apenas dois ângulos, mas na figura os três ângulos são iguais a seus correspondentes. Você pode explorar se isso é natural para seus alunos.
O teorema tem um enunciado simples e vai permitir que identifiquemos triângulos semelhantes com facilidade. Trata-se de mais um caso de semelhança de triângulos, isto é, atendidas as suas condições, não precisamos fazer as verificações de todas as condições da definição de semelhança de figuras.
Entretanto, antes de podermos usá-lo, devemos mostrar que sempre que as condições do caso forem atendidas, necessariamente estamos garantindo todas as condições da definição de semelhança entre figuras.
Eis o enunciado:
Dois triângulos que possuem os mesmos ângulos internos são semelhantes
Esse enunciado quer dizer que, se dois triângulos possuem dois ângulos internos respectivamente iguais, então seus lados são proporcionais. Demonstrando esse fato, poderemos reconhecer facilmente triângulos semelhantes, e essa é a importância desse teorema.
A figura a seguir mostra, de forma simples, a hipótese e a tese do teorema.
Hipótese: Ângulos com marcas iguais são iguais.
.. tikz::
\begin{scope}[scale=1.5]
\definecolor{qqqqcc}{rgb}{0.,0.,0.8}
\definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0.,0.}
\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39215686274509803,0.}
\draw [shift={(-2.32,4.24)},line width=0.8pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-103.94809618437361:0.6) arc (-103.94809618437361:-46.138177007488174:0.6) -- cycle;
\draw [shift={(-3.08,1.18)},line width=0.8pt,color=ccqqqq,fill=ccqqqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-0.3080388573998622:0.6) arc (-0.3080388573998622:76.05190381562642:0.6) -- cycle;
\draw [shift={(0.64,1.16)},line width=0.8pt,color=qqqqcc,fill=qqqqcc,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (133.86182299251183:0.6) arc (133.86182299251183:179.69196114260015:0.6) -- cycle;
\draw [shift={(1.06,2.86)},line width=0.8pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-24.02650657867919:0.6) arc (-24.02650657867919:33.783412598206226:0.6) -- cycle;
\draw [shift={(2.72,2.12)},line width=0.8pt,color=ccqqqq,fill=ccqqqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (79.61355074829451:0.6) arc (79.61355074829451:155.9734934213208:0.6) -- cycle;
\draw [shift={(3.1065988009495857,4.22922061722931)},line width=0.8pt,color=qqqqcc,fill=qqqqcc,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-146.2165874017938:0.6) arc (-146.2165874017938:-100.38644925170551:0.6) -- cycle;
\draw [line width=0.8pt] (-2.32,4.24)-- (-3.08,1.18);
\draw [line width=0.8pt] (-3.08,1.18)-- (0.64,1.16);
\draw [line width=0.8pt] (0.64,1.16)-- (-2.32,4.24);
\draw [shift={(-3.08,1.18)},line width=0.8pt,color=ccqqqq] (-0.3080388573998622:0.6) arc (-0.3080388573998622:76.05190381562642:0.6);
\draw [shift={(-3.08,1.18)},line width=0.8pt,color=ccqqqq] (-0.3080388573998622:0.5) arc (-0.3080388573998622:76.05190381562642:0.5);
\draw [shift={(0.64,1.16)},line width=0.8pt,color=qqqqcc] (133.86182299251183:0.6) arc (133.86182299251183:179.69196114260015:0.6);
\draw [shift={(0.64,1.16)},line width=0.8pt,color=qqqqcc] (133.86182299251183:0.5) arc (133.86182299251183:179.69196114260015:0.5);
\draw [shift={(0.64,1.16)},line width=0.8pt,color=qqqqcc] (133.86182299251183:0.4) arc (133.86182299251183:179.69196114260015:0.4);
