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<head>
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<title>圏論勉強会 第1回 @ ワークスアプリケーションズ</title>
<meta name="description" content="Seminar of category theory">
<meta name="author" content="Koichi Nakamura">
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<div class="reveal">
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<div class="slides">
<section>
<h1>圏論勉強会<br>第1回</h1>
<h3>@ワークスアプリケーションズ</h3>
<small> 中村晃一 <br> 2013年5月16日</small>
</section>
<section>
<h3>謝辞</h3>
<p>
この会の企画・会場設備の提供をして頂きました<br>
㈱ ワークスアプリケーションズ様<br>
にこの場をお借りして御礼申し上げます。
</p>
</section>
<section>
<h3> 自己紹介 </h3>
<ul>
<li> 中村晃一</li>
<li> 東京大学 大学院 情報理工学系研究科<br>
コンピュータ科学専攻 後期博士課程 2年</li>
<li> プログラム最適化・言語処理系の実装技術・人間と言語の関係等に興味があります。</li>
<li> twitter: <a href="http://twitter.com/9_ties">@9_ties</a></li>
</ul>
</section>
<section>
<h2> はじめに </h2>
</section>
<section>
<h3> この会について </h3>
<ul>
<li> <span style="color:red">圏論(category theory)</span>を題材にいろんなことを学びます。</li>
<li> 分かり易さを重視して初歩的な例を多用します。</li>
<li> 関数型言語の経験がある方がより楽しめると思います。資料中では主にHaskellを使います。 </li>
<li> この資料は<a href="http://nineties.github.com/category-seminar/">http://nineties.github.com/category-seminar</a>に置いてあります。</li>
</ul>
</section>
<section>
<h3> 参考書 </h3>
<ul>
<li> 私はSteve Awodey著「Category Theory」で学びました。</li>
<li> 数学を専攻していない人でも読めるように書かれています。</li>
<li> pdf: <a href="http://www.andrew.cmu.edu/course/80-413-713/notes/">
http://www.andrew.cmu.edu/course/80-413-713/notes/
</a> </li>
</ul>
<div align="center"><img height="50%" src="http://images-jp.amazon.com/images/P/0199237182" alt="Category Theory"></div>
</section>
<section>
<h3> 参考書 </h3>
<ul>
<li> 資料中の日本語表現はS.マックレーン著 三好博之/高木理訳「圏論の基礎」に倣います。 </li>
<li> 数学専攻者向けです。 </li>
</ul>
<div align="center"><img height="50%" src="http://images-jp.amazon.com/images/P/4621063243" alt="圏論の基礎"></div>
</section>
<section>
<h2> 第１回:圏論って何? </h2>
</section>
<section>
<h3> 第1回の内容</h3>
<p>
初回は「圏論とはどのような学問なのか？」がなんとなく解るように,一部の重要な題材をピックアップしてざっと紹介します。
</p>
</section>
<section>
<h3> 具体例から始めよう </h3>
</section>
<section>
<h3> 「対」とは何か? </h3>
<p>
データ型$A$,$B$があるとします。この時，$A$と$B$の<span style="color:red">対(pair)</span>を表すデータ型Pとはどのようなものでしょうか？
</p>
<pre><code data-trim class="no-highlight" style="font-size:120%" contenteditable>
Haskellだと
type P = (A, B)
とか
data P = Pair A B
など。
C言語なら
struct P {
A first;
B second;
};
など。
フィールドの名前や順番はどうでも良いので
struct P {
B bar;
A foo;
};
とかでも良い。
例えばA,Bがdouble型なら,複素数型
double _Complex
も対と見なせる。
例えばA,Bが16bit自然数ならばビット演算を使って
(a << 16) | b
も対と見なせる。
