Локальные исправления, опечатки, улучшения.

tex/FLPQ.tex

@@ -41,7 +41,7 @@ \section{Постановка задачи }
 Путь $G = \langle \Sigma, N, P \rangle$ --- контекстно-свободная грамматика.
 Будем считать, что $L \subseteq \Sigma$.
 Мы не фиксируем стартовый нетерминал в определении грамматики, поэтому, чтобы описать язык, задаваемый ей, нам необходимо отдельно зафиксировать стартовый нетерминал.
-Таким образом, будем говорить, что $L(G,N_i) = \{ w | N_i \xRightarrow[G]{*} w  \}$ --- это язык задаваемый грамматикой $G$ со стартовым нетерминалом $N_i$.
+Таким образом, будем говорить, что $L(G,N_i) = \{ w \mid N_i \xRightarrow[G]{*} w  \}$ --- это язык задаваемый грамматикой $G$ со стартовым нетерминалом $N_i$.
 
 \begin{example}
     Пример задачи поиска путей.

tex/FormalLanguageConstrainedReachabilityLectureNotes.tex

@@ -7,7 +7,7 @@
 
 \usepackage{geometry}
 \usepackage{amsfonts,latexsym}
-\usepackage{amsthm}
+\usepackage{amsthm, amsmath}
 \usepackage{amssymb}
 \usepackage[utf8]{inputenc} % Кодировка
 \usepackage[english,russian]{babel} % Многоязычность

tex/FormalLanguageTheoryIntro.tex

@@ -93,7 +93,7 @@ \section{Теоретико-множественные операции над 
 $$
 S_1 ^ n = \{ \underbrace{s_1 \odot s_1 \odot \ldots \odot s_1}_{\text{n раз}} \mid s_1 \in S_1\}
 $$
-При этом $S_1^0 = \{\varepsilon\}$\footnote{В данном случае нулевая степень тоже даёт единицу.}.
+При этом $S_1^0 = \{\varepsilon\}$\footnote{В данном случае нулевая степень даёт единицу, как мы и привыкли.}.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
@@ -129,7 +129,7 @@ \section{Распознаватели}
 Таким образом, язык задаваемый некоторым вычислителем --- это множество принимаемых им слов.
 Далее становится возможно классифицировать языки по тому, какого класса распознаватель необходим и достаточен, чтобы их задать.
 Например, можно выделить класс языков, задаваемых конечными автоматами.
-На это, в частности, построена \textit{иерархия Хомского}.
+На этом, в частности, построена \textit{иерархия Хомского}.
 
 
 
@@ -179,7 +179,7 @@ \section{Классы языков}
 Также, с данной презентацией рекомендуется ознакомиться чтобы представить себе состояние области в целом.}.
 Вариация предложенной Александром Охотиным иерархии представлена на изображении~\ref{fig:hierarchyOkhotin}~\footnote{Данная вариация скомпонована из версии, представленной в презентации ``Underlying principles
 and recurring ideas of formal grammars'' и версии, взятой из работы~\cite{MRYKHIN2023113829}.}.
-Представленная диаграмма содержит регулярные и контекстно-свободные.
+Приведённая диаграмма содержит регулярные и контекстно-свободные.
 Так и подклассы, лежащие между ними.
 Вместе с этим, классы, лежащие выше контекстно-свободных: многокомпонентные контекстно-свободные, булевы, конъюнктивные, их подклассы.
 