\draw [line width=0.8pt] (1.06,2.86)-- (2.72,2.12);
\draw [shift={(2.72,2.12)},line width=0.8pt,color=ccqqqq] (79.61355074829451:0.6) arc (79.61355074829451:155.9734934213208:0.6);
\draw [shift={(2.72,2.12)},line width=0.8pt,color=ccqqqq] (79.61355074829451:0.5) arc (79.61355074829451:155.9734934213208:0.5);
\draw [line width=0.8pt] (1.06,2.86)-- (3.1065988009495857,4.22922061722931);
\draw [line width=0.8pt] (3.1065988009495857,4.22922061722931)-- (2.72,2.12);
\draw [shift={(3.1065988009495857,4.22922061722931)},line width=0.8pt,color=qqqqcc] (-146.2165874017938:0.6) arc (-146.2165874017938:-100.38644925170551:0.6);
\draw [shift={(3.1065988009495857,4.22922061722931)},line width=0.8pt,color=qqqqcc] (-146.2165874017938:0.5) arc (-146.2165874017938:-100.38644925170551:0.5);
\draw [shift={(3.1065988009495857,4.22922061722931)},line width=0.8pt,color=qqqqcc] (-146.2165874017938:0.4) arc (-146.2165874017938:-100.38644925170551:0.4);
\draw (-1.43,1.1) node[anchor=north west] {$ a $};
\draw (-0.8,3.1) node[anchor=north west] {$ b $};
\draw (-3.13,3.1) node[anchor=north west] {$ c $};
\draw (3.,3.3) node[anchor=north west] {$ a' $};
\draw (1.7,4.1) node[anchor=north west] {$ b'$};
\draw (1.63,2.4) node[anchor=north west] {$c'$};
\draw [fill=black] (-2.32,4.24) circle (1.0pt);
\draw[color=black] (-2.47,4.574) node {$A$};
\draw [fill=black] (-3.08,1.18) circle (1.0pt);
\draw[color=black] (-3.33,1.054) node {$B$};
\draw [fill=black] (0.64,1.16) circle (1.0pt);
\draw[color=black] (0.79,0.994) node {$C$};
\draw [fill=black] (1.06,2.86) circle (1.0pt);
\draw[color=black] (0.69,2.914) node {$A'$};
\draw [fill=black] (2.72,2.12) circle (1.0pt);
\draw[color=black] (2.83,1.854) node {$B'$};
\draw [fill=black] (3.1065988009495857,4.22922061722931) circle (1.0pt);
\draw[color=black] (3.23,4.534) node {$C'$};
\end{scope}
Tese: dfrac{a}{a'}=dfrac{b}{b'}=dfrac{c}{c'}
Para demonstrar isso, vamos preparar nossa figura. Manteremos o triângulo ABC onde está e vamos transportar o triângulo A'B'C' para que fique sobre o triângulo ABC de forma que A' coincida com A, B' fique sobre AB e C' sobre AC. Naturalmente que isso é possível porque os ângulos A e A' são iguais.
A figura fica então assim:
.. tikz::
\begin{scope}[scale=1.5]
\definecolor{qqqqcc}{rgb}{0.,0.,0.8}
\definecolor{ccqqqq}{rgb}{0.8,0.,0.}
\definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39215686274509803,0.}
\draw [shift={(-2.32,4.24)},line width=0.8pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-103.94809618437361:0.6) arc (-103.94809618437361:-46.138177007488174:0.6) -- cycle;
\draw [shift={(-3.08,1.18)},line width=0.8pt,color=ccqqqq,fill=ccqqqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-0.3080388573998622:0.6) arc (-0.3080388573998622:76.05190381562642:0.6) -- cycle;
\draw [shift={(0.64,1.16)},line width=0.8pt,color=qqqqcc,fill=qqqqcc,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (133.86182299251183:0.6) arc (133.86182299251183:179.69196114260015:0.6) -- cycle;
\draw [shift={(-2.758088266696303,2.476118294617514)},line width=0.8pt,color=ccqqqq,fill=ccqqqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-0.3080388573998533:0.6) arc (-0.3080388573998533:76.05190381562643:0.6) -- cycle;
