-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 2
/
RatReg.v
2310 lines (2095 loc) · 65 KB
/
RatReg.v
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
598
599
600
601
602
603
604
605
606
607
608
609
610
611
612
613
614
615
616
617
618
619
620
621
622
623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
633
634
635
636
637
638
639
640
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
665
666
667
668
669
670
671
672
673
674
675
676
677
678
679
680
681
682
683
684
685
686
687
688
689
690
691
692
693
694
695
696
697
698
699
700
701
702
703
704
705
706
707
708
709
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
722
723
724
725
726
727
728
729
730
731
732
733
734
735
736
737
738
739
740
741
742
743
744
745
746
747
748
749
750
751
752
753
754
755
756
757
758
759
760
761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
772
773
774
775
776
777
778
779
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
791
792
793
794
795
796
797
798
799
800
801
802
803
804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
814
815
816
817
818
819
820
821
822
823
824
825
826
827
828
829
830
831
832
833
834
835
836
837
838
839
840
841
842
843
844
845
846
847
848
849
850
851
852
853
854
855
856
857
858
859
860
861
862
863
864
865
866
867
868
869
870
871
872
873
874
875
876
877
878
879
880
881
882
883
884
885
886
887
888
889
890
891
892
893
894
895
896
897
898
899
900
901
902
903
904
905
906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
917
918
919
920
921
922
923
924
925
926
927
928
929
930
931
932
933
934
935
936
937
938
939
940
941
942
943
944
945
946
947
948
949
950
951
952
953
954
955
956
957
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
968
969
970
971
972
973
974
975
976
977
978
979
980
981
982
983
984
985
986
987
988
989
990
991
992
993
994
995
996
997
998
999
1000
(* This program is free software; you can redistribute it and/or *)
(* modify it under the terms of the GNU Lesser General Public License *)
(* as published by the Free Software Foundation; either version 2.1 *)
(* of the License, or (at your option) any later version. *)
(* *)
(* This program is distributed in the hope that it will be useful, *)
(* but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of *)
(* MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. See the *)
(* GNU General Public License for more details. *)
(* *)
(* You should have received a copy of the GNU Lesser General Public *)
(* License along with this program; if not, write to the Free *)
(* Software Foundation, Inc., 51 Franklin St, Fifth Floor, Boston, MA *)
(* 02110-1301 USA *)
(* Contribution to the Coq Library V6.3 (July 1999) *)
(****************************************************************************)
(* The Calculus of Inductive Constructions *)
(* *)
(* Projet Coq *)
(* *)
(* INRIA ENS-CNRS *)
(* Rocquencourt Lyon *)
(* *)
(* Coq V5.10 *)
(* Nov 25th 1994 *)
(* *)
(****************************************************************************)
(* RatReg.v *)
(****************************************************************************)
(* Formal Language Theory *)
(* *)
(* Judicael Courant - Jean-Christophe Filliatre *)
(* *)
(* Developped in V5.8 June-July 1993 *)
(* Ported to V5.10 October 1994 *)
(****************************************************************************)
Require Import Ensf.
Require Import Max.
Require Import Words.
Require Import Dec.
Require Import Reg.
Require Import Rat.
(************************************************************************)
(* *)
(* Un langage reduit a un mot est regulier. *)
(* *)
(************************************************************************)
(* Le mot vide est reconnu par un automate reduit a un etat (zero) *)
(* et sans transition. *)
Lemma lwordnil_is_reg1 :
reconnait (singleton zero) (singleton zero) (singleton zero)
(prodcart empty (prodcart alph empty)) nil.
unfold reconnait at 1 in |- *.
split.
apply inmonoid_nil.
exists zero; exists zero.
auto.
Qed.
(* Seul le mot vide est reconnu par l'automate ci-dessus. *)
Lemma lwordnil_is_reg2 :
forall w : Word,
reconnait (singleton zero) (singleton zero) (singleton zero)
(prodcart empty (prodcart alph empty)) w -> w = nil :>Word.
unfold reconnait at 1 in |- *.
simple induction w.
auto.
intros x w0 H H0.
clear H.
elim H0; intros; clear H0.
elim H1; intros; clear H1.
elim H0; intros; clear H0.
elim H1; intros; clear H1.
elim H2; intros; clear H2.
cut
(Chemin x0 x1 (singleton zero) (prodcart empty (prodcart alph empty))
(cons x w0)).