このように対の具体例は"いくらでもある"のだけど結局対とは何？
</code></pre>
</section>
<section>
<h3> 定義が必要! </h3>
<p>
抽象的な概念の具体例を挙げる事はいくらでも可能ですが,例示による曖昧な理解のままでは先に進めません。
<span style="color:red">定義</span>を定める事が必要です。
</p>
</section>
<section>
<h3> 定義の抽象性が重要 </h3>
<p> より抽象的な定義はより多くの具体例を包括します。 </p>
<p> データの構造に依らない「対」の定義を考えましょう。 </p>
</section>
<section>
<p>
まず$P$はそれから$A$,$B$型のデータを得る特定の関数を備えているはずです。
これらを$\mathrm{first}$と$\mathrm{second}$と呼ぶことにします。
</p>
<div class="fragment">
<p>
この事は,以下のような<span style="color:red">図式(diagram)</span>で表現できます。
</p>
<div align="center"> <img src="fig/product1.png"> </div>
</div>
</section>
<section>
<p> A,B型への関数を持つデータ型は無数に存在しますので,これだけでは定義になりません。</p>
<div align="center"> <img src="fig/product2.png"> </div>
</section>
<section>
<p>
ある型からA,B型への関数も無数に存在し得ますので$\mathrm{first}$,$\mathrm{second}$の特徴付けが必要です。
</p>
<div align="center"> <img src="fig/product3.png"> </div>
</section>
<section>
<div align="left" style="height:3em">
そこで，任意の型$X$と任意の関数$f: X\rightarrow A$，$g: X\rightarrow B$に対して以下の図式を考えます。
</div>
<div align="center"> <img src="fig/product4.png"></div>
</section>
<section>
<div align="left" style="height:3em">
$X$から$A$,$B$の値を作れるなら，それらの値を対にする関数$u$が存在するはずです。
</div>
<div align="center"> <img src="fig/product5.png"></div>
</section>
<section>
<div align="left" style="height:3em">
このとき，$u$で対にして$\mathrm{first}$で取り出す事は，$f$と等しく
</div>
<div align="center"> <img src="fig/product6.png"> </div>
</section>
<section>
<div align="left" style="height:3em">
$\mathrm{second}$で取り出す事は，$g$と等しくなければいけません。
</div>
<div align="center"> <img src="fig/product7.png"> </div>
</section>
<section>
<p>
この事は関数合成の記号$\circ$を用いると
</p>
<div align="center"> $\mathrm{first} \circ u = f \qquad \mathrm{second} \circ u = g$ </div>
<p>
と表す事ができます。
</p>
<div class="fragment">
<p>
または「以下の図式が<span style="color:red">可換(commutative)</span>である」と言います。
</p>
<div align="center"> <img src="fig/product5.png"> </div>
</div>
</section>
<section>
<h3> $u$の唯一性 </h3>
<p>
$P$が対でなくても図式は可換になり得ます。例えば$u$が余分なデータを付け足し$\mathrm{first}$,$\mathrm{second}$がそれを捨てる場合などです。
</p>
<p class="fragment">
余分なデータがあれば,その生成方法がいくつかあるので$u$は唯一に定まりません。
従って,$f$,$g$に対して<span style="color:red">$u$が唯一である</span>事を要請する必要がありそうです。
</p>
</section>
<section>
<h3> 「対」の定義 </h3>
<div class="definition">
<p style="font-size:90%">
型$A$,$B$の対とは<span style="color:transparent">型$P$,関数$\mathrm{first}: P\rightarrow A$，$\mathrm{second}: P\rightarrow B$からなり,
任意の型$X$と任意の関数$f: X\rightarrow A$, $g: X\rightarrow B$に対して，以下の図式が可換となるような
$u: X\rightarrow P$が唯一つ存在するものである。</span>
</p>
<div align="center"> <img height="45%" src="fig/product5-2.png"> </div>