@@ -279,7 +279,7 @@ \section{Классы языков}
   \end{tikzpicture}
 \end{center}
 \caption{Иерархия. \textit{Reg} --- регулярные, \textit{LLLin}, \textit{LRLin}, \textit{UnambLin}, \textit{Lin}, \textit{LL}, \textit{LR}, \textit{Unamb} --- однозначные, \textit{Ordinary} --- обыкновенные (контекстно-свободные)
-\textit{Conj}, \textit{Boolean}, \textit{UnamnbBool}, \textit{UnambConj}, \textit{VPDA}, \textit{LinConj}, \textit{UnambTAG}, \textit{TAG}, \textit{MCFL},}
+\textit{Conj} --- конъюнктивные, \textit{Boolean} --- булевы, \textit{UnamnbBool}, \textit{UnambConj}, \textit{VPDA}, \textit{LinConj}, \textit{UnambTAG}, \textit{TAG}, \textit{MCFL},}
 \label{fig:hierarchyOkhotin}
 \end{figure}  
 

tex/LinearAlgebra.tex

@@ -112,10 +112,10 @@ \section{Бинарные операции и их свойства}
 
 \begin{itemize}
 	\item Умножение целых чисел дистрибутивно относительно сложения и вычитания: классический \textit{распределительный закон}, знакомый всем со школы.
-	\item Операция деления (допустим, на действительных числах) не коммутативна. При этом, она дистрибутивна справа относительно сложения и вычитания, но не дистрибутивна слева.
+	\item Операция деления (допустим, на действительных числах) не коммутативна. При этом, она дистрибутивна справа относительно сложения и вычитания, но не дистрибутивна слева\footnote{Здесь может быть уместно вспомнить правила сложения дробей. Дроби с общим знаминателем складывать проще как раз из-за дистрибутивности справа.}.
 	$$(a + b) / c = (a / c) + (b / c) $$
 	но
-	$$c / (a + b) \neq (c / a) + (c / b)\footnote{Здесь может быть уместно вспомнить правила сложения дробей. Дроби с общим знаминателем складывать проще как раз из-за дистрибутивности справа.}.$$
+	$$c / (a + b) \neq (c / a) + (c / b).$$
 \end{itemize}
 
 \end{example}
@@ -761,7 +761,7 @@ \section{Теоретическая сложность умножения мат
 
 Важной особенностью указанного выше направления улучшения алгоритмов является то, что оно допускает использования (и даже основывается на использовании) более богатых алгебраических структур, чем требуется для определения умножения двух матриц. Так, уже алгоритм Штрасеена использует операцию вычитания, что приводит к необходимости иметь обратные элементы по сложению, а значит определять матрицы над кольцом. Хотя для исходного определения (\ref{def:MxM}) достаточно более бедной структуры. При этом, часто, структуры, возникающие в прикладных задачах кольцами не являются. Примерами могут служить тропическое (или $\{min,+\}$) полукольцо, играющее ключевую роль в тропической математике, или булево ($\{\vee,\wedge\}$) полукольцо, возникающее, например, при работе с отношениями\footnote{Вообще говоря, в некоторых прикладных задачах возникают структуры, не являющиеся даже полукольцом. Предположим, что есть три различных множества $S_1, S_2$ и $S_3$ и две двухместные функции $f:S_1 \times S_2 \to S_3$ и $g: S_3 \times S_3 \to S_3$. Этого достаточно, чтобы определить произведение двух матриц $M_1$ и $M_2$, построенных из элементов множеств $S_1$ и $S_2$ соответственно. Результирующая матрица будет состоять из элементов $S_3$. Как видно, функции не являются бинарными операциями в смысле нашего определения. Несмотря на кажущуюся экзотичность, подобные структуры возникают на практике при работе с графами и учитываются, например, в стандарте GraphBLAS (\url{https://graphblas.github.io/}), где, кстати, называются полукольцами, что выглядит не вполне корректно.}. Значит, описанные выше решения не применимы и вопрос о существовании алгоритма с менее чем кубической сложностью снова актуален.
 
