Math

向量

在数学中，几何向量（也称为欧几里得向量，通常简称向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。向量可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。

向量的记法：书写时在字母顶上加一小箭头 ➞。如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加➞）

向量的模：向量的大小，也就是向量的长度(或称模)。向量 a 的模记作|a|。向量的模是非负实数，是可以比较大小的。假设向量 a =(x,y)，|a|=sqrt(x^2 + y^2 )

注意因为方向不能比较大小，所以向量也就不能比较大小。对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。

运算

设a=（x₁,y₁），b= x₂,y₂。

向量加法：满足平行四边形法则和三角形法则，如下图 OB + OA = OC。

坐标表示： a+b=(x₁+x₁, y₁+y₁)

Dot product（点积）：两个向量的点积（内积）是一个数量（没有方向），记作a·b，a·b=|a||b|·cosθ。其中∠AOB称作向量a和向量b的夹角，记作θ并规定0≤θ≤π。点乘运算不仅限于2维空间，他可以推广到任意维空间。

点积的坐标表示：a·b=x₁·x₁ + y₁·y₁

Cross product（叉积）：两个向量的叉积（外积，向量积）是一个向量，记作a×b（这里 × 并不是乘号，只是一种表示方法，与 · 不同，也可记做 ∧ ），a×b=|a||b|·sinθ n。n 为 a×b的方向，垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序构成右手系。

坐标表示： a×b=x₁y₂ - y₁x₂

找出一个点和一条线间的距离是经常遇见的几何问题之一。假设给出三个点，A，B和C，想找出点C到点A、B定出的直线间距离。第一步是找出A到B的向量AB和A到C的向量AC，然后用它们的叉积除以|AB|，就是我们要找的的距离了：d = (AB x AC)/|AB| 。

矩阵

卡塔兰数

卡塔兰数是组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列。递推关系为：

卡塔兰数的一般项公式为：

［可能的出栈序列］

其它

调和级数

正整数的倒数组成的数列，称为调和数列。形式化定义如下：若数列 {a_n} 满足 1/a_n+1 - 1/a_n = d（n∈N*，d为常数），则称数列 {a_n} 为调和数列。

由调和数列各元素相加所得的和为调和级数，所有调和级数都是发散于无穷的。迄今为止没有能得到它的求和公式，只是得到它的近似公式(当n很大时):

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n ~ ln(n) + C

其中 C＝0.57722... 称作欧拉常数，专为调和级数所用，至今不知是有理数还是无理数）。

牛顿迭代

为了快速高效地求出根号a的近似值：首先随便猜一个近似值x，然后不断令x等于x和a/x的平均数，迭代个六七次后x的值就已经相当精确了。

例如，想求根号2等于多少，假如我猜测的结果为4，虽然错的离谱，但可以看到使用牛顿迭代法后这个值很快就趋近于根号2了：

(       4  + 2/   4     ) / 2 = 2.25
(    2.25  + 2/   2.25  ) / 2 = 1.56944..
( 1.56944..+ 2/1.56944..) / 2 = 1.42189..
( 1.42189..+ 2/1.42189..) / 2 = 1.41423..

这种算法的原理很简单，我们仅仅是不断用(x, f(x))的切线来逼近方程x^2 -a=0的根。根号a实际上就是x^2 -a=0的一个正实根，这个函数的导数是2x。也就是说，函数上任一点(x,f(x))处的切线斜率是2x。那么，x-f(x)/(2x)就是一个比x更接近的近似值。代入f(x)=x^2 -a 得到x-(x^2 -a)/(2x)，也就是(x+a/x)/2。

更多阅读

维基百科卡塔兰数
从《编程之美》买票找零问题说起，娓娓道来卡特兰数
向量的点乘与叉乘
Cross product
牛顿迭代法快速寻找平方根