</div>
</section>
<section>
<h3> 「対」の定義 </h3>
<div class="definition">
<p style="font-size:90%">
型$A$,$B$の対とは型$P$,関数$\mathrm{first}: P\rightarrow A$，$\mathrm{second}: P\rightarrow B$からなり,
<span style="color:transparent">任意の型$X$と任意の関数$f: X\rightarrow A$, $g: X\rightarrow B$に対して，以下の図式が可換となるような
$u: X\rightarrow P$が唯一つ存在するものである。</span>
</p>
<div align="center"> <img height="45%" src="fig/product5-3.png"> </div>
</div>
</section>
<section>
<h3> 「対」の定義 </h3>
<div class="definition">
<p style="font-size:90%">
型$A$,$B$の対とは型$P$,関数$\mathrm{first}: P\rightarrow A$，$\mathrm{second}: P\rightarrow B$からなり,
任意の型$X$と任意の関数$f: X\rightarrow A$, $g: X\rightarrow B$に対して，<span style="color:transparent">以下の図式が可換となるような
$u: X\rightarrow P$が唯一つ存在するものである。</span>
</p>
<div align="center"> <img height="45%" src="fig/product5-4.png"> </div>
</div>
</section>
<section>
<h3> 「対」の定義 </h3>
<div class="definition">
<p style="font-size:90%">
型$A$,$B$の対とは型$P$,関数$\mathrm{first}: P\rightarrow A$，$\mathrm{second}: P\rightarrow B$からなり,
任意の型$X$と任意の関数$f: X\rightarrow A$, $g: X\rightarrow B$に対して，以下の図式が可換となるような
$u: X\rightarrow P$が唯一つ存在するものである。
</p>
<div align="center"> <img height="45%" src="fig/product5.png"> </div>
</div>
</section>
<section>
<h3> 普遍性による定義 </h3>
<p style="font-size:90%">
ここでは,全ての$(f,g)$が$P$を経由して$u$と$(\mathrm{first},\mathrm{second})$に<span style="color:red">一意的に分解</span>される事を要請しています。
この性質を$P$,$\mathrm{first}$,$\mathrm{second}$の<span style="color:red">普遍性</span>と言います。<br>
後で説明しますがこのように定義すると$P$が(同型という対応を除いて)一意的に定義されます。
</p>
<div align="center"> <img height="45%" src="fig/product5.png"> </div>
</section>
<section>
<h3> 抽象化の力 </h3>
</section>
<section>
<p>
今の例において
</p>
<ul>
<li> $P$,$A$,$B$,$X$が型であるという事 </li>
<li> $\mathrm{first}$, $\mathrm{second}$, $u$, $f$, $g$が関数であるという事 </li>
<li> $\circ$が関数合成であるという事 </li>
</ul>
<p>
は本質的ではありません。
</p>
<p class="fragment">
使われている語彙は何らかの「もの」と「矢印」と「矢印の連結」です。
</p>
</section>
<section>
<h3> 「対」のアナロジー </h3>
<p> アナロジー的に </p>
<ul>
<li> 「もの」をある集合$X$の部分集合 </li>
<li> 「矢印」を集合の包含関係 </li>
<li> 「矢印の連結」を包含関係の合成
$$A \subseteq B, B\subseteq C\,\text{ならば}\,A \subseteq C$$
</li>
</ul>
<p>
とすると「対」の概念は何に対応するか考えてみます。
</p>
<p class="fragment">
例として$X=\{1,2,3\}$の時を考えます。
</p>
</section>
<section>
<div align="left" style="height:3em">
下図では別の矢印をつなげて作れる矢印は省略してます。
</div>
<div align="center"> <img height="80%" src="fig/product9.png"> </div>
</section>
<section>
<div align="left" style="height:3em">
$\{1,2\}$と$\{1,3\}$の「対」を考えてみましょう。これらへ向かう矢印を持つ集合は
</div>