-В попытках ответить на этот вопрос появились так называемые комбинаторные алгоритмы умножения матриц\footnote{В противовес описанным выше, не являющимся комбинаторными. Стоит отметить, что строгое определение комбинаторных алгоритмов отсутствует, хотя этот термин и получил широкое употребление. В частности, Н.~Бансал (Nikhil Bansal) и Р.~Уильямс (Ryan Williams) в работе~\cite{5438580} дают определение комбинаторного алгоритма, но тут же замечают следующее: ``We would like to give a definition of ``combinatorial algorithm'', but this appears elusive. Although the term has been used in many of the cited references, nothing in the literature resembles a definition. For the purposes of this paper, let us think of a ``combinatorial algorithm'' simply as one that does not call an oracle for ring matrix multiplication.''. Ещё один вариант определения и его обсуждение можно найти в~\cite{das2018lower}.}. Классический результат в данной области --- это алгоритм четырёх русских, предложенный  В. Л. Арлазаровым, Е. А. Диницем, М. А. Кронродом и И. А. Фараджевым в 1970 году~\cite{ArlDinKro70}, позволяющий перемножить матрицы над конечным полукольцом за $O(n^3/\log n)$. Лучшим результатом\footnote{В работе~\cite{das2018lower} предложен алгоритм со сложностью $\Omega(n^{7/3}/2^{O(\sqrt{\log n})})$, однако авторы утверждают, что сами не уверены в комбинаторности предложенного решения. По-видимому, полученные результаты ещё должны быть проверены сообществом.} в настоящее время является алгоритм со сложностью $\hat{O}(n^3/\log^4 n)$\footnote{Нотация $\hat{O}$ скрывает $poly(\log\log)$ коэффициенты.}~\cite{10.1007/978-3-662-47672-7_89}.
+В попытках ответить на этот вопрос появились так называемые комбинаторные алгоритмы умножения матриц\footnote{В противовес описанным выше, не являющимся комбинаторными. Стоит отметить, что строгое определение комбинаторных алгоритмов отсутствует, хотя этот термин и получил широкое употребление. В частности, Н.~Бансал (Nikhil Bansal) и Р.~Уильямс (Ryan Williams) в работе~\cite{5438580} дают определение комбинаторного алгоритма, но тут же замечают следующее: ``We would like to give a definition of ``combinatorial algorithm'', but this appears elusive. Although the term has been used in many of the cited references, nothing in the literature resembles a definition. For the purposes of this paper, let us think of a ``combinatorial algorithm'' simply as one that does not call an oracle for ring matrix multiplication.''. Ещё один вариант определения и его обсуждение можно найти в~\cite{das2018lower}.}. Классический результат в данной области --- это алгоритм четырёх русских, предложенный  В. Л. Арлазаровым, Е. А. Диницем, М. А. Кронродом и И. А. Фараджевым в 1970 году~\cite{ArlDinKro70}, позволяющий перемножить матрицы над конечным полукольцом за $O(n^3/\log n)$. Лучшим результатом\footnote{В работе~\cite{das2018lower} предложен алгоритм со сложностью $\Omega(n^{7/3}/2^{O(\sqrt{\log n})})$, однако авторы утверждают, что сами не уверены в комбинаторности предложенного решения. По-видимому, полученные результаты ещё должны быть проверены сообществом.} в настоящее время является алгоритм со сложностью\footnote{Нотация $\hat{O}$ скрывает $poly(\log\log)$ коэффициенты.} $\hat{O}(n^3/\log^4 n)$~\cite{10.1007/978-3-662-47672-7_89}.
 
 Как видим, особенности алгебраических структур накладывают серьёзные ограничения на возможности конструирования алгоритмов. Отметим, что, хотя, в указанных случаях и предлагаются решения лучшие, чем наивное кубическое, они обладают принципиально разной асимптотической сложностью. в первом случае сложность оценивается полиномом, степень которого меньше третьей. Такие решения принято называть \textit{истинно субкубическими} (truly subcubic). В то время как в случае комбинаторных алгоритмов степень полинома остается прежней, третьей, хотя сложность и уменьшается на логарифмический фактор. Такие решения принято называть \textit{слегка субкубическими} (mildly subcubic). Естественный вопрос о существовании истинно субкубического алгоритма перемножения матриц над полукольцами (или же комбинаторного перемножения матриц) всё ещё не решён\footnote{Один из кандидатов --- работа~\cite{das2018lower}, однако на текущий момент предложенное в ней решение  требует проверки.}.