Merge ../ctes_mazhe

Une assez grosse réorgansisation pour mettre les fonctions convexes
en-dessous de l'optimisation.

commons.py

@@ -20,13 +20,22 @@
 
 
 ok_hash=[]
-ok_hash.append("7dd1f22241df25fe18b534a41346d88aaa2f6584")
 ok_hash.append("<++>")
 ok_hash.append("<++>")
 ok_hash.append("<++>")
 ok_hash.append("<++>")
 ok_hash.append("<++>")
 ok_hash.append("<++>")
+ok_hash.append("<++>")
+ok_hash.append("<++>")
+ok_hash.append("<++>")
+ok_hash.append("<++>")
+ok_hash.append("<++>")
+ok_hash.append("<++>")
+ok_hash.append("7dd1f22241df25fe18b534a41346d88aaa2f6584")
+ok_hash.append("8a8f415da5dd19372c11e752715bc537114bdd87")
+ok_hash.append("d07c64f2b7c0b9c2de776dc065f762b54fbfbfba")
+ok_hash.append("a66228915d6108a67f2a66b8212b9700b2cdacb9")
 ok_hash.append("ccced7c771d6b95a06cf3339fc4ae85a7624e8ca")
 ok_hash.append("77a4d1ada815b1388561bd7b44b18ebc93c38af6")
 ok_hash.append("246a74658264789058fbfbd84086f5ef1016df1b")

lst_actu.py

@@ -16,11 +16,11 @@
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-myRequest.ok_filenames_list.extend(["79_inversion_locale"])
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 myRequest.ok_filenames_list.extend(["157_thematique"])

mazhe.tex

@@ -201,14 +201,14 @@ \chapter{Retour sur les groupes}
 \input{62_representations}
 
 \chapter{Intégration}
-\input{70_suites_series_fonctions}
-\input{71_suites_series_fonctions}
-\input{169_suites_series_fonctions}
-\input{72_suites_series_fonctions}
-\input{155_suites_series_fonctions}
-\input{73_Chap_integrales_multiples}
-\input{38_Chap_integrales_multiples}
-\input{2_calcul_integral}
+\input{70_Integration}
+\input{71_Integration}
+\input{169_Integration}
+\input{72_Integration}
+\input{155_Integration}
+\input{73_Integration}
+\input{38_Integration}
+\input{2_Integration}
 
 \chapter{Suites et séries de fonctions}
 \input{75_series_fonctions}
@@ -223,16 +223,17 @@ \chapter{Trigonométrie, isométries}
 \chapter{Représentations et caractères}
 \input{63_representations}
 
-\chapter{Arc paramétré}
-\input{74_Chap_courbes_parametre}
-\input{152_Chap_courbes_parametre}
 
 \chapter{Suite de l'analyse}
 \input{77_series_fonctions}
-\input{78_inversion_locale}
+\input{184_SuiteAnalyse}
 \input{79_inversion_locale}
 \input{80_Newton}
 
+\chapter{Arc paramétré}
+\input{74_Chap_courbes_parametre}
+\input{152_Chap_courbes_parametre}
+
 \chapter{Géométrie hyperbolique}
 \input{160_hyperbolique}
 

réserve.tex

@@ -1,4 +1,3 @@
-184_
 185_
 
 69_theme

tex/frido/174_series_fonctions.tex

@@ -549,7 +549,7 @@ \section{Vitesses de $x^{\alpha}$, de l'exponentielle et du logarithme}
     \begin{equation}        \label{EqooilOz}
         \exp\left( \sum_{p\in P_x}\frac{1}{ p } \right)\geq\prod_{p\in P_x}\left( 1+\frac{1}{ p } \right)\geq \sum_{q\in S_x}\frac{1}{ q }.
     \end{equation}
-    La première inégalité est simplement le fait que \( 1+u\leq e^u\) si \( u\geq 0\) (directe de la définition \ref{ThoRWOZooYJOGgR}). Les inégalités suivantes proviennent du fait que le logarithme est une primite de la fonction inverse (proposition \ref{ExZLMooMzYqfK}) :
+    La première inégalité est simplement le fait que \( 1+u\leq e^u\) si \( u\geq 0\) (directe de la définition \ref{ThoRWOZooYJOGgR}). Les inégalités suivantes proviennent du fait que le logarithme est une primitive de la fonction inverse (proposition \ref{ExZLMooMzYqfK}) :
     \begin{equation}
         \ln(x)\leq \sum_{n\geq x}\int_{n}^{n+1}\frac{dt}{ t }\leq \sum_{n\geq x}\frac{1}{ n }.
     \end{equation}

tex/frido/38_Chap_integrales_multiples.tex → tex/frido/38_Integration.tex

@@ -305,185 +305,6 @@ \subsection{La méthode de Rothstein-Trager}
 
 %TODO : lorsque j'aurai fait la construction du logarithme et ses propriétés, il faudra en faire référence ici. 
 