2: auto.
unfold Chemin in |- *; simpl in |- *.
intro H2.
absurd (dans x0 empty).
auto.
elim H2; intros; clear H2.
elim H4; intros; clear H4.
elim H5; intros; clear H5.
elim H6; intros; clear H6.
cut (dans x0 empty /\ dans (couple x x2) (prodcart alph empty)).
2: apply coupl2; assumption.
tauto.
Qed.
(* *)
(* Pour pouvoir construire un automate qui reconnait (cons a w) a *)
(* partir d'un automate qui reconnait w, il faut un resultat un peu *)
(* plus precis que "il existe un automate tel que...". *)
(* *)
(* On precise que cet automate a un unique etat de depart. *)
(* *)
Lemma lwordnil_is_regS :
exists q : Ensf,
(exists e : Elt,
(exists qa : Ensf,
(exists d : Ensf,
automate q (singleton e) qa d /\
eqwordset (reconnait q (singleton e) qa d) (lword nil)))).
exists (singleton zero).
exists zero.
exists (singleton zero).
exists (prodcart empty (prodcart alph empty)).
split.
red in |- *; auto.
red in |- *; split.
red in |- *.
symmetry in |- *; apply lwordnil_is_reg2.
assumption.
intro.
compute in H.
rewrite <- H.
apply lwordnil_is_reg1.
Qed.
(* D'ou bien sur... *)
Lemma lwordnil_is_reg : isregular (lword nil).
cut
(exists q : Ensf,
(exists e : Elt,
(exists qa : Ensf,
(exists d : Ensf,
automate q (singleton e) qa d /\
eqwordset (reconnait q (singleton e) qa d) (lword nil))))).
2: apply lwordnil_is_regS; auto.
intro H; elim H; clear H.
intros q H; elim H; clear H.
intros e H; elim H; clear H.
intros qa H; elim H; clear H.
intros d H; elim H; clear H.
intros.
red in |- *.
exists q.
exists (singleton e).
exists qa.
exists d.
auto.
Qed.
(* Le gros morceau... *)
(* On commence par montrer que si on a un chemin pour w alors on *)
(* toujours ce chemin en rajoutant un etat et une transition. *)
Lemma extension_qd :
forall (w : Word) (e0 e1 e2 e3 a : Elt) (q d : Ensf),
chemin e1 e2 q d w ->
chemin e1 e2 (add e0 q) (add (couple e0 (couple a e3)) d) w.
simple induction w.
intros.
cut (Chemin e1 e2 q d nil); auto.
intro.
cut (dans e1 q /\ e1 = e2 :>Elt); auto.
intro H1; elim H1; auto.
intros x w0 H e0 e1 e2 e3 a q d H0.
cut (Chemin e1 e2 q d (cons x w0)); auto.
intro.
cut
(exists e : Elt,
chemin e e2 q d w0 /\
dans e1 q /\ dans x alph /\ dans (couple e1 (couple x e)) d);
auto.
intro H2; elim H2; clear H2.
intros e H2; elim H2; clear H2.
intros H2 H3; elim H3; clear H3.
intros H3 H4; elim H4; clear H4.
intros H4 H5.
apply (chemin_cons e e2 (add e0 q) (add (couple e0 (couple a e3)) d) w0 e1 x);
auto.
Qed.
(* Si un automate reconnait un mot w sans utiliser l'etat e0 alors *)
(* l'automate obtenu en supprimant cet etat ainsi que la transition *)
(* correspondante reconnait toujours w. *)
Lemma restriction_aut :
forall (w : Word) (e0 e e2 e3 a : Elt) (q d : Ensf),
~ dans e0 q ->
dans e q ->
inclus d (prodcart q (prodcart alph q)) ->
chemin e e2 (add e0 q) (add (couple e0 (couple a e3)) d) w ->
chemin e e2 q d w.
simple induction w.
intros.
cut (Chemin e e2 (add e0 q) (add (couple e0 (couple a e3)) d) nil);
auto.
intro.
cut (dans e (add e0 q) /\ e = e2 :>Elt); auto.
intro H4; elim H4; auto.
intros x w0 H e0 e e2 e3 a q d H0 H1 H2 H3.
cut (Chemin e e2 (add e0 q) (add (couple e0 (couple a e3)) d) (cons x w0));
auto.
intro.
cut
(exists e12 : Elt,
chemin e12 e2 (add e0 q) (add (couple e0 (couple a e3)) d) w0 /\
dans e (add e0 q) /\
dans x alph /\
dans (couple e (couple x e12)) (add (couple e0 (couple a e3)) d));
auto.
intro H5; elim H5; clear H5.
intros e12 H5; elim H5; clear H5.
intros H5 H6; elim H6; clear H6.
intros H6 H7; elim H7; clear H7.
intros H7 H8.
apply (chemin_cons e12 e2 q d w0 e x); auto.
apply (H e0 e12 e2 e3 a q d); auto.
cut
(couple e0 (couple a e3) = couple e (couple x e12) :>Elt \/
dans (couple e (couple x e12)) d).
