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| 1 | +\documentclass[a4paper,NoNotes,GeneralMath]{stdmdoc} |
| 2 | + |
| 3 | +\newcommand{\impl}[1]{\stackrel{\text{#1}}{\implies}} |
| 4 | +\newcommand{\ug}[1]{\stackrel{\text{#1}}{=}} |
| 5 | + |
| 6 | +\begin{document} |
| 7 | + \section*{Esercizio Difficile} |
| 8 | + Sia $A \in \GL(n, \bbR)$ e definiamo $\forall X \in \kM(n,\bbR)$, $$ S_A(X) = {}^tXA - {}^tAX $$ \\ |
| 9 | + Dire per quali $A$, $S_A$ è diagonalizzabile e per questi valori calcolare polinomio minimo e caratteristico. |
| 10 | + \begin{enumerate} |
| 11 | + \item Supponendo che $S_A$ sia diagonalizzabile, ovvero che esista una base di autovettori tali che ${}^tXA - {}^tAX = \lambda X$, dimostrare che per $\lambda \neq 0$ deve necessariamente essere ${}^tX = -X$ (Se $X$ è autovettore). |
| 12 | + \item Dedurne quindi che $S_A\mid_{\Symm(n,\bbR)} \equiv 0$ (poiché le simmetriche devono essere tutte contenute nell'autospazio relativo a $0$, cioè nel Kernel). |
| 13 | + \item Mostrare ora che questa ipotesi implica che $A$ sia simmetrica e che debba essere $AX = XA$ per ogni $X$ simmetrica. |
| 14 | + \item Dedurne che le uniche matrici possibili sono $A = \mu I$. |
| 15 | + \item Dimostrare che per $A = \mu I$, $S_A$ è effettivamente diagonalizzabile e calcolarne polinomio minimo e caratteristico. |
| 16 | + \end{enumerate} |
| 17 | + |
| 18 | + \section*{Soluzione} |
| 19 | + \begin{enumerate} |
| 20 | + \item Supponiamo che esiste una base di autovettori e vediamo che proprietà devono avere gli autovettori $X$. \\ |
| 21 | + ${}^tXA - {}^tAX = \lambda X \implies {}^tXA = ({}^tA + \lambda I) X \implies {}^tX = ({}^tA + \lambda I) X A^{-1}$ \\ |
| 22 | + Siccome ${}^tXA = ({}^tA + \lambda I) X$, trasponendo si ottiene ${}^tAX = {}^tX (A + \lambda I)$ e sostituendo ${}^tX$ si ha |
| 23 | + ${}^tAX = ({}^tA + \lambda I) X A^{-1} (A + \lambda I) \implies X = (I + \lambda {}^tA^{-1}) X (I + \lambda A^{-1})$ \\ |
| 24 | + Ora sviluppando i conti a destra e semplificando le due X si ha $\lambda ({}^tA^{-1} X + X A^{-1}) = - \lambda^2 {}^tA^{-1} X A^{-1} $ da cui |
| 25 | + moltiplicando per ${}^tA$ a sinistra e per $A$ a destra, e (supponiamo $\lambda \neq 0$) dividendo per $\lambda$ si ottiene |
| 26 | + $(XA + {}^tAX) = - \lambda X$ \\ |
| 27 | + Usando ora l'ipotesi di $X$ autovettore si ha $(XA + {}^tAX) = -\lambda X = - ({}^tXA - {}^tAX) = -{}^tXA + {}^tAX \implies XA = -{}^tXA$ e |
| 28 | + moltiplicando a destra per $A^{-1}$ si ottiene $X = -{}^tX$, da cui si deduce che se $X$ è autovettore per $\lambda \neq 0$, allora |
| 29 | + $X$ è una matrice antisimmetrica |
| 30 | + \item Ora possiamo dedurne che se $X$ è un autovettore e sta nelle matrici simmetriche, allora è un autovettore relativo a $0$ (Se fosse |
| 31 | + relativo a $\lambda \neq 0$ sarebbe anche antisimmetrica quindi $X$ sarebbe la matrice nulla, che non è un autovettore). \\ |
| 32 | + Mostriamo ora che $\Symm(n,\bbR) \subseteq V_0$: per ipotesi ($S_A$ diagonalizzabile) $V = V_0 \oplus V_{\lambda_1} \oplus \ldots |
| 33 | + \oplus V_{\lambda_n}$. Inoltre $V = \Asymm(n, \bbR) \oplus \Symm(n, \bbR)$. Allora, sia $Y$ una matrice simmetrica. Usando $X \in V$, |
| 34 | + otteniamo che $X$ si scrive in modo unico come $X = M_{0S} + M_{0A} + M_{\lambda_1} + \ldots + M_{\lambda_n}$ con $M_{0A} \in V_0 \cap |