-%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 
-\section{Ellipsoïde de John-Loewer}
-%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
-
-Soit \( q\) une forme quadratique sur \( \eR^n\) ainsi que \( \mB\) une base orthonormée de \( \eR^n\) dans laquelle la matrice de  \( q\) est diagonale. Dans cette base, la forme \( q\) est donnée par la proposition \ref{PropFWYooQXfcVY} :
-\begin{equation}
-    q(x)=\sum_i\lambda_ix_i
-\end{equation}
-où les \( \lambda_i\) sont les valeurs propres de \( q\).
-
-Plus généralement nous notons \( mat_{\mB}(q)\)\nomenclature[A]{\( mat_{\mB}(q)\)}{matrice de \( q\) dans la base \( \mB\)} la matrice de \( q\) dans la base \( \mB\) de \( \eR^n\).
-
-\begin{proposition} \label{PropOXWooYrDKpw}
-    Soit \( \mB\) une base orthonormée de \( \eR^n\) et l'application\footnote{L'ensemble \( Q(E)\) est l'ensemble des formes quadratiques sur \( E\).}
-    \begin{equation}
-        \begin{aligned}
-            D\colon Q(\eR^n)&\to \eR \\
-            q&\mapsto \det\big( mat_{\mB}(q) \big) .
-        \end{aligned}
-    \end{equation}
-    Alors :
-    \begin{enumerate}
-        \item
-            La valeur et \( D\) ne dépend pas du choix de la base orthonormée \( \mB\).
-        \item
-            La fonction \( D\) est donnée par la formule \( D(q)=\prod_i\lambda_i\) où les \( \lambda_i\) sont les valeurs propres de \( q\).
-        \item
-            La fonction \( D\) est continue.
-    \end{enumerate}
-\end{proposition}
-
-\begin{proof}
-    Soit \( q\) une forme quadratique sur \( \eR^n\). Nous considérons \( \mB\) une base de diagonalisation de \( q\) :
-    \begin{equation}
-        q(x)=\sum_i\lambda_ix_i
-    \end{equation}
-    où les \( x_i\) sont les composantes de \( x\) dans la base \( \mB\). Par définition, la matrice \( mat_{\mB}(q)\) est la matrice diagonale contenant les valeurs propres de \( q\).
-
-    Nous considérons aussi \( \mB_1\), une autre base orthonormées de \( \eR^n\). Nous notons \( S=mat_{\mB_1}(q)\); étant symétrique, cette matrice se diagonalise par une matrice orthogonale : il existe \( P\in\gO(n,\eR)\) telle que
-    \begin{equation}
-        S=P mat_{\mB}(q)P^t;
-    \end{equation}
-    donc \( \det(S)=\det(PP^t)\det\big( \diag(\lambda_1,\ldots, \lambda_n) \big)=\lambda_1\ldots\lambda_n\). Ceci prouve en même temps que \( D\) ne dépend pas du choix de la base et que sa valeur est le produit des valeurs propres.
-
-    Passons à la continuité. L'application déterminant \( \det\colon S_n(\eR^n)\to \eR\) est continue car polynôme en les composantes. D'autre par l'application \( mat_{\mB}\colon Q(\eR^n)\to S_n(\eR)\) est continue par la proposition \ref{PropFSXooRUMzdb}. L'application  \( D\) étant la composée de deux applications continues, elle est continue.
-\end{proof}
-
-\begin{proposition}[Ellipsoïde de John-Loewner\cite{KXjFWKA}]   \label{PropJYVooRMaPok}
-    Soit \( K\) compact dans \( \eR^n\) et d'intérieur non vide. Il existe une unique ellipsoïde\footnote{Définition \ref{DefOEPooqfXsE}.} (pleine) de volume minimal contenant \( K\).
-\end{proposition}
-\index{déterminant!utilisation}
-\index{extrema!volume d'un ellipsoïde}
-\index{convexité!utilisation}
-\index{compacité!utilisation}
-
-\begin{proof}
-    Nous subdivisons la preuve en plusieurs parties.
-    \begin{subproof}
-        \item[À propos de volume d'un ellipsoïde]
-
-            Soit \( \ellE\) un ellipsoïde. La proposition \ref{PropWDRooQdJiIr} et son corollaire \ref{CorKGJooOmcBzh} nous indiquent que 
-            \begin{equation}
-                \ellE=\{ x\in \eR^n\tq q(x)\leq 1 \}
-            \end{equation}
-            pour une certaine forme quadratique strictement définie positive \( q\). De plus il existe une base orthonormée \( \mB=\{ e_1,\ldots, e_n \}\) de \( \eR^n\) telle que 
-            \begin{equation}    \label{EqELBooQLPQUj}
-                q(x)=\sum_{i=1}^na_ix_i^2
-            \end{equation}