2: apply dans_add; auto.
intro H9; elim H9; clear H9.
intro H9; injection H9 as H12 H11 H10.
absurd (dans e0 q); auto.
rewrite H12; auto.
intro.
cut (dans (couple e (couple x e12)) (prodcart q (prodcart alph q))).
2: apply
(dans_trans (couple e (couple x e12)) d (prodcart q (prodcart alph q)));
auto.
intro.
cut (dans e q /\ dans (couple x e12) (prodcart alph q)); auto.
2: apply coupl2; auto.
intro H11; elim H11; clear H11.
intros.
cut (dans x alph /\ dans e12 q).
2: apply coupl2; auto.
tauto.
cut
(couple e0 (couple a e3) = couple e (couple x e12) :>Elt \/
dans (couple e (couple x e12)) d).
2: apply dans_add; auto.
intro H9; elim H9; clear H9.
intro H9; injection H9 as H12 H11 H10.
absurd (dans e0 q); auto.
rewrite H12; auto.
auto.
Qed.
(* Si un automate reconnait w alors en lui rajoutant un etat e0 *)
(* et la bonne trnasition il reconnait (cons a w). *)
Lemma extension_aut :
forall (w : Word) (e0 e a : Elt) (q qa d : Ensf),
reconnait q (singleton e) qa d w ->
~ dans e0 q ->
dans a alph ->
reconnait (add e0 q) (singleton e0) qa (add (couple e0 (couple a e)) d)
(cons a w).
unfold reconnait in |- *.
intros.
elim H; clear H.
intros H H2; elim H2; clear H2.
intros e12 H2; elim H2; clear H2.
intros e2 H2; elim H2; clear H2.
intros H2 H3.
split; auto.
exists e0.
exists e2.
split; auto.
elim H3; clear H3; intros H3 H4.
split; auto.
cut (e12 = e :>Elt); auto.
intro H5; rewrite <- H5.
apply
(chemin_cons e12 e2 (add e0 q) (add (couple e0 (couple a e12)) d) w e0 a);
auto.
apply extension_qd; auto.
Qed.
(* *)
(* Si un automate (q (singleton e) qa d) reconnait exactement {w0} *)
(* et si e0 n'est pas dans q alors l'automate ((add e0 q) *)
(* (singleton e0) qa (add (e0,a,e) d)) reconnait exactement *)
(* {cons a w0}. *)
(* *)
Axiom
auto_cons :
forall (q qa d : Ensf) (e0 e a : Elt) (w0 : Word),
dans a alph ->
automate q (singleton e) qa d ->
eqwordset (reconnait q (singleton e) qa d) (lword w0) ->
~ dans e0 q ->
eqwordset
(reconnait (add e0 q) (singleton e0) qa
(add (couple e0 (couple a e)) d)) (lword (cons a w0)).
(*--- Cette preuve est correcte mais tres longue : on laisse l'axiome...
PASSER CETTE PREUVE EN V5.10
Lemma auto_cons : (q,qa,d:Ensf)(e0,e,a:Elt)(w0:Word)
(dans a alph)
-> (automate q (singleton e) qa d)
-> (eqwordset (reconnait q (singleton e) qa d) (lword w0) )
-> ~(dans e0 q)
-> (eqwordset (reconnait (add e0 q) (singleton e0) qa
(add (couple e0 (couple a e)) d) ) (lword (cons a w0)) ).
Goal.
Unfold eqwordset.
Unfold lword.
Intros q qa d e0 e a w0 dans_a_alph H H0 H1 w; Pattern w; Apply induction_word.
Split.
Intro.
Elim H2; Clear H2.
Intros H2 H3; Elim H3; Clear H3.
Intros e1 H3; Elim H3; Clear H3.
Intros e2 H3; Elim H3; Clear H3.
Intros H3 H4; Elim H4; Clear H4.
Intros.
Cut <Elt>e1=e0; Auto.
Intro.
Elim H.
Intros H7 H8.
Cut <Elt>e1=e2.
2:Cut (Chemin e1 e2 (add e0 q) (add (couple e0 (couple a e)) d) nil); Auto.
2:Intro; Cut ( (dans e1 (add e0 q)) /\ (<Elt>e1=e2) ); Auto.