\draw [shift={(-0.6137614876038701,2.464589656020243)},line width=0.8pt,color=qqqqcc,fill=qqqqcc,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (133.8618229925118:0.6) arc (133.8618229925118:179.69196114260015:0.6) -- cycle;
\draw [line width=0.8pt] (-2.32,4.24)-- (-3.08,1.18);
\draw [line width=0.8pt] (-3.08,1.18)-- (0.64,1.16);
\draw [line width=0.8pt] (0.64,1.16)-- (-2.32,4.24);
\draw [shift={(-3.08,1.18)},line width=0.8pt,color=ccqqqq] (-0.3080388573998622:0.6) arc (-0.3080388573998622:76.05190381562642:0.6);
\draw [shift={(-3.08,1.18)},line width=0.8pt,color=ccqqqq] (-0.3080388573998622:0.5) arc (-0.3080388573998622:76.05190381562642:0.5);
\draw [shift={(0.64,1.16)},line width=0.8pt,color=qqqqcc] (133.86182299251183:0.6) arc (133.86182299251183:179.69196114260015:0.6);
\draw [shift={(0.64,1.16)},line width=0.8pt,color=qqqqcc] (133.86182299251183:0.5) arc (133.86182299251183:179.69196114260015:0.5);
\draw [shift={(0.64,1.16)},line width=0.8pt,color=qqqqcc] (133.86182299251183:0.4) arc (133.86182299251183:179.69196114260015:0.4);
\draw (-1.31,0.984) node[anchor=north west] {$ a $};
\draw (0.03,3.224) node[anchor=north west] {$ b $};
\draw (-3.75,3.104) node[anchor=north west] {$ c $};
\draw [line width=0.8pt] (-2.758088266696303,2.476118294617514)-- (-0.6137614876038701,2.464589656020243);
\draw [shift={(-2.758088266696303,2.476118294617514)},line width=0.8pt,color=ccqqqq] (-0.3080388573998533:0.6) arc (-0.3080388573998533:76.05190381562643:0.6);
\draw [shift={(-2.758088266696303,2.476118294617514)},line width=0.8pt,color=ccqqqq] (-0.3080388573998533:0.5) arc (-0.3080388573998533:76.05190381562643:0.5);
\draw [shift={(-0.6137614876038701,2.464589656020243)},line width=0.8pt,color=qqqqcc] (133.8618229925118:0.6) arc (133.8618229925118:179.69196114260015:0.6);
\draw [shift={(-0.6137614876038701,2.464589656020243)},line width=0.8pt,color=qqqqcc] (133.8618229925118:0.5) arc (133.8618229925118:179.69196114260015:0.5);
\draw [shift={(-0.6137614876038701,2.464589656020243)},line width=0.8pt,color=qqqqcc] (133.8618229925118:0.4) arc (133.8618229925118:179.69196114260015:0.4);
\draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 2pt off 2pt] (-0.6137614876038701,2.464589656020243)-- (-0.9356732209075664,1.168471361402729);
\draw (-3.2,2.684) node[anchor=north west] {B'};
\draw (-0.49,2.724) node[anchor=north west] {C'};
\draw (-1.05,1.004) node[anchor=north west] {D};
\draw (-2.9,3.7) node[anchor=north west] {$ c' $};
\draw (-1.4,3.7) node[anchor=north west] {$ b'$};
\draw (-1.89,2.4) node[anchor=north west] {$ a'$};
\draw [fill=black] (-2.32,4.24) circle (1.0pt);
\draw[color=black] (-2.39,4.574) node {$A$};
\draw [fill=black] (-3.08,1.18) circle (1.0pt);
\draw[color=black] (-3.33,1.054) node {$B$};
\draw [fill=black] (0.64,1.16) circle (1.0pt);
\draw[color=black] (0.83,1.054) node {$C$};
\draw [fill=black] (-2.758088266696303,2.476118294617514) circle (1.0pt);
\draw [fill=black] (-0.6137614876038701,2.464589656020243) circle (1.0pt);
\draw [fill=black] (-0.9356732209075664,1.168471361402729) circle (1.0pt);
\end{scope}
Observe que os ângulos iguais em B e B' garantem que as retas B'C' e BC são paralelas. Assim, pelo teorema de Tales (ou pela propriedade da projeção paralela), temos que dfrac{AB’}{AB}=dfrac{AC’}{AC} , ou seja, dfrac{c’}{c}=dfrac{b’}{b}.
