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Praticando

Atividade: Identificando triângulos semelhantes

Para o professor

Objetivos específicos

  • Observar figuras e identificar triângulos semelhantes.
  • Aplicar a proporcionalidade correta nos triângulos semelhantes identificados.

Observações e recomendações

  • Os alunos devem ter em mente o teorema central da semelhança de triângulos.
  • Os alunos devem imaginar uma estratégia para identificar os elementos correspondentes na semelhança e, assim, escrever corretamente a relação de proporcionalidade.
  • Não dê a dica antecipadamente. Deixem que eles descubram.
  1. Identifique, justificando, todos os triângulos semelhantes na figura a seguir.
.. tikz::

   \definecolor{qqqqcc}{rgb}{0.,0.,0.8}
   \definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39215686274509803,0.}
   \draw [shift={(-3.5686,-0.5384)},line width=0.8pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.20000000298023224] (0,0) -- (11.203434865229331:0.6678115371532025) arc (11.203434865229331:70.03677508221595:0.6678115371532025) -- cycle;
   \draw [shift={(-1.2609980923018926,5.81436810243871)},line width=0.8pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.20000000298023224] (0,0) -- (-168.79656513477067:0.6678115371532025) arc (-168.79656513477067:-109.96322491778405:0.6678115371532025) -- cycle;
   \draw [shift={(1.4408,0.4538)},line width=0.8pt,color=qqqqcc,fill=qqqqcc,fill opacity=0.20000000298023224] (0,0) -- (143.44135202591326:0.6678115371532025) arc (143.44135202591326:191.20343486522935:0.6678115371532025) -- cycle;
   \draw [shift={(1.4408,0.4538)},line width=0.8pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.20000000298023224] (0,0) -- (57.91537564992709:0.6678115371532025) arc (57.91537564992709:116.74871586691374:0.6678115371532025) -- cycle;
   \draw [shift={(-1.2609980923018926,5.81436810243871)},line width=0.8pt,color=qqqqcc,fill=qqqqcc,fill opacity=0.20000000298023224] (0,0) -- (-63.25128413308626:0.6678115371532025) arc (-63.25128413308626:-15.489201293770183:0.6678115371532025) -- cycle;
   \draw [line width=0.8pt] (-3.5686,-0.5384)-- (1.4408,0.4538);
   \draw [line width=0.8pt] (-4.833805336463052,5.106710628957514)-- (-1.2609980923018926,5.81436810243871);
   \draw [line width=0.8pt] (-1.2609980923018926,5.81436810243871)-- (-3.5686,-0.5384);
   \draw [line width=0.8pt] (-4.833805336463052,5.106710628957514)-- (1.4408,0.4538);
   \draw [line width=0.8pt] (-1.2609980923018926,5.81436810243871)-- (1.4408,0.4538);
   \draw [line width=0.8pt] (-1.2609980923018926,5.81436810243871)-- (3.904115664801881,4.383003583942484);
   \draw [line width=0.8pt] (3.904115664801881,4.383003583942484)-- (1.4408,0.4538);
   \draw (-2.959552137032945,0.37231925296239754) node[anchor=north west] {$\alpha$};
   \draw (-2.2249594461644224,5.41429635846907) node[anchor=north west] {$\alpha$};
   \draw (1.3478322776052114,1.7747234809841208) node[anchor=north west] {$\alpha$};
   \draw (0.2459432413024272,0.8731779058272987) node[anchor=north west] {$\beta$};
   \draw (-0.6222117569967361,5.280734051038429) node[anchor=north west] {$\beta$};
   \draw (-3.3268484824672067,1.808114057841781) node[anchor=north west] {9};
   \draw (-1.8,4.4) node[anchor=north west] {6};
   \draw (-0.8893363718580172,2.5760973255679627) node[anchor=north west] {10};
   \draw (-3.2266767518942263,6.082107895622271) node[anchor=north west] {8};
   \draw (1.2810511238898912,5.648030396472691) node[anchor=north west] {12};
   \draw (-1.156460986719298,0) node[anchor=north west] {$ a $};
   \draw (-3.760925981616788,4.1) node[anchor=north west] {$b$};
   \draw (3,2.8) node[anchor=north west] {$c$};
   \draw (0.1,4.0) node[anchor=north west] {$ d $};
   \draw (-5.5,5.6) node[anchor=north west] {$A$};
   \draw (-1.3,6.4) node[anchor=north west] {$B$};
   \draw (4.,5.) node[anchor=north west] {$C$};
   \draw (1.4480040081781917,0.8063967521119786) node[anchor=north west] {$D$};
   \draw (-3.1,3.4) node[anchor=north west] {$E$};
   \draw (-4.128222327051049,-0.22871113047548391) node[anchor=north west] {$F$};
   \draw [fill=black] (-3.5686,-0.5384) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (1.4408,0.4538) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (-4.833805336463052,5.106710628957514) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (-1.2609980923018926,5.81436810243871) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (-2.221662007528721,3.1696853010171) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (3.904115664801881,4.383003583942484) circle (1.0pt);
  1. Encontre todas as medidas representadas pelas letras a, b, c e d

Resposta

Os triângulos semelhantes que devem ser identificados são: triangle ABE sim triangle DFE sim triangle BDC. Note que a ordem das letras indica os vértices correspondentes e pode ajudar na hora de fazer a proporção dos segmentos.