2:Intro H10; Elim H10; Auto.
Intro H9.
Cut (dans e2 q).
2:Apply (dans_trans e2 qa q); Auto.
Intro H10.
Absurd (dans e0 q); Auto.
Rewrite <- H6.
Rewrite H9.
Assumption.
Intro.
Cut False.
Apply False_imp_P.
Apply (diff_cons_nil a w0); Auto.
Apply (diff_cons_nil a w0); Auto.
Intros.
Split.
Intro H3; Elim H3; Clear H3.
Intros H3 H4; Elim H4; Clear H4.
Intros e1 H4; Elim H4; Clear H4.
Intros e2 H4; Elim H4; Clear H4.
Intros H4 H5; Elim H5; Clear H5.
Intros H5 H6.
Cut (Chemin e1 e2 (add e0 q) (add (couple e0 (couple a e)) d) (cons x w1)); Auto.
Intro H7; Elim H7; Clear H7.
Intros e12 H7; Elim H7; Clear H7.
Intros H7 H8; Elim H8; Clear H8.
Intros H8 H9; Elim H9; Clear H9.
Intros H9 H10.
Cut <Elt>e1=e0; Auto.
Intro H11; Clear H4.
Cut (inclus d (prodcart q (prodcart alph q))).
2:Apply (automate_def1 q (singleton e) qa d); Auto.
Intro H12.
Cut (<Elt>(couple e0 (couple a e))=(couple e1 (couple x e12)) \/ (dans (couple e1 (couple x e12)) d)).
2:Apply dans_add; Auto.
Intro H4; Elim H4; Clear H4.
Intro.
Cut <Elt>a=x.
Intro.
2:Cut <Elt>(couple a e)=(couple x e12).
2:Intro.
2:Replace a with (first (couple a e)); Auto.
2:Replace x with (first (couple x e12)); Auto.
2:Apply (f_equal Elt Elt); Auto.
2:Replace (couple a e) with (second (couple e0 (couple a e))); Auto.
2:Replace (couple x e12) with (second (couple e1 (couple x e12))); Auto.
2:Apply (f_equal Elt Elt); Auto.
Apply cons_cons; Auto.
2:Intro.
2:Absurd (dans e0 q); Auto.
2:Cut (dans (couple e1 (couple x e12)) (prodcart q (prodcart alph q))).
2:Intro.
3:Apply (dans_trans (couple e1 (couple x e12)) d); Auto.
2:Cut (dans e1 q).
2:Rewrite H11; Auto.
2:Cut ( (dans e1 q) /\ (dans (couple x e12) (prodcart alph q))); Auto.
2:Intro H14; Elim H14; Clear H14.
2:Auto.
2:Apply coupl2; Auto.
Cut <Elt>e12=e.
2:Replace e12 with (second (second (couple e1 (couple x e12)))); Auto.
2:Replace e with (second (second (couple e0 (couple a e)))); Auto.
2:Apply (f_equal Elt Elt).
2:Apply (f_equal Elt Elt); Auto.
Intro.
Cut (chemin e e2 (add e0 q) (add (couple e0 (couple a e)) d) w1).
2:Cut (chemin e12 e2 (add e0 q) (add (couple e0 (couple a e)) d) w1); Auto.
2:Rewrite H14; Auto.
Clear H7; Intro H7.
Cut (reconnait q (singleton e) qa d w1).
Elim (H0 w1).
Auto.
Unfold reconnait.
Split.
Apply (inmonoid_cons_inv alph w1 x); Auto.
Exists e.
Exists e2.
Split; Auto.
Split; Auto.
Apply (restriction_aut w1 e0 e e2 e a q d ); Auto.
Cut (inclus (singleton e) q).
Intro; Apply inclus_singl; Auto.
Apply (automate_def2 q (singleton e) qa d); Auto.
Intro H3.
Cut ((<Elt>a=x)/\(<Word>w0=w1)).
2:Apply cons_cons_inv; Auto.
Intro H4; Elim H4; Clear H4.
Intros.
Rewrite <- H4.
Rewrite <- H5.
Apply extension_aut; Auto.
Elim (H0 w0).
Auto.
Save.
----*)
(* *)
(* Un langage reduit a un seul mot est regulier. *)
(* A partir d'un automate qui reconnait {w} on rajoute un nouvel etat *)
(* (en utilisant le lemme exist_other) et la relation adequate *)
(* pour construire un automate reconnaissant {cons a w}. *)
(* *)
Lemma lword_is_regS :
forall w : Word,
inmonoid alph w ->
exists q : Ensf,
(exists e : Elt,
(exists qa : Ensf,
(exists d : Ensf,
automate q (singleton e) qa d /\
eqwordset (reconnait q (singleton e) qa d) (lword w)))).
simple induction w.
intro.
apply lwordnil_is_regS.
intros a w0 H H4.
cut (inmonoid alph w0).
