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\documentclass{article}
\input{en_preamble.tex}
\input{xecjk_preamble.tex}
\begin{document}
\title{一维有限元}
\author{李奥}
\date{\chntoday}
\maketitle
\section{有限元}
\begin{itemize}
\item 为什么要用有限元方法?
\end{itemize}
因为对于一般的右端，很难甚至不能找到对应的解析解。有时对于一个简单的偏微分方程，解析解的求解都非常困难。那么我们就会引入数值方法(有限元)来求解偏微分方程。
\section{两点边值问题}
我们以两点边值问题为例，求 $u$ ,使得
\begin{equation}
\begin{cases}
-u'' & = f, x \in \Omega = [0, L], \\
u & = g_D, x \,\, on \,\, \Gamma.\\
\end{cases}
\end{equation}
\section{等价变分问题}
引入一类 Sobolev 空间：
\begin{equation*}
H^1(\Omega) = \{u\in L^2(\Omega)|\nabla u \in (L^2(\Omega)^2)\}
\end{equation*}
两个基本要素
\begin{itemize}
\item 试探函数空间 $u \in H^1_{g_D}(\Omega) = \{u|u \in H^1(\Omega) \text{且} u|_{\Gamma} = g_D\}$
\item 检验函数空间 $v \in H^1_0(\Omega) = \{v|v \in H^1(\Omega) \text{且} u|_{\Gamma} = 0\}$
\end{itemize}
对任意的 $v \in H^1_0(\Omega)$，同乘方程 (1) 的两端，积分得
\begin{equation}
-\int_{\Omega} u'' v \mathrm{d}x = \int_{\Omega} fv \mathrm{d}x
\end{equation}
利用散度定理，可得
\begin{equation}
\int_{\Omega} u' v' \mathrm{d}x = \int_{\Omega} fv \mathrm{d}x + \int_{\Gamma v g_D\cdot n}\mathrm{d}\Gamma
\end{equation}
即原问题转化为：求解 $u \in H^1_0(\Omega)$，满足
\begin{equation}
\int_{\Omega} u' v'\mathrm{d}x = \int_{\Omega} fv \mathrm{d}x
\end{equation}
\section{离散变分问题}
等价变分问题仍然是一个无限的问题，为了可算，我们要把无限的问题有限化，这样就引入了模型离散的变分形式。
线性有限元空间 $S_h \subset U$，定义如下
\begin{equation*}
S_h = \{u_h \in C(\Omega) |u_h|_K \in P^1(K), \, \forall \, K \in \mathcal T_h\}
\end{equation*}
\begin{equation*}
S_{h,0} = \{v \in S_h:\,\, v|_{\Gamma} = 0\}
\end{equation*}
其中，$\mathcal T_h$ 是网格剖分的集合。假设区间剖分 n 段。
那么离散形式为: 求解 $u_h \in S_h$, 使得
\begin{equation}
\int_{\Omega} u'_h v' \mathrm dx = \int_{\Omega} f v' \mathrm dx
\end{equation}
则写成矩阵形式为
\begin{equation}
\begin{pmatrix}
(\phi'_1, \phi'_1) & (\phi'_1, \phi'_2) & \cdots & (\phi'_1, \phi'_{n+1}) \\
(\phi'_2, \phi'_1) & (\phi'_2, \phi'_2) & \cdots & (\phi'_2, \phi'_{n+1}) \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
(\phi'_{n+1}, \phi'_1) & (\phi'_{n+1}, \phi'_2) & \cdots & (\phi'_{n+1}, \phi'_{n+1}) \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
u_1 \\
u_2 \\
\vdots \\
v_{n+1}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
(f_1, \phi_1) \\
(f_2, \phi_2) \\
\vdots \\
(f_{n+1}, \phi_{n+1}) \\
\end{pmatrix}
\end{equation}
\section{边界处理}
Dirichlet 边界处理
$$
\mathbf u = \mathbf u_{interior} + \mathbf u_{boundary}
$$
其中
$$
\mathbf u_{interior}[i] =
\begin{cases}
\mathbf u_i, & \mathbf x_i \text{ 是一个内部点}\\
0, & \mathbf x_i \text{ 是一个边界点}
\end{cases}
$$
$$
\mathbf u_{boundary}[i] =
\begin{cases}
u(x_i), & \mathbf x_i \text{ 是一个边界点}\\
0, & \mathbf x_i \text{ 是一个内部点}
\end{cases}
$$
\section{误差分析}
数值解与真解之间有一个什么关系？怎样才能说明有限元求解是正确的。
\section{问题}
\cite{fem_2010}
\bibliographystyle{abbrv}
\bibliography{ref}
\end{document}