| 35 | + \Asymm(n, \bbR), M_{0S} \in V_0 \cap \Symm(n,\bbR) , M_{\lambda_i} \in V_{\lambda_i}$. \\ |
| 36 | + Inoltre sappiamo che $M_{\lambda_1} + \ldots + M_{\lambda_n} \in V_{\lambda_1} \oplus V_{\lambda_n} \subseteq \Asymm(n, \bbR)$ quindi |
| 37 | + $M_{0A} + M_{\lambda_1} + \ldots + M_{\lambda_n} = 0$ (perché le simmetriche e le antisimmetriche sono in somma diretta) $\implies X \in V_0$, |
| 38 | + quindi $S_A\mid_{\Symm(n,\bbR)} \equiv 0$. |
| 39 | + \item Usando il fatto appena dimostrato, notiamo che $I$ è simmetrica e che quindi deve valere $S_A(I) = 0$, ovvero $A - {}^tA = 0$, quindi $A$ è simmetrica. \\ |
| 40 | + Si può quindi scrivere, $\forall X \in \Symm \quad 0 = {}^tXA - {}^tAX = XA - AX$, ovvero $A$ commuta con tutte le matrici simmetriche. |
| 41 | + \item Usiamo il fatto che $A$ è simmetrica diagonalizzandola ortogonalmente. Sia $N \in \text{O }(n)$ una matrice tale che $NAN^{-1} = D$ diagonale. \\ |
| 42 | + Moltiplichiamo ora la relazione $AX = XA$ a destra per $N^{-1}$ e a sinistra per $N$, ottenendo $NAXN^{-1} = NXAN^{-1}$. Inoltre notiamo che l'applicazione $R(Y) = N^{-1} Y N = {}^tN Y N$ manda matrici simmetriche in |
| 43 | + matrici simmetriche ed è biggettiva, quindi la relazione $\forall X \in \Symm \quad NAXN^{-1} = NXAN^{-1}$ equivale ad avere $\forall Y \in \Symm \quad NAN^{-1}YNN^{-1} = NN^{-1}YNAN^{-1} \implies DY = YD$. \\ |
| 44 | + Ci siamo quindi ridotti a cercare quali matrici diagonali $D$ commutano con tutte le matrici simmetriche. \\ |
| 45 | + Facciamo ora un po' di conti in notazione di Einstein. Siccome $D$ è diagonale vale $D_{ij} = \delta_{ij}D_{ij}$ dove con $\delta_{ij}$ si intende la delta di Kronecker. Cerchiamo quali matrici $X \in \kM(n, \bbR)$ commutano |
| 46 | + con una matrice diagonale fissata. $$DX = XD \implies D_{ik}X_{kj} = X_{ik}D_{kj} \implies \delta_{ik}D_{ik}X_{kj} = X_{ik}\delta_{kj}D_{kj} \implies D_{ii}X_{ij} = X_{ij}D_{jj} \quad \forall i, j$$ \\ |
| 47 | + Quindi $\forall i,j$ si hanno le due alternative $X_{ij} = 0$ oppure $D_{ii} = D_{jj}$. Ciò significa che se la matrice $D$ ha almeno due autovalori distinti non può commutare con tutte le matrici simmetriche |
| 48 | + (infatti per commutare sarebbero obbligate ad avere il numero zero in opportune celle). Ma allora la matrice $D$ ha tutti gli autovalori uguali, ovvero $D = \mu I$. \\ |
| 49 | + Allora $A = N^{-1}DN = N^{-1} \mu I N = \mu I$ quindi le uniche matrici che commutano con le matrici simmetriche sono i multipli dell'identità. |
| 50 | + \item Se $A = \mu I$, abbiamo $S_\mu (X) = \mu ({}^tX - X)$, $\mu \neq 0$ ($A = 0 \not\in \GL(n, \bbR)$). Si considerino ora le matrici simmetriche e quelle antisimmetriche. \\ |
| 51 | + Se $Y \in \Symm(n, \bbR)$ si ha $S_\mu (Y) = \mu ({}^tY - Y) = 0$, quindi $S_\mu\mid_{\Symm} \equiv 0$. Se $Y \in \Asymm(n, \bbR)$ si ha $S_\mu(Y) = \mu ({}^tY - Y) = - 2\mu Y$, |
| 52 | + quindi $S_\mu\mid_{\Asymm} \equiv 2\mu \Id$. \\ |
| 53 | + $S_\mu$ è quindi diagonalizzabile $\forall \mu$ e si ha quindi che: $$\chi_{S_\mu} (t) = t^{\frac{n(n+1)}{2}}(t-2\mu)^{\frac{n(n-1)}{2}}$$ $$m_{S_\mu} (t) = t (t-2\mu)$$ |
| 54 | + \end{enumerate} |
| 55 | + |
| 56 | +\end{document} |
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