2: apply (inmonoid_cons_inv alph w0 a); auto.
intro H5.
cut
(exists q : Ensf,
(exists e : Elt,
(exists qa : Ensf,
(exists d : Ensf,
automate q (singleton e) qa d /\
eqwordset (reconnait q (singleton e) qa d) (lword w0)))));
auto.
clear H; intro H; elim H; clear H.
intros q H0; elim H0; clear H0.
intros e H0; elim H0; clear H0.
intros qa H0; elim H0; clear H0.
intros d H0; elim H0; clear H0.
intros.
cut (exists e0 : Elt, ~ dans e0 q).
2: apply exist_other; auto.
intro H2; elim H2; clear H2.
intros e0 H2.
exists (add e0 q).
exists e0.
exists qa.
exists (add (couple e0 (couple a e)) d).
elim H; clear H.
intros H H1.
elim H1; clear H1.
intros.
split.
red in |- *.
split; auto.
split; auto.
apply add_inclus.
apply coupl2_inv; auto.
apply coupl2_inv.
apply (inmonoid_cons_inv2 alph a w0); auto.
cut (dans e q); auto.
apply (inclus_trans d (prodcart q (prodcart alph q))); auto.
apply auto_cons; auto.
apply (inmonoid_cons_inv2 alph a w0); auto.
unfold automate in |- *; auto.
Qed.
(* *)
(* Finalement, on montre qu'un langage reduit a un mot est regulier : *)
(* *)
Lemma lword_is_reg : forall w : Word, inmonoid alph w -> isregular (lword w).
unfold isregular in |- *.
intros.
cut
(exists q : Ensf,
(exists e : Elt,
(exists qa : Ensf,
(exists d : Ensf,
automate q (singleton e) qa d /\
eqwordset (reconnait q (singleton e) qa d) (lword w))))).
2: apply lword_is_regS; auto.
intro H0; elim H0; clear H0.
intros q H0; elim H0; clear H0.
intros e H0; elim H0; clear H0.
intros qa H0; elim H0; clear H0.
intros d H0; elim H0; clear H0.
intros H0 H1.
exists q.
exists (singleton e).
exists qa.
exists d.
auto.
Qed.
(************************************************************************)
(* *)
(* L'union de 2 langages reguliers est un langage regulier. *)
(* *)
(************************************************************************)
(* *)
(* A partir d'une relation d1 (partie de q1 x alph x q1) on construit *)
(* la relation d1', qui est la meme relation, mais pour les etats *)
(* (e,zero) au lieu de e. *)
(* De meme pour une relation d2 avec e -> (e,un). *)
(* *)
Definition est_dans_d'_2 (d : Ensf) (e y : Elt) : Prop :=
match y return Prop with
| natural n =>
(* natural *) False
(* couple *)
| couple a e' =>
dans (couple (first e) (couple a (first e'))) d
(* up *)
| up e => False
(* word *)
| word w => False
end.
Definition est_dans_d' (d1 : Ensf) (x : Elt) : Prop :=
match x return Prop with
| natural n =>
(* natural *) False
(* couple *)
| couple e y => est_dans_d'_2 d1 e y
(* up *)
| up e => False
(* word *)
| word w => False
end.
Definition injg_d1 (q1 d1 : Ensf) : Ensf :=
tq (est_dans_d' d1)
(prodcart (map injgauche q1) (prodcart alph (map injgauche q1))).
Definition injd_d2 (q2 d2 : Ensf) : Ensf :=
tq (est_dans_d' d2)
(prodcart (map injdroite q2) (prodcart alph (map injdroite q2))).
Lemma d_is_good :
forall q1 q2 d1 d2 : Ensf,
inclus (union (injg_d1 q1 d1) (injd_d2 q2 d2))
(prodcart (union_disj q1 q2) (prodcart alph (union_disj q1 q2))).
intros.
apply union_inclus.
apply
inclus_trans
with (prodcart (map injgauche q1) (prodcart alph (map injgauche q1))).
unfold injg_d1 in |- *.
apply inclus_tq.
unfold union_disj in |- *.
auto.
apply
inclus_trans
with (prodcart (map injdroite q2) (prodcart alph (map injdroite q2))).
unfold injd_d2 in |- *.
apply inclus_tq.
unfold union_disj in |- *.
auto.