-            où \( x_i=\langle e_i, x\rangle \) et les \( a_i\) sont tous strictement positifs. Nous nommons \( \ellE_q\) l'éllipsoïde associée à la forme quadratique \( q\) et \( V_q\) son volume que nous allons maintenant calculer\footnote{Le volume ne change pas si nous écrivons l'inégalité stricte au lieu de large dans le domaine d'intégration; nous le faisons pour avoir un domaine ouvert.} :
-            \begin{equation}
-                V_q=\int_{\sum_ia_ix_i^2<1}dx
-            \end{equation}
-            Cette intégrale est écrite de façon plus simple en utilisant le \( C^1\)-difféomorphisme
-            \begin{equation}
-                \begin{aligned}
-                    \varphi\colon \ellE_q&\to B(0,1) \\
-                    x&\mapsto \Big( x_1\sqrt{a_1},\ldots, x_n\sqrt{a_n} \Big). 
-                \end{aligned}
-            \end{equation}
-            Le fait que \( \varphi\) prenne bien ses valeurs dans \( B(0,1)\) est un simple calcul : si \( x\in\ellE_q\), alors
-            \begin{equation}
-                \sum_i\varphi(x)_i^2=\sum_ia_ix_i^2<1.
-            \end{equation}
-            Cela nous permet d'utiliser le théorème de changement de variables \ref{THOooUMIWooZUtUSg} :
-            \begin{equation}
-                V_q=\int_{\sum_ia_ix_i^2<1}dx=\frac{1}{ \sqrt{a_1\ldots a_n} }\int_{B(0,1)}dx.
-            \end{equation}
-            %TODO : le volume de la sphère dans \eR^n. Mettre alors une référence ici.
-            La dernière intégrale est le volume de la sphère unité dans \( \eR^n\); elle n'a pas d'importance ici et nous la notons \( V_0\). La proposition \ref{PropOXWooYrDKpw} nous permet d'écrire \(V_q\) sous la forme
-            \begin{equation}
-                V_q=\frac{ V_0 }{ \sqrt{D(q)} }.
-            \end{equation}
-
-        \item[Existence de l'ellipsoïde]
-
-            Nous voulons trouver un ellipsoïde contenant \( K\) de volume minimal, c'est à dire une forme quadratique \( q\in Q^{++}(\eR^n)\) telle que
-            \begin{itemize}
-                \item \( D(q)\) soit maximal
-                \item \( q(x)\leq 1\) pour tout \( x\in K\).
-            \end{itemize}
-            Nous considérons l'ensemble des candidats semi-définis positifs.
-            \begin{equation}
-                A=\{ q\in Q^+\tq q(x)\leq 1\forall x\in K \}.
-            \end{equation}
-            Nous allons montrer que \( A\) est convexe, compact et non vide dans \( Q(\eR^n)\); il aura ainsi un maximum de la fonction continue \( D\) définie sur \( Q(\eR^n)\). Nous montrerons ensuite que le maximum est dans \( Q^{++}\). L'unicité sera prouvée à part.
-
-            \begin{subproof}
-            \item[Non vide]
-                L'ensemble \( K\) est compact et donc borné par \( M>0\). La forme quadratique \( q\colon x\mapsto \| x \|^2/M^2\) est dans \( A\) parce que si \( x\in K\) alors 
-                \begin{equation}
-                    q(x)=\frac{ \| x \|^2 }{ M^2 }\leq 1.
-                \end{equation}
-            \item[Convexe]
-                Soient \( q,q'\in A\) et \( \lambda\in\mathopen[ 0 , 1 \mathclose]\). Nous avons encore \( \lambda q+(1-\lambda)q'\in Q^+\) parce que 
-                \begin{equation}
-                    \lambda q(x)+(1-\lambda)q'(x)\geq 0
-                \end{equation}
-                dès que \( q(x)\geq 0\) et \( q'(x)\geq 0\).
-            D'autre part si \( x\in K\) nous avons
-            \begin{equation}
-                \lambda q(x)+(1-\lambda)q'(x)\leq \lambda+(1-\lambda)=1.
-            \end{equation}
-            Donc \( \lambda q+(1-\lambda)q'\in A\).
-
-        \item[Fermé]
-
-            Pour rappel, la topologie de \( Q(\eR^n)\) est celle de la norme \eqref{EqZYBooZysmVh}. Nous considérons une suite \( (q_n)\) dans \( A\) convergeant vers \( q\in Q(\eR^n)\) et nous allons prouver que \( q\in A\), de sorte que la caractérisation séquentielle de la fermeture (proposition \ref{PropLFBXIjt}) conclue que \( A\) est fermé. En nommant \( e_x\) le vecteur unitaire dans la direction \( x\) nous avons
