No capítulo sobre o teorema de Tales, este livro fez uma afirmação que não justificou. Sobre os triângulos que estão na figura a seguir, afirmou-se que eles não são congruentes.
.. tikz:: \begin{scope}[scale=.7] \definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39215686274509803,0.} \draw [shift={(-3.12,2.96)},line width=0.8pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-13.706961004079805:0.4013909933956407) arc (-13.706961004079805:56.29303899592019:0.4013909933956407) -- cycle; \draw [shift={(3.2665068298598277,4.71632784582858)},line width=0.8pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (167.21274687833522:0.4013909933956407) arc (167.21274687833522:238.21274687833528:0.4013909933956407) -- cycle; \draw [line width=0.8pt] (-3.12,2.96)-- (0.16,2.16); \draw [line width=0.8pt] (-3.12,2.96)-- (-1.8209561349802097,4.907321536218554); \draw [line width=0.8pt] (-1.8209561349802097,4.907321536218554)-- (0.16,2.16); \draw [line width=0.8pt] (1.4880625549427764,1.8465654931215187)-- (3.2665068298598277,4.71632784582858); \draw [line width=0.8pt] (3.2665068298598277,4.71632784582858)-- (0.9837136824628329,5.234431672164059); \draw [line width=0.8pt] (0.9837136824628329,5.234431672164059)-- (1.4880625549427764,1.8465654931215187); \draw (-3,4.3) node[anchor=north west] {\tiny 5}; \draw (1.8,5.5) node[anchor=north west] {\tiny 5}; \draw (-2,2.6) node[anchor=north west] {\tiny 7}; \draw (0.7,3.8) node[anchor=north west] {\tiny 7}; \draw (-2.9,3.4) node[anchor=north west] {\tiny $70^\circ$}; \draw (2.1,4.8) node[anchor=north west] {\tiny $70^\circ$}; \end{scope}Você, neste exercício, deve justificar por que esses triângulos não são congruentes. Se desejar, siga o roteiro:
Se dois triângulos são congruentes, seus lados são respectivamente congruentes assim como seus ângulos. Assim, se esses triângulos são congruentes devemos ter a situação da figura a seguir:
.. tikz:: \begin{scope}[scale =.8] \definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39215686274509803,0.} \draw [shift={(-3.12,2.96)},line width=0.8pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-13.706961004079805:0.40139099339564077) arc (-13.706961004079805:56.29303899592019:0.40139099339564077) -- cycle; \draw [shift={(3.2665068298598277,4.71632784582858)},line width=0.8pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (167.21274687833522:0.40139099339564077) arc (167.21274687833522:238.21274687833528:0.40139099339564077) -- cycle; \draw [shift={(-1.8209561349802097,4.907321536218554)},line width=0.8pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-123.70696100407982:0.40139099339564077) arc (-123.70696100407982:-54.20651224692482:0.40139099339564077) -- cycle; \draw [shift={(0.9837136824628329,5.234431672164059)},line width=0.8pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-81.53261016145498:0.40139099339564077) arc (-81.53261016145498:-12.787253121664788:0.40139099339564077) -- cycle; \draw [line width=0.8pt] (-3.12,2.96)-- (0.16,2.16); \draw [line width=0.8pt] (-3.12,2.96)-- (-1.8209561349802097,4.907321536218554); \draw [line width=0.8pt] (-1.8209561349802097,4.907321536218554)-- (0.16,2.16); \draw [line width=0.8pt] (1.4880625549427764,1.8465654931215187)-- (3.2665068298598277,4.71632784582858); \draw [line width=0.8pt] (3.2665068298598277,4.71632784582858)-- (0.9837136824628329,5.234431672164059); \draw [line width=0.8pt] (0.9837136824628329,5.234431672164059)-- (1.4880625549427764,1.8465654931215187); \draw (-3,4.2) node[anchor=north west] {\tiny 5}; \draw (2.0,5.4) node[anchor=north west] {\tiny 5}; \draw (-2,2.6) node[anchor=north west] {\tiny 7}; \draw (0.7,3.685696544144699) node[anchor=north west] {\tiny 7}; \draw (-2.6621758981707764,3.284305550749058) node[anchor=north west] {\tiny $70^\circ$}; \draw (2.315072419935169,4.568756729615109) node[anchor=north west] {\tiny$70^\circ$}; \draw (-2.060089408077315,4.327922133577725) node[anchor=north west] {\tiny $70^\circ$}; \draw (1.271455837106503,4.789521775982712) node[anchor=north west] {\tiny $70^\circ$}; \draw (-0.9,4.006809338861212) node[anchor=north west] {\tiny 7}; \draw (2.4,3.4247923984375324) node[anchor=north west] {\tiny 7}; \end{scope}Mostre que um triângulo com essas medidas de lados e ângulos não existe. Você pode, por exemplo, calcular o valor do cosseno do ângulo de 70^circ a partir dos elementos da figura e comparar com o valor que a sua calculadora fornece.