<div align="center"> <img height="80%" src="fig/product10.png"> </div>
</section>
<section>
<div align="left" style="height:3em">
$\{1,2\}$と$\{1,3\}$に向かう矢印を持つ集合は$\{1\}$と
</div>
<div align="center"> <img height="80%" src="fig/product11.png"> </div>
</section>
<section>
<div align="left" style="height:3em">
$\{1,2\}$と$\{1,3\}$に向かう矢印を持つ集合は$\{1\}$と$\emptyset$です。
</div>
<div align="center"> <img height="80%" src="fig/product12.png"> </div>
</section>
<section>
<div align="left" style="height:3em">
$\emptyset$,$\{1\}$それぞれからの矢印は,$\{1\}$を介して一意的に分解する事が出来ます。
</div>
<div align="center"> <img height="80%" src="fig/product13.png"> </div>
</section>
<section>
<p>
つまり$\{1, 2\}$と$\{1, 3\}$の「対」に相当するものは$\{1\}$です。
</p>
<p class="fragment">
実は,「集合と包含関係」の場合の「対」に対応する概念は「<span style="color:red">$A$,$B$の共通部分</span>」となります。
</p>
</section>
<section>
<h3> 「対」のアナロジー(その2) </h3>
<p>
今度は
</p>
<ul>
<li> 「もの」を整数 </li>
<li> 「矢印」を「$\leqq$」 </li>
<li> 「矢印の連結」を「$\leqq$」の合成
$$ a \leqq b, b \leqq c\,\text{ならば}\,a\leqq c$$
</li>
</ul>
<p>
に置き換えてみます。
</p>
<p class="fragment">
具体例として$4$と$6$の「対」を考えます。
</p>
</section>
<section>
<div align="left" style="height:3em">
ここでも別の矢印をつなげて作れる矢印は省略してます。
</div>
<div align="center"> <img src="fig/product14.png"> </div>
</section>
<section>
<div align="left" style="height:3em">
$4$,$6$への矢印を備えるのは$\cdots,-1,0,1,2,3,4$です。<br>
このうち「対」と同じ普遍性の条件を満たすのは$4$です。
</div>
<div align="center"> <img src="fig/product15.png"> </div>
</section>
<section>
<p>
つまり$4$と$6$の「対」に相当するものは$4$です。
</p>
<p class="fragment">
実は,「整数と順序」の場合の「対」に対応する概念は「<span style="color:red">$\min\{A,B\}$</span>」となります。
</p>
</section>
<section>
<h3> 素朴な定義では共通性が見えないが </h3>
<p style="height:5em; border:3px solid #C0C0C0; padding:1em">
$A$,$B$の共通部分とは$A$,$B$の両方に含まれる要素全てからなる集合である。
</p>
<p style="height:5em; border:3px solid #C0C0C0; padding:1em">
$\min\{A,B\}$とは$A$,$B$のうち小さい方である。
</p>
</section>
<section>
<h3> 言葉を変えると共通性が見える </h3>
<p style="height:5em; border:3px solid #C0C0C0; padding:1em">
集合$A$,$B$の共通部分$P$とは$P\subseteq A$,$P\subseteq B$であって,$X\subseteq A$,$X\subseteq B$であるような任意の$X$に対して$X \subseteq P$となる集合の事である。
</p>
<p style="height:5em; border:3px solid #C0C0C0; padding:1em">
整数$A$,$B$の最小値$M$とは$M\leqq A$,$M\leqq B$であって,$X\leqq A$,$X\leqq B$であるような任意の$X$に対して$X \leqq M$となる整数の事である。
</p>
</section>
<section>
<p>
一見すると無関係な3つの概念が,同じ言葉で説明できる事を見ました。
</p>
<div align="center">
<table border="3">
<tr><td> 型と関数</td><td>・・・ </td><td> 対 </td></tr>
<tr><td> 集合と包含関係</td><td>・・・ </td><td> 共通部分 </td></tr>
<tr><td> 整数と順序</td><td>・・・ </td><td> 小さい方 </td></tr>
</table>
</div>
<p>
圏論的な定式化は後でやりますが,これらを圏論では