-            \begin{equation}
-                \big| q(x) \big|=\big| \| x \|^2q(e_x) \big|\leq \| x \|^2N(q),
-            \end{equation}
-            de sorte que notre histoire de suite convergente  donne pour tout \( x\) :
-            \begin{equation}
-                \big| q_n(x)-q(x) \big|\leq \| x \|^2N(q_n-q)\to 0.
-            \end{equation}
-            Vu que \( q_n(x)\geq 0\) pour tout \( n\), nous devons aussi avoir \( q(x)\geq 0\) et donc \( q\in Q^+\) (semi-définie positive). De la même manière si \( x\in K\) alors \( q_n(x)\leq 1\) pour tout \( n\) et donc \( q(x)\leq 1\). Par conséquent \( q\in A\) et \( A\) est fermé.
-
-        \item[Borné]
-
-            La partie \( K\) de \( \eR^n\) est borné et d'intérieur non vide, donc il existe \( a\in K\) et \( r>0\) tel que \( \overline{ B(a,r) }\subset K\). Si par ailleurs \( q\in A\) et \( x\in\overline{ B(0,r) }\) nous avons \( a+x\in K\) et donc \( q(a+x)\leq 1\). De plus \( q(-a)=q(a)\leq 1\), donc
-            \begin{equation}
-                \sqrt{q(x)}=\sqrt{q\big( x+a-a \big)}\leq \sqrt{q(x+a)}+\sqrt{q(-a)}\leq 2
-            \end{equation}
-            par l'inégalité de Minkowski \ref{PropACHooLtsMUL}. Cela prouve que si \( x\in\overline{ B(0,r) }\) alors \( q(x)\leq 4\). Si par contre \( x\in\overline{ B(0,1) }\) alors \( rx\in\overline{ B(0,r) } \) et 
-            \begin{equation}
-                0\leq q(x)=\frac{1}{ r^2 }q(rx)\leq \frac{ 4 }{ r^2 },
-            \end{equation}
-            ce qui prouve que \( N(q)\leq \frac{ 4 }{ r^2 }\) et que \( A\) est borné.
-
-
-            \end{subproof}
-
-            L'ensemble \( A\) est compact parce que fermé et borné, théorème de Borel-Lebesgue \ref{ThoXTEooxFmdI}. L'application continue \( D\colon Q(\eR^n)\to \eR\) de la proposition \ref{PropOXWooYrDKpw} admet donc un maximum sur le compact \( A\). Soit \( q_0\) ce maximum.
-
-            Nous montrons que \( q_0\in Q^{++}(\eR^d)\). Nous savons que l'application \( f\colon x\mapsto \frac{ \| x \|^2 }{ M^2 }\) est dans \( A\) et que \( D(f)>0\). Vu que \( q_0\) est maximale pour \( D\), nous avons
-            \begin{equation}
-                D(q_0)\geq D(f)>0.
-            \end{equation}
-            Donc \( q_0\in Q^{++}\).
-
-        \item[Unicité]
-
-            S'il existe une autre ellipsoïde de même volume que celle associée à la forme quadratique \( q_0\), nous avons une forme quadratique \( q\in Q^{++}\) telle que \( q(x)\leq 1\) pour tout \( x\in K\). C'est à dire que nous avons \( q_0,q\in A\) tels que \( D(q_0)=D(q)\).
-
-            Nous considérons la base canonique \( \mB_c\) de \( \eR^n\) et nous posons \( S=mat_{\mB_c}(q)\), \( S_0=mat_{\mB_c}(q_0)\). Étant donné que \( A\) est convexe, \( (q_0+q)/2\in A\) et nous allons prouver que cet élément de \( A\) contredit la maximalité de \( q_0\). En effet
-            \begin{equation}
-                D\left( \frac{ q+q_0 }{ 2 }\right)=\det\left( \frac{ S+S_0 }{2} \right)
-            \end{equation}
-            Nous allons utiliser le lemme \ref{LemXOUooQsigHs} qui dit que le logarithme est log-concave sous la forme de l'équation \eqref{EqSPKooHFZvmB} avec \( \alpha=\beta=\frac{ 1 }{2}\) :
-            \begin{equation}    \label{eqBHJooYEUDPC}
-                D\left( \frac{ q+q_0 }{ 2 }\right)=\det\left( \frac{ S+S_0 }{2} \right)>\sqrt{\det(S)}\sqrt{\det(S_0)}=\det(S_0)=D(q_0).
-            \end{equation}
-            Nous avons utilisé le fait que \( D(q_0)=D(q)\) qui signifie que \( \det(S_0)=\det(S)\). L'inéquation \eqref{eqBHJooYEUDPC} contredit la maximalité de \( D(q_0)\) et donne donc l'unicité.
-    \end{subproof}
-\end{proof}
-% This is part of Mes notes de mathématique
-% Copyright (c) 2011-2014
-%   Laurent Claessens
-% See the file fdl-1.3.txt for copying conditions.
-
 %+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
 \section{Rappel sur les intégrales usuelles}
 %+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