No trapézio ABCD os ângulos A e D são retos. Sabe-se que AB = 8 cm, AD = 4 cm e DC = CB.
- Calcule o perímetro do trapézio.
- Encontre uma aproximação em graus para a medida do menor ângulo do trapézio.
Considere o retângulo ABCD e o ponto P do lado CD. Sabe-se que o ângulo APB é reto, que DP = 4 m e PC = 9 m.
Calcule o perímetro desse retângulo.
Em um triângulo ABC os lados AB e AC medem, cada um, sqrt{2-sqrt{3}}. Se esses lados fazem, entre si, 150^circ calcule a medida do lado BC.
A figura a seguir mostra dois triângulos congruentes. Cada retângulo possui um lado igual ao triplo do outro.
.. tikz:: \begin{scope}[scale=.8] \definecolor{qqqqcc}{rgb}{0.,0.,0.8} \fill[line width=1.2pt,color=qqqqcc,fill=qqqqcc,fill opacity=0.20000000298023224] (-0.02,3.) -- (-0.02,0.) -- (0.98,0.) -- (0.98,3.) -- cycle; \fill[line width=1.2pt,color=qqqqcc,fill=qqqqcc,fill opacity=0.20000000298023224] (0.98,1.) -- (0.98,0.) -- (3.98,0.) -- (3.98,1.) -- cycle;\draw [line width=1.2pt,color=qqqqcc] (-0.02,3.)-- (-0.02,0.); \draw [line width=1.2pt,color=qqqqcc] (-0.02,0.)-- (0.98,0.); \draw [line width=1.2pt,color=qqqqcc] (0.98,0.)-- (0.98,3.); \draw [line width=1.2pt,color=qqqqcc] (0.98,3.)-- (-0.02,3.); \draw [line width=1.2pt,color=qqqqcc] (0.98,1.)-- (0.98,0.); \draw [line width=1.2pt,color=qqqqcc] (0.98,0.)-- (3.98,0.); \draw [line width=1.2pt,color=qqqqcc] (3.98,0.)-- (3.98,1.); \draw [line width=1.2pt,color=qqqqcc] (3.98,1.)-- (0.98,1.); \draw[color=black] (-0.16902082076290637,-0.2) node {\tiny $A$}; \draw[color=black] (4.1,1.2) node {\tiny $C$}; \draw[color=black] (1.1,3.15) node {\tiny $B$}; \end{scope}- Calcule o cosseno do ângulo BAC.
- Dê uma aproximação com 1 decimal para a medida desse ângulo.
No triângulo ABC, o ângulo A mede 95^circ, o ângulo B mede 60^circ e o lado AB mede 1000 (em certa unidade). Determine valores aproximados, em números inteiros para as medidas dos lados AC e BC.
No triângulo ABC o ângulo B mede 60^circ e os lados AC e BC medem 7cm e 8 cm, respectivamente.
Quanto mede o lado AB?
Você encontrou dois valores possíveis para o lado AB. Vamos entender isso.
Faça uma construção geométrica desse triângulo utilizando seus instrumentos de desenho ou no computador, com um programa de geometria dinâmica. Siga o roteiro a seguir.
- Com a régua desenhe na sua folha de papel o segmento BC de 8cm.
- Com seu esquadro desenhe a semirreta BX formando 60^circ com BC.
- Para encaixar o lado AC, abra o compasso com abertura 7cm (use a régua) e, com centro em C, desenhe um arco de circunferência cortando a semirreta BX.
O seu arco cortou a semirreta BX em dois pontos: A e A’. Isto significa que existem dois triângulos que cumprem as condições do enunciado: o triângulo ABC e o triângulo A’BC. Por isso, você encontrou duas respostas para o item a). Quanto medem os segmentos AB e A’B?
A imagem abaixo é a de um moderno teodolito eletrônico que mede ângulos com precisão de 0,0005^circ.
Foto de Pierre CC BY-SA.
Vamos usar esse teodolito para medir uma distância completamente inacessível: o raio da Terra.
Para isso, precisamos levar o teodolito para um lugar alto, com altura conhecida em relação ao nível do mar. Com uma única medição você vai se surpreender com o poder da trigonometria, mas um pouco de imaginação, ou criatividade, é tembém necessária.
Vamos considerar a Terra como uma esfera de centro C e raio R, e um ponto P situado a uma altura h em relação ao nível do mar.