Qed.
(* *)
(* Deux petits lemmes sur la relation de transition construite *)
(* ci-dessus. *)
(* *)
Lemma transition_dans_d1 :
forall (q1 d1 q2 d2 : Ensf) (e1 x e : Elt),
dans (couple e1 (couple x e)) (union (injg_d1 q1 d1) (injd_d2 q2 d2)) ->
dans e1 (map injgauche q1) -> dans e (map injgauche q1).
intros.
cut
(dans (couple e1 (couple x e)) (injg_d1 q1 d1) \/
dans (couple e1 (couple x e)) (injd_d2 q2 d2)); auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
unfold injg_d1 in |- *.
intro.
cut
(dans (couple e1 (couple x e))
(prodcart (map injgauche q1) (prodcart alph (map injgauche q1))) /\
est_dans_d' d1 (couple e1 (couple x e))).
2: apply dans_tq_imp; auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht; intros H2 H3.
cut
(dans e1 (map injgauche q1) /\
dans (couple x e) (prodcart alph (map injgauche q1))).
2: apply coupl2; auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht; intros H4 H5.
cut (dans x alph /\ dans e (map injgauche q1)).
2: apply coupl2; auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht; auto.
unfold injd_d2 in |- *.
intro.
cut
(dans (couple e1 (couple x e))
(prodcart (map injdroite q2) (prodcart alph (map injdroite q2))) /\
est_dans_d' d2 (couple e1 (couple x e))).
2: apply dans_tq_imp; auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht; intros H2 H3.
cut
(dans e1 (map injdroite q2) /\
dans (couple x e) (prodcart alph (map injdroite q2))).
2: apply coupl2; auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht; intros H4 H5.
absurd (dans e1 (map injdroite q2)); auto.
apply absurd_injg_injd with q1; auto.
Qed.
Lemma restriction_transition_d1 :
forall (q1 d1 q2 d2 : Ensf) (e1 x e : Elt),
dans (couple e1 (couple x e)) (union (injg_d1 q1 d1) (injd_d2 q2 d2)) ->
dans e1 (map injgauche q1) ->
dans (couple (first e1) (couple x (first e))) d1.
intros.
cut
(dans (couple e1 (couple x e)) (injg_d1 q1 d1) \/
dans (couple e1 (couple x e)) (injd_d2 q2 d2)); auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
unfold injg_d1 in |- *.
intro.
cut
(dans (couple e1 (couple x e))
(prodcart (map injgauche q1) (prodcart alph (map injgauche q1))) /\
est_dans_d' d1 (couple e1 (couple x e))).
2: apply dans_tq_imp; auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht; intros H2 H3.
assumption.
unfold injd_d2 in |- *.
intro.
cut
(dans (couple e1 (couple x e))
(prodcart (map injdroite q2) (prodcart alph (map injdroite q2))) /\
est_dans_d' d2 (couple e1 (couple x e))).
2: apply dans_tq_imp; auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht; intros H2 H3.
cut
(dans e1 (map injdroite q2) /\
dans (couple x e) (prodcart alph (map injdroite q2))).
2: apply coupl2; auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht; intros H4 H5.
absurd (dans e1 (map injdroite q2)); auto.
apply absurd_injg_injd with q1; auto.
Qed.
(* *)
(* Si on a un chemin dans l'automate reconnaissant l'union de l1 et *)
(* et l2 commencant sur un etat de l'automate reconnaissant l1 *)
(* alors le mot reconnu est reconnu par l1. *)
(* *)
Lemma chemin_restriction_1 :
forall (q1 qd1 qa1 d1 q2 qa2 d2 : Ensf) (w : Word) (e1 e2 : Elt),
automate q1 qd1 qa1 d1 ->
chemin e1 e2 (union_disj q1 q2) (union (injg_d1 q1 d1) (injd_d2 q2 d2)) w ->
dans e1 (map injgauche q1) ->
dans e2 (union_disj qa1 qa2) ->
chemin (first e1) (first e2) q1 d1 w /\ dans e2 (map injgauche qa1).
intros q1 qd1 qa1 d1 q2 qa2 d2.
simple induction w.
intros e1 e2 H H0 H1 H2.
cut
(Chemin e1 e2 (union_disj q1 q2) (union (injg_d1 q1 d1) (injd_d2 q2 d2)) nil);
auto.
intro.
cut (dans e1 (union_disj q1 q2) /\ e1 = e2 :>Elt); auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht; intros H4 H5.
split.
apply chemin_nil.