Da semelhança triangle ABE sim triangle DFE, temos que dfrac{6}{9}=dfrac{b}{10}=dfrac{8}{a}

Usando a igualdade dfrac{6}{9}=dfrac{8}{a}, encontramos a=12

Usando a igualdade dfrac{6}{9}=dfrac{b}{10}, encontramos b=dfrac{20}{3}

Da semelhança triangle DFE sim triangle BDC, temos que dfrac{9}{c}=dfrac{10}{12} = dfrac{a}{d}.

Da igualdade dfrac{9}{c}=dfrac{10}{12} encontramos c = 10,8.

Da igualdade dfrac{a}{d}=dfrac{10}{12}, como sabemos que a=12, encontramos d = 14,4.

Atividade: Criando triângulos

Para o professor

Objetivos específicos

  • Exercitar sua imaginação para criar alguma situação favorável para aplicar a semelhança de triângulos
  • Aplicar a proporcionalidade correta nos triângulos semelhantes identificados.

Observações e recomendações

  • Como a figura dada não possui nenhum triângulo, os alunos devem ter sentir a necessidade de interferir na figura para criar triângulos semelhantes.
  • Há mais de uma forma de criar triângulos semelhantes.
  • Não dê a dica antecipadamente. Deixem que eles descubram.

Na figura a seguir, os pontos A e B dividem os lados PS e QR, respectivamente, na razão 1:2. As bases PQ e RS do trapézio PQRS medem, respectivamente 17 e 5

.. tikz::

   \draw [line width=0.8pt] (0.,0.)-- (6.,0.);
   \draw [line width=0.8pt] (0.,0.)-- (0.56,2.88);
   \draw [line width=0.8pt] (0.56,2.88)-- (2.66,2.88);
   \draw [line width=0.8pt] (2.66,2.88)-- (6.,0.);
   \draw [line width=0.8pt] (0.1953754646840149,1.0047881040892193)-- (4.8347249070631975,1.0047881040892193);
   \draw (1.4,3.4) node[anchor=north west] {5};
   \draw (2.669347702779354,-0.24120703346568212) node[anchor=north west] {17};
   \draw (-0.4229812819058426,1.7) node[anchor=north west] {$A$};
   \draw (4.867800340328985,1.7) node[anchor=north west] {$B$};
   \draw (-0.8095224049914922,0.4593987521270573) node[anchor=north west] {$P$};
   \draw (6.365647192285878,0.5801928530913226) node[anchor=north west] {$Q$};
   \draw (2.71766534316506,3.3) node[anchor=north west] {$R$};
   \draw (-0.0,3.3) node[anchor=north west] {$S$};
   \draw [fill=black] (0.,0.) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (6.,0.) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (0.56,2.88) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (2.66,2.88) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (0.1953754646840149,1.0047881040892193) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (4.8347249070631975,1.0047881040892193) circle (1.0pt);
  1. Podemos afirmar que SRparallel ABparallel PQ? Justifique sua resposta.
  2. Quanto mede o segmento AB?

Resposta

  1. O segmento AB é paralelo às pases pela volta do teorema de Tales.
  2. A figura a seguir mostra uma possível solução criando triângulos semelhantes
.. tikz::