<span style="color:red">積(product)</span>と呼びます。
</p>
</section>
<section>
<h3> 抽象化の力 </h3>
<p>
概念を「内部の構造」ではなく「外部との関係」によって特徴付ける事によって
</p>
<ul>
<li> 概念の背後にある本質的な性質が見えてくる。 </li>
<li> 概念から概念への強力なアナロジーが可能になる。 </li>
</ul>
<p>
という事が解ります。
</p>
</section>
<section>
<h3> 圏論を学ぶ意義 </h3>
<p>
良い言葉を使う事は良い思考をする事を助けます。様々な抽象概念を明快に記述する為の体系として圏論は良い選択肢であると思います。
圏論の概念を積極的に利用するHaskellなどを使う場合はもちろん,それ以外の言語を使う場合やプログラミング以外の場面においても役に立つと思います。
</p>
</section>
<section>
<h2> 圏 </h2>
</section>
<section id="category">
<h3> 圏の定義 </h3>
<div class="definition">
<p>
<span style="color:red">圏(category)</span>とは
</p>
<ul>
<li> 対象(object):$A,B,C,\cdots$ </li>
<li> 射(arrow,morphism):$f,g,h,\cdots$ </li>
<li> 射の合成(composition): $\circ$ </li>
</ul>
<p>
からなり,以後の条件を全て満たすものである。
</p>
</div>
</section>
<section>
<div class="definition">
<p>
任意の射$f$には
</p>
<ul>
<li> ドメイン(domain): $\mathrm{dom}(f)$ </li>
<li> コドメイン(codomain): $\mathrm{cod}(f)$ </li>
</ul>
<p>
という２つの対象が備わる。<br>
$\mathrm{dom}(f) = A$,$\mathrm{cod}(f) = B$である事を $ f: A\rightarrow B$ と表す。
</p>
<div align="center"> <img src="fig/category1.png"> </div>
</div>
</section>
<section>
<div class="definition">
<p> 射$f:A\rightarrow B$,$g:B\rightarrow C$が存在するならば, </p>
<ul>
<li> 合成射(composite) $ g\circ f: A \rightarrow C $ </li>
</ul>
<p>
も存在する。
</p>
<div align="center"> <img src="fig/category2.png"> </div>
</div>
</section>
<section>
<div class="definition">
<p> 任意の射$f: A \rightarrow B$, $g: B \rightarrow C$, $h: C \rightarrow D$に対して 結合律(associative law) </p>
<div align="center"> $ (h\circ g)\circ f = h \circ (g\circ f)$ </div>
<p> が成り立つ。すなわち,下図が可換である。</p>
<div align="center"> <img height="55%" src="fig/category4.png"> </div>
</div>
</section>
<section>
<div class="definition">
<p> 任意の対象$A$に対して </p>
<ul>
<li> 恒等射(identity) $ 1_A: A \rightarrow A $ </li>
</ul>
<p> が存在し,任意の$f: A \rightarrow B$に対して単位元律(<span style="font-size:80%">identity law</span>) </p>
<div align="center"> $ f\circ 1_A = 1_B \circ f = f $ </div>
<p> が成り立つ。すなわち,右下図が可換である。</p>
<div align="center"> <img height="45%" src="fig/category3.png"> </div>
</div>
</section>
<section>
<p> 端的に言うと,圏とは </p>
<ul>
<li> 対象の集まりと </li>
<li> 対象から対象への射の集まりからなり </li>
<li> 同じ対象に出入りする射の対は必ず合成でき </li>
<li> 射はどこから合成してもよく </li>
<li> 恒等射がある </li>
</ul>
<p> ものです。</p>
</section>
<section>
<h3> 先ほどの例における恒等射 </h3>
<ul>
<li> 型と関数の圏
$$ \text{恒等関数}\ 1_A(x) = x $$
</li>
<li> 集合と包含関係の圏
$$A \subseteq A$$
</li>
<li> 整数と順序の圏
$$A \leqq A$$
</li>
</ul>
</section>
<section>
<h3> 恒等射の一意性 </h3>
<p>
対象$A$についての恒等射を<span style="color:red">$1_A$</span>と表せるのは,