O teodolito está localizado em P e sua luneta está em posição horizontal. Devemos explicar que a reta CP é chamada de “reta vertical” nesse ponto P, e qualquer reta perpendicular a CP é chamada de “reta horizontal” nesse ponto. Portanto, no desenho a seguir a reta PX, perpendicular a CP é uma reta horizontal.
.. tikz:: \definecolor{qqwuqq}{rgb}{0.,0.39215686274509803,0.} \definecolor{ffqqqq}{rgb}{1.,0.,0.} \definecolor{qqzzqq}{rgb}{0.,0.6,0.} \definecolor{qqqqcc}{rgb}{0.,0.,0.8} \draw [line width=1.2pt,color=qqqqcc,fill=qqqqcc,fill opacity=0.15000000596046448] (0.,0.) circle (3.14cm); \draw[line width=0.8pt,fill=black,fill opacity=0.10000000149011612] (1.2791509186598562,2.87645284338141) -- (1.1732863105725637,2.677956703217737) -- (1.371782450736237,2.572092095130444) -- (1.4776470588235295,2.7705882352941176) -- cycle; \draw [shift={(0.,3.558666666666667)},line width=0.8pt,color=qqwuqq,fill=qqwuqq,fill opacity=0.10000000149011612] (0,0) -- (-28.072486935852965:0.6362894492625363) arc (-28.072486935852965:0.:0.6362894492625363) -- cycle; \draw [line width=0.8pt] (0.,0.)-- (1.4776470588235295,2.7705882352941176); \draw [line width=2.pt,color=qqzzqq] (0.,3.558666666666667)-- (0.,3.14); \draw [line width=0.8pt] (0.,3.14)-- (0.,0.); \draw [line width=0.8pt] (-0.6070666666666666,3.558666666666667)-- (3.0562666666666667,3.558666666666667); \draw [line width=0.8pt] (0.,3.558666666666667)-- (3.1597636475527118,1.8734593879718868); \draw [color=ffqqqq](2.49725428013766,2.919836788377576) node[anchor=north west] {horizonte}; \draw [->,line width=0.8pt,color=ffqqqq] (2.38,2.7636289449262534) -- (1.4776470588235295,2.7705882352941176); \draw [color=qqwuqq](-0.4,3.65) node[anchor=north west] {\small $ h $}; \draw (-0.6,2.1987087458800367) node[anchor=north west] {$ R $}; \draw (0.864111360363817,1.9017736695575203) node[anchor=north west] {$ R $}; \draw (2.6,3.5) node[anchor=north west] {X}; \begin{scriptsize} \draw [fill=black] (0.,0.) circle (1.5pt); \draw[color=black] (-0.238790351691246,-0.22979598547197205) node {$C$}; \draw [fill=black] (0.,3.14) circle (1.0pt); \draw [fill=qqqqcc] (0.,3.558666666666667) circle (1.5pt); \draw[color=qqqqcc] (-0.026693868603733892,3.884875786425755) node {$P$}; \draw [fill=qqqqcc] (1.4776470588235295,2.7705882352941176) circle (1.5pt); \draw[color=qqqqcc] (1.479191161317602,3.0789091506932103) node {$H$}; \draw[color=qqwuqq] (.8,3.4) node {$\alpha$}; \end{scriptsize}Em dia claro, um observador em P, olhando pela luneta do teodolito na posição horizontal PX, só vê o céu.
Para quem olha para o mar, o “horizonte” é o ponto do mar mais afastado que conseguimos ver, é o ponto onde o céu encontra o mar. Na figura mostrada, para o observador que está em P, o ponto H é um ponto do horizonte. Entretanto, como na direção PX o observador só vê o céu, ele precisa baixar ligeiramente a luneta do teodolito para ver o horizonte. Assim, o teodolito consegue medir com precisão o ângulo XPH =alpha.
Determine R em função de h e alpha
Vamos medir agora o raio da Terra.
No Rio de Janeiro, no famoso morro do Corcovado, a base da estátua está precisamente a 710m acima do nível do mar.
Foto de Gustavo Facci CC BY-SA.
Nesse pátio onde você vê as pessoas, o teodolito foi posicionado e, em diversas direções, é possível ver o horizonte no mar. A imagem a seguir mostra uma dessas direções. Nessa foto o Pão de Açúcar está no centro, abaixo está a enseada de Botafogo, e à direita, um pequeno pedaço do horizonte.
Foto de Halley Pacheco de Oliveira CC BY-SA.
Sabendo que o teodlito mediu alpha=0,8555^circ e que h=710 m, encontre um valor aproximado para o raio da Terra.