2: apply (f_equal (A:=Elt) (B:=Elt)); auto.
apply dans_map_injg; auto.
unfold union_disj in H2.
cut (dans e2 (map injgauche qa1) \/ dans e2 (map injdroite qa2));
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
auto.
intro.
absurd (dans e2 (map injdroite qa2)); auto.
rewrite <- H5.
apply absurd_injg_injd with q1; auto.
intros x w0 H e1 e2 H0 H1 H2 H3.
cut
(Chemin e1 e2 (union_disj q1 q2) (union (injg_d1 q1 d1) (injd_d2 q2 d2))
(cons x w0)); auto.
intro.
cut
(exists e : Elt,
chemin e e2 (union_disj q1 q2) (union (injg_d1 q1 d1) (injd_d2 q2 d2)) w0 /\
dans e1 (union_disj q1 q2) /\
dans x alph /\
dans (couple e1 (couple x e)) (union (injg_d1 q1 d1) (injd_d2 q2 d2)));
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H5 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H6 Ht; elim Ht; clear Ht; intros H7 H8.
cut (dans e (map injgauche q1)).
2: apply transition_dans_d1 with d1 q2 d2 e1 x; auto.
intro.
cut (chemin (first e) (first e2) q1 d1 w0 /\ dans e2 (map injgauche qa1));
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht; intros H10 H11.
split; auto.
apply chemin_cons with (first e); auto.
apply dans_map_injg; auto.
apply restriction_transition_d1 with q1 q2 d2; auto.
Qed.
(* De meme pour l2... *)
Axiom
chemin_restriction_2 :
forall (q2 qd2 qa2 d2 q1 qa1 d1 : Ensf) (w : Word) (e1 e2 : Elt),
automate q2 qd2 qa2 d2 ->
chemin e1 e2 (union_disj q1 q2) (union (injg_d1 q1 d1) (injd_d2 q2 d2)) w ->
dans e1 (map injdroite q2) ->
dans e2 (union_disj qa1 qa2) ->
chemin (first e1) (first e2) q2 d2 w /\ dans e2 (map injdroite qa2).
(* *)
(* Inversement, si on a un chemin dans l'automate reconnaissant l1 *)
(* pour un mot w alors on a un chemin dans l'automate reconnaissant *)
(* l'union de l1 et l2 pour w. *)
(* *)
Lemma chemin_extension_1 :
forall (q1 qd1 qa1 d1 q2 d2 : Ensf) (w : Word) (e1 e2 : Elt),
automate q1 qd1 qa1 d1 ->
chemin e1 e2 q1 d1 w ->
dans e1 q1 ->
dans e2 qa1 ->
chemin (couple e1 zero) (couple e2 zero) (union_disj q1 q2)
(union (injg_d1 q1 d1) (injd_d2 q2 d2)) w.
intros q1 qd1 qa1 d1 q2 d2.
simple induction w.
intros e1 e2 H_aut.
intros.
cut (Chemin e1 e2 q1 d1 nil); auto.
intro.
cut (dans e1 q1 /\ e1 = e2 :>Elt); auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H3 H4.
apply chemin_nil; auto.
unfold union_disj in |- *.
apply union_g.
replace (couple e1 zero) with (injgauche e1); auto.
rewrite H4; auto.
intros x w0 H e1 e2 H_aut.
intros.
cut (Chemin e1 e2 q1 d1 (cons x w0)); auto.
intro.
cut
(exists e : Elt,
chemin e e2 q1 d1 w0 /\
dans e1 q1 /\ dans x alph /\ dans (couple e1 (couple x e)) d1);
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H4 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H5 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H6 H7.
cut (dans e q1).
intro dans_e_q1.
2: cut (inclus d1 (prodcart q1 (prodcart alph q1))).
3: apply automate_def1 with qd1 qa1; auto.
2: intro.
2: cut (dans (couple e1 (couple x e)) (prodcart q1 (prodcart alph q1))).
3: apply dans_trans with d1; auto.
2: intro.
2: cut (dans e1 q1 /\ dans (couple x e) (prodcart alph q1)).
3: apply coupl2; auto.
2: intro Ht; elim Ht; clear Ht.
2: intros H10 H11.
2: cut (dans x alph /\ dans e q1).
3: apply coupl2; auto.
2: intro Ht; elim Ht; clear Ht.