任意の$A$について<span style="color:red">恒等射が一意に定まる</span>からです。
</p>
<div class="fragment">
<p style="font-size:80%">
<img width="40%" src="fig/id_is_uniq.png" align="right" hspace="20">
【一意性の証明】<br>
$1_A,1'_A: A\rightarrow A$が共に恒等射だとする。<br>
恒等射の性質より右図の上半分,下半分はどちらも可換だから
$$ 1_A = 1'_A $$
となる。つまり恒等射は一意に定まる。<span style="float:right">□</span>
</p>
</div>
<br clear="right">
<p class="fragment">
このような証明スタイルを<span style="color:red">diagram chasing</span>といいます。
</p>
</section>
<section id="product">
<h3> 積の定義</h3>
<div class="definition">
<p>
対象$A$,$B$の積とは対象$P$,射$p_1: P\rightarrow A$，$p_2: P\rightarrow B$からなり,
任意の対象$X$と任意の射$f: X\rightarrow A$, $g: X\rightarrow B$に対して，以下の図式が可換となるような
$u: X\rightarrow P$が唯一つ存在するものである。
</p>
<div align="center"> <img src="fig/product.png"> </div>
</div>
</section>
<section>
<h2> 同型 </h2>
</section>
<section>
<h3> 同型とは </h3>
<p>
あるものとあるものの「等しさ」というのは曖昧な概念です。<br>
例えば集合$\{0, 1, 2\}$と$\{1, 3, 5\}$は異なりますが
「要素の数」という観点では<span style="color:red">ある意味等しい</span>です。
</p>
<p class="fragment">
圏論には「～と～がある意味等しい」という事について正確に述べる為の様々な言葉が登場しますが,「同型」もその一つです。
</p>
</section>
<section id="isomorphism">
<h3> 同型の定義 </h3>
<div class="definition">
<p>
$f: A\rightarrow B$に対して,$g: B\rightarrow A$が存在し,
</p>
<div align="center"> $ g\circ f = 1_A\qquad f\circ g = 1_B$ </div>
<p>
が成り立つならば$f$を<span style="color:red">同型射(isomorphism)</span>と呼ぶ。<br>
また,圏$\mathbf{C}$において$A$と$B$の間に同型射が存在するならば,$\mathbf{C}$において$A$は$B$と<span style="color:red">同型(isomorphic)</span>であると言い,
$$ A \cong B$$
と表す。
</p>
<div align="center"><img src="fig/inverse.png"> </div>
</div>
</section>
<section>
<ul>
<li> 対象: 集合 </li>
<li> 射: 恒等関数のみ </li>
</ul>
<p>
からなる圏では$\{0,1,2\}$と$\{1,3,5\}$は非同型です。
</p>
<div align="center"><img src="fig/iso_example1.png"> </div>
<p>
注: 同じ色の矢印を全部合わせて1つの関数(射)です。
</p>
</section>
<section>
<ul>
<li> 対象: 集合 </li>
<li> 射: 任意の関数 </li>
</ul>
<p>
からなる圏では$\{0,1,2\}$と$\{1,3,5\}$は同型です。
</p>
<div align="center"><img src="fig/iso_example2.png"> </div>
<p>
注: この図にあるのは同型射のうちの1つ(全部で6つ)です。
</p>
</section>
<section id="inverse">
<h3> 逆射 </h3>
<div class="definition">
<p>
$f: A\rightarrow B$が同型射ならば
</p>
<div align="center"> $ g\circ f = 1_A\qquad f\circ g = 1_B$ </div>
<p>
となる$g$は一意に定まる。このような$g$を<span style="color:red">逆射(inverse)</span>と言い$f^{-1}$と表す。
</p>
</div>
<div class="fragment">
<p style="font-size:80%">
<img width="50%" src="fig/inv_is_uniq5.png" align="right" hspace="20">
【一意性の証明】<br>
$g, h: B\rightarrow A$が$f$の逆射であるとすると右図が可換となるから,
$$ g = h $$
となる。つまり逆射は一意に定まる。
<span style="float:right">□</span>
</p>
</div>
</section>