   \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.}
   \definecolor{uuuuuu}{rgb}{0.26666666666666666,0.26666666666666666,0.26666666666666666}
   \draw [line width=0.8pt] (0.,0.)-- (6.,0.);
   \draw [line width=0.8pt] (0.,0.)-- (0.56,2.88);
   \draw [line width=0.8pt] (0.56,2.88)-- (2.66,2.88);
   \draw [line width=0.8pt] (2.66,2.88)-- (6.,0.);
   \draw [line width=0.8pt] (0.1953754646840149,1.0047881040892193)-- (4.8347249070631975,1.0047881040892193);
   \draw (1.4,3.4) node[anchor=north west] {5};
   \draw (-0.4229812819058426,1.7) node[anchor=north west] {$A$};
   \draw (4.867800340328985,1.7) node[anchor=north west] {$B$};
   \draw (-0.8095224049914922,0.4593987521270573) node[anchor=north west] {$P$};
   \draw (6.365647192285878,0.5801928530913226) node[anchor=north west] {$Q$};
   \draw (2.71766534316506,3.3) node[anchor=north west] {$R$};
   \draw (-0.0,3.3) node[anchor=north west] {$S$};
   \draw [line width=2.pt,dash pattern=on 6pt off 6pt,color=ffqqqq] (2.66,2.88)-- (2.1,0.);
   \draw [line width=2.pt,dash pattern=on 6pt off 6pt,color=ffqqqq] (4.8347249070631975,1.0047881040892193)-- (4.639349442379182,0.);
   \draw (1.8237889960294955,-.2) node[anchor=north west] {$R^\prime$};
   \draw (4.3846239364719235,-.2) node[anchor=north west] {$B^\prime$};
   \draw [fill=black] (0.,0.) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (6.,0.) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (0.56,2.88) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (2.66,2.88) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (0.1953754646840149,1.0047881040892193) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (4.8347249070631975,1.0047881040892193) circle (1.0pt);
   \draw [fill=uuuuuu] (2.1,0.) circle (2.0pt);
   \draw [fill=uuuuuu] (4.639349442379182,0.) circle (2.0pt);

Note que triangle RR'Q sim triangle BB'Q na razão 1:3. Portanto dfrac{B'Q}{R'Q}=dfrac{1}{3}, mas R'Q = 17 - 5 = 12 e, portanto, B'Q=4 e PB'=AB=17 - 4 = 13.

Atividade: Procurando triângulos semelhantes

Para o professor

Objetivos específicos

  • Observar a figura tentando encontrar dois triângulos semelhantes.
  • Aplicar a proporcionalidade correta nos triângulos semelhantes identificados.

Observações e recomendações

  • É importante que os alunos tenham disciplina. Não adianta tentar escrever proporções ao acaso. É necessário, primeiro, encontrar os triângulos semelhantes.

  1. Escreva uma expressão algébrica que relacione a, b e c através de uma única igualdade.

    .. tikz::

   \begin{scope}[scale=1.5]
   \definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39215686274509803,0.}
   \draw [shift={(1.,0.)},line width=0.8pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (149.95583993007403:0.6) arc (149.95583993007403:180.:0.6) -- cycle;
   \draw [shift={(-4.,0.)},line width=0.8pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (28.67813706320757:0.6) arc (28.67813706320757:58.72229713313355:0.6) -- cycle;]
   \draw [line width=0.8pt] (-4.,0.)-- (1.,0.);
   \draw [line width=0.8pt] (1.,0.)-- (-2.7,2.14);
   \draw [line width=0.8pt] (-2.7,2.14)-- (-4.,0.);
   \draw [line width=0.8pt] (-4.,0.)-- (-1.4302666725051452,1.4056136970705435);
   \draw (-2.02,2.1) node[anchor=north west] {$ a $};
   \draw (-3.66,1.5) node[anchor=north west] {$ b $};
   \draw (-0.26,1.1) node[anchor=north west] {$ c $};
   \draw (-.1,0.38) node[anchor=north west] {$\alpha$};
   \draw (-3.6,0.7) node[anchor=north west] {$\alpha$};
   \draw [fill=black] (-4.,0.) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (1.,0.) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (-2.7,2.14) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (-1.4302666725051452,1.4056136970705435) circle (1.0pt);
   \end{scope}

  2. Qual o valor de x na figura a seguir?

    .. tikz::

   \begin{scope}[scale=1.5]
   \draw[line width=0.8pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (3.4,0.21213203435596437) -- (3.1878679656440356,0.2121320343559644) -- (3.1878679656440356,0.) -- (3.4,0.) -- cycle;
   \draw[line width=0.8pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (2.8190959657167878,1.4977754801678411) -- (3.0052144904352462,1.3959919119624344) -- (3.1069980586406527,1.5821104366808925) -- (2.9208795339221947,1.6838940048862994) -- cycle;
   \draw [line width=0.8pt] (2.,0.)-- (6.,0.);
   \draw [line width=0.8pt] (3.4,2.56)-- (2.,0.);
   \draw [line width=0.8pt] (3.4,2.56)-- (3.4,0.);
   \draw [line width=0.8pt] (6.,0.)-- (2.9208795339221947,1.6838940048862994);
   \draw (2.14,1.04) node[anchor=north west] {5};
   \draw (2.86,2.34) node[anchor=north west] {2};
   \draw (2.6,-0.16) node[anchor=north west] {3};
   \draw (4.42,0.24) node[anchor=north west] {$ x $};
   \draw [fill=black] (2.,0.) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (6.,0.) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (3.4,0.) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (3.4,2.56) circle (1.0pt);
   \draw [fill=black] (2.9208795339221947,1.6838940048862994) circle (1.0pt);
   \end{scope}

Resposta

  1. A semelhança deve gerar a seguinte proporção: dfrac{b}{a}=dfrac{a+c}{b}.

    Essa relação já atende ao que foi pedido. No entanto, é possível desenvolver um pouco mais a expressão chegando a ac = b^2 - a^2

  2. A partir da proporção dfrac{5}{3}=dfrac{x+3}{7}, encontramos que 3x+9 = 35 e, portanto, x = dfrac{26}{3}

Atividade: Distância inacessível

Para o professor

Objetivos específicos

*Reconhecer a aplicação de triângulos semelhantes para o cálculo de uma distância inacessível. *Aplicar a proporcionalidade correta nos triângulos.