2: auto.
apply chemin_cons with (couple e zero); auto.
unfold union_disj in |- *.
apply union_g.
replace (couple e1 zero) with (injgauche e1); auto.
apply union_g.
unfold injg_d1 in |- *.
apply imp_dans_tq; auto.
apply coupl2_inv.
replace (couple e1 zero) with (injgauche e1); auto.
apply coupl2_inv; auto.
replace (couple e zero) with (injgauche e); auto.
Qed.
(* De meme pour l2... *)
Axiom
chemin_extension_2 :
forall (q2 qd2 qa2 d2 q1 d1 : Ensf) (w : Word) (e1 e2 : Elt),
automate q2 qd2 qa2 d2 ->
chemin e1 e2 q2 d2 w ->
dans e1 q2 ->
dans e2 qa2 ->
chemin (couple e1 un) (couple e2 un) (union_disj q1 q2)
(union (injg_d1 q1 d1) (injd_d2 q2 d2)) w.
(* *)
(* Si l'automate 1 reconnait l1 et l'automate 2 reconnait l2 alors *)
(* l'automate ci-dessous reconnait l'union de l1 et l2. *)
(* *)
Lemma lunion_is_reg1 :
forall (q1 qd1 qa1 d1 q2 qd2 qa2 d2 : Ensf) (l1 l2 : wordset),
automate q1 qd1 qa1 d1 ->
eqwordset (reconnait q1 qd1 qa1 d1) l1 ->
automate q2 qd2 qa2 d2 ->
eqwordset (reconnait q2 qd2 qa2 d2) l2 ->
eqwordset
(reconnait (union_disj q1 q2) (union_disj qd1 qd2)
(union_disj qa1 qa2) (union (injg_d1 q1 d1) (injd_d2 q2 d2)))
(lunion l1 l2).
intros.
unfold eqwordset in |- *.
intro w.
split.
unfold reconnait in |- *.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H3 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e1 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e2 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H4 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H5 H6.
unfold union_disj in H4.
cut (dans e1 (map injgauche qd1) \/ dans e1 (map injdroite qd2));
auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intro H7.
unfold lunion in |- *.
left.
cut (chemin (first e1) (first e2) q1 d1 w /\ dans e2 (map injgauche qa1)).
2: apply chemin_restriction_1 with qd1 q2 qa2 d2; auto.
2: cut (inclus qd1 q1).
3: apply automate_def2 with qa1 d1; auto.
2: intro; apply dans_map_trans with qd1; auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht; intros H8 H9.
unfold eqwordset in H0.
elim (H0 w).
intros H10 H11.
apply H10.
unfold reconnait in |- *.
split; auto.
exists (first e1).
exists (first e2).
split.
apply dans_map_injg; auto.
split.
apply dans_map_injg; auto.
assumption.
intro H7.
unfold lunion in |- *.
right.
cut (chemin (first e1) (first e2) q2 d2 w /\ dans e2 (map injdroite qa2)).
2: apply chemin_restriction_2 with qd2 q1 qa1 d1; auto.
2: cut (inclus qd2 q2).
3: apply automate_def2 with qa2 d2; auto.
2: intro; apply dans_map_trans with qd2; auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht; intros H8 H9.
unfold eqwordset in H2.
elim (H2 w).
intros H10 H11.
apply H10.
unfold reconnait in |- *.
split; auto.
exists (first e1).
exists (first e2).
split.
apply dans_map_injd; auto.
split.
apply dans_map_injd; auto.
assumption.
unfold lunion in |- *.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intro H3.
unfold eqwordset in H0.
elim (H0 w).
intros H4 H5.
cut (reconnait q1 qd1 qa1 d1 w); auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H6 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e1 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e2 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H7 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H8 H9.
unfold reconnait in |- *.
split; auto.
exists (couple e1 zero).
exists (couple e2 zero).
split.
unfold union_disj in |- *.
apply union_g.
replace (couple e1 zero) with (injgauche e1); auto.
split.
unfold union_disj in |- *.
apply union_g.
replace (couple e2 zero) with (injgauche e2); auto.
apply chemin_extension_1 with qd1 qa1; auto.
apply dans_trans with qd1; auto.
apply automate_def2 with qa1 d1; auto.
intro H3.
unfold eqwordset in H2.
elim (H2 w).
intros H4 H5.
cut (reconnait q2 qd2 qa2 d2 w); auto.
intro Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H6 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e1 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros e2 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H7 Ht; elim Ht; clear Ht.
intros H8 H9.
unfold reconnait in |- *.
split; auto.
exists (couple e1 un).
exists (couple e2 un).
split.
unfold union_disj in |- *.
apply union_d.
replace (couple e1 un) with (injdroite e1); auto.