<section>
<h2> 函手 </h2>
</section>
<section>
<h3> 函手とは </h3>
<p>
<span style="color:red">函手(functor)</span>とはある圏からある圏への
<span style="color:red">構造を保つ</span>マッピングの事です。複数の圏にまたがる議論を可能にする非常に便利な道具です。
</p>
<div class="fragment">
<p>
ところで圏の構造とは
</p>
<ul>
<li> 対象 </li>
<li> ドメインとコドメインを備えた射 </li>
<li> 射の合成 </li>
<li> 恒等射 </li>
</ul>
<p>
の事でした。
</p>
</div>
</section>
<section>
<h3> 函手とは </h3>
<p> 圏$\mathbf{C}$から圏$\mathbf{D}$への函手$F: \mathbf{C}\rightarrow\mathbf{D}$とは</p>
<div align="center"><img src="fig/functor9.png"> </div>
</section>
<section>
<h3> 函手とは </h3>
<p> $\mathbf{C}$の全ての対象を$\mathbf{D}$の対象へ移し </p>
<div align="center"><img src="fig/functor7.png"> </div>
</section>
<section>
<h3> 函手とは </h3>
<p style="font-size:90%"> ドメイン・コドメインを保って$\mathbf{C}$の全ての射を$\mathbf{D}$の射へ移し,</p>
<div align="center"><img src="fig/functor8.png"> </div>
</section>
<section>
<h3> 函手とは </h3>
<p> このとき,射の合成関係と </p>
<div align="center"><img src="fig/functor5.png"> </div>
</section>
<section>
<h3> 函手とは </h3>
<p> 恒等射を保つものです。 </p>
<div align="center"><img src="fig/functor6.png"> </div>
</section>
<section>
<p> 例えば$\mathbf{C}$と$\mathbf{D}$が下図のような圏ならば, </p>
<div align="center"><img src="fig/functor1.png"> </div>
</section>
<section>
<p> このようなマッピングが函手の例です。 </p>
<div align="center"><img src="fig/functor4.png"> </div>
</section>
<section id="functor">
<h3> 函手の定義 </h3>
<div class="definition">
<p> 圏$\mathbf{C}$から圏$\mathbf{D}$への函手$F: \mathbf{C}\rightarrow\mathbf{D}$とは
$\mathbf{C}$の各対象$A$に$\mathbf{D}$の対象$F(A)$を対応付け,
$\mathbf{C}$の各射$f: A\rightarrow B$に$\mathbf{D}$の射$ F(f): F(A) \rightarrow F(B) $を
対応付ける2つの関数の組であり,以下の条件を満たすものである。 </p>
<div align="left">
<ul>
<li> 任意の$\mathbf{C}$の射$f: A\rightarrow B$, $g: B\rightarrow C$に対して
$$ F(g\circ f) = F(g) \circ F(f) $$
</li>
<li> 任意の$\mathbf{C}$の対象$A$に対して
$$ F(1_A) = 1_{F(A)} $$
</li>
</ul>
</div>
</div>
</section>
<section>
<h3> 函手は可換図式を保つ </h3>
<div align="left">
<p>
函手は合成射と恒等射を保つので,可換図式も保ちます。
</p>
</div>
<div align="left" class="fragment" style="font-size:80%">
<p>
例えば,下図の上の図式が可換ならば下の図式も可換です。
</p>
<div align="center"><img height="50%" src="fig/inverse_is_preserved.png"> </div>
<p class="fragment">
つまり,逆射も保たれますし同型性も保たれます。
$$ F(f^{-1}) = F(f)^{-1} \qquad A\cong B \Rightarrow F(A) \cong F(B)$$
</p>
</div>
</section>
<section>
<h3> 函手の例 </h3>
<div align="left">
$\mathbf{C}$を有限集合と包含関係からなる圏,
$\mathbf{D}$を自然数と順序関係からなる圏として<br>
<img height="50%" align="right" src="fig/subset_leqq.png">
<ul>
<li> 集合$A$に$A$の要素数 </li>
<li> $\subseteq$に$\leqq$ </li>
</ul><br>
を対応させる事は$\mathbf{C}$から$\mathbf{D}$への函手です。
</div>