Observações e recomendações

*O aluno deve compreender que a resposta é uma medida aproximada. Não há sentido em fornecer diversas casas decimais. *Peça que cada aluno dê uma estimativa para a resposta apenas visualizando a figura, ainda antes do cálculo.

Carlos está em uma das margens de um rio de margens paralelas e deseja medir, aproximadamente, a largura desse rio. Como não pode fazer a medida diretamente, ele imaginou e executou o seguinte processo.

Ele procurou um ponto de referência na outra margem e encontrou, quase na beira d’água, uma pedra grande, que chamou de P.

Observe, na figura a seguir a construção de Carlos.

Carlos posicionou-se na sua margem em posição oposta à pedra e, perto da água fincou uma estaca A. Ele considerou que PA estava perpendicular ao rio e que a distância PA = L era uma boa estimativa para a largura do rio naquele ponto.

Carlos caminhou ao longo da margem do rio, e, a 16m de A fixou uma segunda estaca B. Continuou sua caminhada e, a 5m de B fixou a terceira estaca C.

A partir de C, Carlos traçou no chão uma reta perpendicular ao rio e, caminhando cuidadosamente sobre essa reta, procurou o ponto onde a estaca B escondia a pedra P atrás dela. Nesse ponto, ele fixou a estaca D. Com sua trena, ele mediu a distância entre as estacas C e D e encontrou 14,3m.

.. tikz::
   \begin{scope}[scale=1.5]
   \definecolor{zzttqq}{rgb}{0.6,0.2,0.}
   \definecolor{qqqqff}{rgb}{0.,0.,1.}
   \clip(-4.298948655452378,-2.8) rectangle (1.326727935638843,2.768904977744927);
   \draw[line width=0.8pt,color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.25](-4.496282438263946,1.999303224779813)--(-4.496282438263946,0.0062320183829793615)--(29.524061718450415,0.0062320183829793615)--(29.524061718450415,1.999303224779813);
   \draw[line width=0.8pt,color=qqqqff,fill=qqqqff,fill opacity=0.25](-4.496282438263946,1.999303224779813)--(-4.496282438263946,0.0062320183829793615)--(29.524061718450415,0.0062320183829793615)--(29.524061718450415,1.999303224779813);
   \draw [line width=0.8pt] (-3.005359036454349,2.1614014516512454)-- (-3.005359036454349,-0.18697781388803703);
   \draw [line width=0.8pt] (-3.005359036454349,-0.18697781388803703)-- (-0.992666998037822,-0.18697781388803703);
   \draw [line width=0.8pt,dash pattern=on 2pt off 2pt] (-0.992666998037822,-0.18697781388803703)-- (-0.992666998037822,-2.7303213258836285);
   \draw (-3.371479876238007,1.3) node[anchor=north west] {$ L $};
   \draw [color=qqqqff](-1.8914765051512457,1.1507679586900719) node[anchor=north west] {rio};
   \draw [fill=zzttqq] (-3.005359036454349,-0.18697781388803703) circle (1.5pt);
   \draw[color=zzttqq] (-3.075479202020655,-0.43776899294304794) node {$A$};
   \draw [fill=black] (-3.005359036454349,2.1614014516512454) circle (1.5pt);
   \draw[color=black] (-2.85841204092793,2.44330423610584) node {$P$};
   \draw [fill=zzttqq] (-1.7230794313341427,-0.18697781388803703) circle (1.5pt);
   \draw[color=zzttqq] (-1.8322763703077751,-0.4180356146618912) node {$B$};
   \draw [fill=zzttqq] (-0.992666998037822,-0.18697781388803703) circle (1.5pt);
   \draw[color=zzttqq] (-0.766673943125307,-0.22070183185032347) node {$C$};
   \end{scope}
  1. Complete a figura e coloque nela os dados do enunciado.
  2. Calcule a largura aproximada do rio.

Resposta

  1. Basta atentar para que os pontos P, B e D estejam alinhados. Colocar as medidas na figura pode também facilitar um pouco.
  2. Aqui é importante perceber que triangle ABP sim triangle BCD. Desse modo, pode-se escrever dfrac{L}{14,3}=dfrac{16}{5} e encontrar L approx 45 m