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ML-2.5 Sparse Matrices in SciPy.md

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原文

##2.5.1 sparse matrix 稀疏矩阵 为什么是稀疏矩阵，省内存，空间，计算更有效率

###2.5.1.3 稀疏矩阵典型应用 1 求解偏微分方程partial differential equations

  • 有限元方法 the finite element method,
  • 机械工程，电子, 物理

2 图像理论

  • nonzero at (i, j) means that node i is connected to node j

###2.5.1.4

import numpy as np
import scipy.sparse
import scipy.sparse as sps
import matplotlib.pyplot as plt

###2.5.1.5 稀疏结构可视化

  • spy() from matplotlib
plt.clf()
plt.spy(mtx, marker='.', markersize=2)
plt.show()

##2.5.2 存储方案

  • scipy.sparse中共有7种存储方式的稀疏矩阵，适合不同的场合。 csc_matrix: Compressed Sparse Column format csr_matrix: Compressed Sparse Row format bsr_matrix: Block Sparse Row format lil_matrix: List of Lists format dok_matrix: Dictionary of Keys format coo_matrix: COOrdinate format (aka IJV, triplet format) dia_matrix: DIAgonal format

  • 注意 * 符号作为矩阵乘法，不是numpy的一部分，把稀疏矩阵传给numpy 不会起作用。

###2.5.2.1 通用方法

所有scipy.sparse 类 都是 spmatrix的子类

  • 默认算数操作的实现，总是会把矩阵转为CSR 压缩的稀疏行
  • shape, data type set/get
  • nonzero indices
  • 格式转换，和NumPy 交互(toarray(), todense())

属性 attributes

  • mtx.A - same as mtx.toarray()
  • mtx.T - transpose (same as mtx.transpose())
  • mtx.H - 厄米特矩阵 Hermitian (conjugate) transpose
  • mtx.real - real part of complex matrix
  • mtx.imag - imaginary part of complex matrix
  • mtx.size - the number of nonzeros (same as self.getnnz())
  • mtx.shape - the number of rows and columns (tuple)

数据经常 stored in NumPy arrays

##2.5.3 解线性系统

  • 稀疏 矩阵/特征值的解法，都在scipy.sparse.linalg
  • the submodules: dsolve: 直接因式分解 isolve: 迭代法解 eigen: 稀疏特征值问题求解

###2.5.3.1. Sparse Direct Solvers

  • 默认解法: SuperLU 4.0
  • 可选: umfpack , 效率推荐scikits.umfpack

####2.5.3.1.1. Examples

  • import整个module, 看它的文档
>>> from scipy.sparse.linalg import dsolve
>>> help(dsolve)
  • superlu 和 umfpack 都可以用

准备一个线性系统

>>> import numpy as np
>>> from scipy import sparse
>>> mtx = sparse.spdiags([[1, 2, 3, 4, 5], [6, 5, 8, 9, 10]], [0, 1], 5, 5)
>>> mtx.todense()
matrix([[ 1,  5,  0,  0,  0],
        [ 0,  2,  8,  0,  0],
        [ 0,  0,  3,  9,  0],
        [ 0,  0,  0,  4, 10],
        [ 0,  0,  0,  0,  5]])
>>> rhs = np.array([1, 2, 3, 4, 5])

双精度实数解

>>> mtx2 = mtx.astype(np.float64)
>>> x = dsolve.spsolve(mtx2, rhs, use_umfpack=True)
>>> print x
[ 106.   -21.     5.5   -1.5    1. ]
>>> print "Error: ", mtx2 * x - rhs
Error:  [ 0.  0.  0.  0.  0.]

###2.5.3.2. 迭代解

  • isolve 模块包含以下解法: bicg (BIConjugate Gradient) bicgstab (BIConjugate Gradient STABilized) cg (Conjugate Gradient) - symmetric positive definite matrices only cgs (Conjugate Gradient Squared) gmres (Generalized Minimal RESidual) minres (MINimum RESidual) qmr (Quasi-Minimal Residual)

2.5.3.2.1. 通用参数

2.5.3.2.2. LinearOperator Class

from scipy.sparse.linalg.interface import LinearOperator
  • 矩阵 向量 乘法的通用接口
  • shape and matvec() (+ some optional parameters)
  • 例子

2.5.3.3. 特征向量 相关问题解法

####2.5.3.3.1. eigen 模块

  • ARPACK 为解决大型特征值问题而设计的Fortran77的子程序的集合
  • lobpcg（局部最优座预处理共轭梯度法）