tex/frido/53_topologie.tex

@@ -410,12 +410,6 @@ \subsection{Norme}
 
 Un espace vectoriel normé est alors immédiatement un espace vectoriel topologique
 
-%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
-\section{Espace vectoriel normé}
-%+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
-
-La définition d'une norme sur un espace vectoriel est la définition \ref{DefNorme}.
-
 %--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 \subsection{Quelque exemples}
 %---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

tex/frido/57_EspacesVectos.tex

@@ -1671,7 +1671,11 @@ \subsection{Diagonalisation : cas réel}
 \end{definition}
 Afin d'éviter l'une ou l'autre confusion, nous disons souvent \emph{strictement} définie positive pour positive.
 
-Nous notons \( S^+(n,\eR)\)\nomenclature[A]{\( S^+(n,\eR)\)}{matrices symétriques semi-définies positives} l'ensemble des matrices réelles \( n\times n\) semi-définies positives. L'ensemble \( S^{++}(n,\eR)\)\nomenclature[A]{\( S^{++}(n,\eR)\)}{matrices symétriques strictement définies positives} est l'ensemble des matrices symétriques strictement définies positives.
+\begin{normaltext}      \label{NORMooAJLHooQhwpvr}
+    Nous nommons \( S^+(n,\eR)\) l'ensemble des matrices réelles symétriques \( n\times n\) et \( S^{++}(n,\eR)\) le sous-ensemble de \( S^+(n,\eR)\) des matrices strictement définies positives.
+    \nomenclature[B]{\( S^+(n,\eR)\)}{matrices symétriques définies positives}
+    \nomenclature[B]{\( S^{++}(n,\eR)\)}{matrices symétriques strictement définies positives}
+\end{normaltext}
 
 \begin{remark}
     Nous ne définissons pas la notion de matrice définie positive pour une matrice non symétrique.

tex/frido/61_representations.tex

@@ -865,11 +865,7 @@ \subsection{Racine carré d'une matrice symétrique positive}
 \subsection{Décomposition polaires : cas réel}
 %---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 
-\begin{normaltext}      \label{NORMooAJLHooQhwpvr}
-    Nous nommons \( S^+(n,\eR)\) l'ensemble des matrices \( n\times n\) symétriques réelles définies positives et \( S^{++}(n,\eR)\) le sous-ensemble de \( S^+(n,\eR)\) des matrices strictement définies positives.
-    \nomenclature[B]{\( S^+(n,\eR)\)}{matrices symétriques définies positives}
-    \nomenclature[B]{\( S^{++}(n,\eR)\)}{matrices symétriques strictement définies positives}
-\end{normaltext}
+Nous rappelons que \( S^{++}(n,\eR)\) est l'ensemble des matrice symétriques strictement définies positives définies en \ref{NORMooAJLHooQhwpvr}.
 
 \begin{lemma}   \label{LemMGUSooPqjguE}
     La partie \( S^+(n,\eR)\) est fermée dans \( \eM(n,\eR)\).