Para completar a proporção, traçamos C'D, paralelo a AB como mostra a figura acima. Novamente, pelo teorema de Tales (ou pela propriedade da projeção paralela), temos que dfrac{AC’}{AC}=dfrac{BD}{BC}=dfrac{B’C’}{BC} , porque BDC'B' é um paralelogramo. Assim, dfrac{b’}{b}=dfrac{a’}{a} , completando a demonstração. Concluímos então que dfrac{a’}{a}=dfrac{b’}{b}=dfrac{c’}{c} , ou seja, os lados dos triângulos ABC e A'B'C' são proporcionais, o que significa que esses triângulos são semelhantes. Escrevemos então assim:
\triangle ABC \sim \triangle A’B’C’
Para o professor
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
- introduzir o aluno às argumentações formais demonstrando um teorema que é consequencia imediata (corolário) do teorema que ele acaba de acompanhar a demonstração.
OBSERVAÇÕES E RECOMENDAÇÕES
O enunciado do teorema é dado em linguagem corrente, de modo que é necessário separar as informações dadas (hipóteses) e o que desejamos mostrar (tese). Isso não é tão natural para o aluno e, sempre que possível, devemos reforçar que essa estratégia ajuda a organizar nossa argumentação.
Considere a seguinte afirmação:
“Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo e que corta os dois outros, determina um novo triângulo semelhante ao primeiro”.
Observe a figura a seguir para compreender melhor a situação:
.. tikz::
\begin{scope}[scale=1.5]
\fill[line width=0.8pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (-3.28,5.36) -- (-1.905045278137127,3.5806468305304002) -- (0.1439068564036239,4.052445019404915) -- cycle;
\draw [line width=0.8pt] (-3.28,5.36)-- (-1.24,2.72);
\draw [line width=0.8pt] (-1.24,2.72)-- (1.8,3.42);
\draw [line width=0.8pt] (1.8,3.42)-- (-3.28,5.36);
\draw [line width=0.8pt] (-1.905045278137127,3.5806468305304002)-- (0.1439068564036239,4.052445019404915);
\draw [line width=0.8pt] (-3.28,5.36)-- (-1.905045278137127,3.5806468305304002);
\draw [line width=0.8pt] (-1.905045278137127,3.5806468305304002)-- (0.1439068564036239,4.052445019404915);
\draw [line width=0.8pt] (0.1439068564036239,4.052445019404915)-- (-3.28,5.36);
\draw [fill=black] (-3.28,5.36) circle (1.0pt);
\draw[color=black] (-3.36,5.65) node {$A$};
\draw [fill=black] (-1.24,2.72) circle (1.0pt);
\draw[color=black] (-1.4,2.5) node {$B$};
\draw [fill=black] (1.8,3.42) circle (1.0pt);
\draw[color=black] (2.04,3.49) node {$C$};
\draw [fill=black] (-1.905045278137127,3.5806468305304002) circle (1.0pt);
\draw[color=black] (-2.14,3.49) node {$D$};
\draw [fill=black] (0.1439068564036239,4.052445019404915) circle (1.0pt);
\draw[color=black] (0.3,4.29) node {$E$};
\end{scope}
- Reescreva a afirmação no formato 'Se Hipótese, então Tese, substituindo Hipótese e Tese pelas condições que são dadas na afirmação e que queremos mostrar, respectivamente.
- Justifique o teorema utilizando o Teorema Central da Semelhança.
Resposta
- Se A reta DE é paralela ao lado BC e intersecta os lados AB e AC do triângulo ABC, então os triângulos ABC e ADE são semelhantes.
- Os triângulos ABC e ADE possuem o ângulo A em comum e, os ângulos ADE e ABC são iguais, pois as retas BC e DE são paralelas. Portanto os triângulos ABC e ADE possuem 2 ângulos, respectivamente, iguais. Pelo Teorema Central da semelhança, esses triângulos são semelhantes.