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Author: chvmvd

docs/02algorithms/05order/index.mdx

@@ -123,7 +123,7 @@ flowchart
     H --> O["fib(n-5)"]
 ```
 
-数学的に、求めてみます。
+一応、数学的にも、計算しておきます。
 
 計算量を $T(n)$ とします。
 
@@ -142,11 +142,28 @@ $$
 
 :::info
 
+ちなみに、次のようにすると計算量が $\left(\sqrt{2}\right)^n$ よりも大きいことが証明できます。
+
+$$
+\begin{align*}
+    T(n) &= T(n-1) + T(n-2) \\
+         &>2T(n-2) \quad (\because T(n-1)>T(n-2)) \\
+         &>2^2T(n-4) \\
+         &>\cdots \\
+         &>2^{\frac{n}{2}}T(0) \\
+         &=2^{\frac{n}{2}} = \left(\sqrt{2}\right)^n \\
+\end{align*}
+$$
+
+:::
+
+:::info
+
 計算量は $O(2^n)$ よりも小さくなると言いましたが、実際に厳密に計算すると $O\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n\right)$ になります。($\frac{1+\sqrt{5}}{2}\simeq 1.618$)
 
 ランダウの記号は、$n$ が十分大きい時、ある関数以下に抑えられるという意味なので、$O(2^n)$ と言っても間違いではないとは思います。
 
-これは、漸化式を解けば求まります。
+これは、漸化式を解けば求まります。この漸化式は、フィボナッチ数列と同じです。
 
 $$
 \begin{align*}