</section>
<section>
<h3> 函手の例(その2) </h3>
<div align="left">
$\mathbf{C}$を「型と関数」からなる圏だとすると,<br>
<ul>
<li> 型$A$に,リスト型$[A]$ </li>
<li> 関数$f$に,$\mathrm{map} f$ </li>
</ul><br>
を対応させる事は$\mathbf{C}$から$\mathbf{C}$への函手(リスト函手$[-]$)です。
</div>
<div align="center"><img height="50%" src="fig/list_functor.png"> </div>
</section>
<!--
<section>
<h3> 函手は図式である </h3>
<div align="left" style="height:5em">
函手$F: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{D}$を$\mathbf{D}$の中にある$\mathbf{C}$と同じ形の図式と見なすこともできます。
(注:函手と図式が一対一に対応するという意味ではありません。)
</div>
<div align="center"><img src="fig/functor_as_diagram1.png"> </div>
</section>
<section>
<h3> 函手は図式である </h3>
<div align="left" style="height:5em">
函手$F: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{D}$を$\mathbf{D}$の中にある$\mathbf{C}$と同じ形の図式と見なすこともできます。
</div>
<div align="center"><img src="fig/functor_as_diagram2.png"> </div>
</section>
<section>
<h3> 函手は図式である </h3>
<div align="left" style="height:5em">
函手$F: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{D}$を$\mathbf{D}$の中にある$\mathbf{C}$と同じ形の図式と見なすこともできます。
</div>
<div align="center"><img src="fig/functor_as_diagram3.png"> </div>
</section>
<section>
<h3> 函手は図式である </h3>
<div align="left" style="height:5em">
函手$F: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{D}$を$\mathbf{D}$の中にある$\mathbf{C}$と同じ形の図式と見なすこともできます。
</div>
<div align="center"><img src="fig/functor_as_diagram4.png"> </div>
</section>
<section>
<h3> 函手は図式である </h3>
<div align="left" style="height:5em">
函手$F: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{D}$を$\mathbf{D}$の中にある$\mathbf{C}$と同じ形の図式と見なすこともできます。
</div>
<div align="center"><img src="fig/functor_as_diagram5.png"> </div>
</section>
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<h3> 函手は図式である </h3>
<div align="left" style="height:5em">
函手$F: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{D}$を$\mathbf{D}$の中にある$\mathbf{C}$と同じ形の図式と見なすこともできます。
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<div align="center"><img src="fig/functor_as_diagram6.png"> </div>
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<h3> 函手は図式である </h3>
<div align="left" style="height:5em">
函手$F: \mathbf{C} \rightarrow \mathbf{D}$を$\mathbf{D}$の中にある$\mathbf{C}$と同じ形の図式と見なすこともできます。
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<div align="center"><img src="fig/functor_as_diagram7.png"> </div>
</section>
-->
<section>
<h2> 双対性・積・余積 </h2>
</section>
<section>
<h3> 双対性とは </h3>
<p>
双対性(duality)とはある意味で表裏一体になっているような２つの概念の関係です。
例えば
</p>
<ul>
<li> 共通部分と和集合 </li>
<li> $\min$と$\max$ </li>