Projeto Enigma

APS 2 - Algebra Linear e Teoria da Informação - 2023.1

1.Integrantes:

• Felipe Maluli de Carvalho Dias
• Lucca Hiratsuca Costa

Indice

1. Introdução
2. Descrição do Projeto
3. Implementação
4. Funções implementadas na biblioteca
5. Modelo Matemático
6. Como rodar
7. Como instalar a biblioteca
8. Como rodar a API
9. Demonstração da biblioteca
10. Rotas da API

Introdução

A biblioteca em Python que estamos apresentando permite a criptografia e descriptografia de mensagens utilizando o algoritmo Enigma. Seu principal objetivo é atender à demanda da APS 2 da disciplina de Álgebra Linear e Teoria da Informação do curso de Ciência da Computação do Insper, ministrada pelo professor Tiago Fernandes Tavares.

A criptografia é um processo importante para garantir a segurança da informação e proteger a privacidade dos dados. O algoritmo Enigma, que foi utilizado pela Alemanha durante a Segunda Guerra Mundial para criptografar mensagens militares, é um exemplo clássico de criptografia. A biblioteca em Python que desenvolvemos é baseada nesse algoritmo e oferece uma maneira eficiente de criptografar e descriptografar mensagens.

Além de ser uma solução prática para a APS 2 da disciplina de Álgebra Linear e Teoria da Informação, a biblioteca em Python que desenvolvemos pode ser utilizada por qualquer pessoa ou organização que deseje criptografar suas comunicações de forma segura e confiável. Ela é fácil de usar e pode ser integrada em qualquer projeto em Python.

Por fim, é importante destacar que a segurança da criptografia não depende apenas do algoritmo utilizado, mas também da forma como ele é implementado e utilizado. Por isso, é importante tomar medidas adicionais para proteger a privacidade dos dados, como usar chaves seguras e implementar protocolos de segurança adequados.

Descrição do Projeto

O algoritmo Enigma é um método de criptografia que utiliza uma cifra de substituição polialfabética. Essa cifra é construída a partir de uma série de rotores, que são discos com contatos elétricos que permitem codificar letras em uma mensagem. Cada rotor é uma permutação dos caracteres do alfabeto e, quando combinados em uma ordem específica, formam a cifra Enigma.

A complexidade da cifra Enigma se deve ao fato de que os rotores são rotativos e possuem um deslocamento aleatório, o que significa que a permutação dos caracteres muda a cada letra codificada. Além disso, os rotores são conectados de tal forma que cada letra da mensagem passa através deles de uma maneira não linear e altamente complexa. Essa complexidade é amplificada ainda mais pelo uso de um painel de plugues que altera ainda mais a configuração dos rotores.

A matemática por trás do algoritmo Enigma é extremamente complexa, e sua criptografia e descriptografia são baseadas em um conjunto de equações altamente não lineares. Essas equações são difíceis de serem resolvidas por meios convencionais, o que torna a cifra Enigma altamente segura. No entanto, durante a Segunda Guerra Mundial, a equipe de criptoanalistas liderada por Alan Turing conseguiu quebrar a cifra Enigma, o que foi fundamental para o esforço de guerra dos Aliados.

Em resumo, a cifra Enigma é um dos exemplos mais famosos de criptografia, e seu uso durante a Segunda Guerra Mundial ressalta a importância da segurança da informação e do desenvolvimento contínuo de técnicas avançadas de criptografia.

Implementação

A biblioteca que estamos apresentando é uma implementação da cifra Enigma que utiliza matrizes de permutação para representar os rotores. A cifra é construída aplicando a matriz de permutação correspondente a cada rotor em ordem, o que permite codificar as letras da mensagem de forma segura e confiável.

Além disso, a biblioteca inclui funções para codificar mensagens como matrizes usando one-hot encoding, o que facilita o processamento da mensagem durante o processo de criptografia. Esse método de codificação converte cada letra em uma matriz com uma única posição definida como 1, e todas as outras posições definidas como 0. Esse formato é conveniente para o processamento da mensagem através dos rotores da cifra Enigma.

A biblioteca também inclui funções para converter as matrizes de volta em mensagens legíveis, o que permite a descriptografia da mensagem após a criptografia. Essas funções permitem que a mensagem original seja recuperada de forma fácil e eficiente.

Em resumo, a biblioteca que desenvolvemos é uma implementação eficiente da cifra Enigma, que utiliza matrizes de permutação para representar os rotores. Além disso, a inclusão de funções para codificar e decodificar mensagens como matrizes simplifica o processo de criptografia e descriptografia. Essa biblioteca pode ser utilizada por estudantes de criptografia, pesquisadores e desenvolvedores interessados em implementar a cifra Enigma em seus projetos.

Funções implementadas na biblioteca:

• para_one_hot(msg): Função para codificar mensagens como uma matriz usando one-hot encoding
• para_string(M): Função para converter mensagens da representação one-hot encoding para uma string legível
• cifrar(msg, P): Função que aplica uma cifra simples em uma mensagem recebida como entrada e retorna a mensagem cifrada. P é a matriz de permutação que realiza a cifra.
• de_cifrar(msg, P): Função que recupera uma mensagem cifrada, recebida como entrada, e retorna a mensagem original. P é a matriz de permutação que realiza a cifra.
• enigma(msg, P, E): Função que faz a cifra enigma na mensagem de entrada usando o cifrador P e o cifrador auxiliar E, ambos representados como matrizes de permutação.
• de_enigma(msg, P, E): Função que recupera uma mensagem cifrada como enigma assumindo que ela foi cifrada com o usando o cifrador P e o cifrador auxiliar E, ambos representados como matrizes de permutação.

Modelo Matemático

Para cifrar uma mensagem usando Enigma, a matriz de permutação de cada vetor é aplicada à mensagem em ordem. Isso é feito da seguinte maneira:

Criptografia

Para a criptografia, utilizamos a função 'Enigma', a qual é usada para criptografar uma mensagem usando as matrizes de enigma e de permutação fornecidas.

A ideia principal da função é criar uma matriz one-hot a partir da mensagem de entrada, aplicar a matriz de permutação à primeira coluna e, para cada coluna subsequente, aplicar a matriz de enigma E à matriz resultante da multiplicação da matriz one-hot correspondente com todas as matrizes de enigma anteriores usando o operador @ de multiplicação de matriz.

A função começa convertendo a mensagem de entrada em uma matriz one-hot usando a função 'para_one_hot', que retorna uma matriz de tamanho (27, m), onde m é o número de caracteres na mensagem de entrada. A matriz resultante é transposta usando o método '.T.'.

Em seguida, a primeira coluna da matriz one-hot é embaralhada aplicando a matriz de permutação P à primeira coluna da matriz one-hot. A matriz de permutação é multiplicada com a primeira coluna da matriz one-hot usando o operador @ de multiplicação de matriz.

Para cada coluna subsequente da matriz one-hot, a função percorre as matrizes de enigma, aplicando uma matriz de enigma a cada coluna subsequente da matriz one-hot. A matriz de enigma é aplicada usando o operador @ de multiplicação de matriz. A função 'reduce' é usada para aplicar as matrizes de enigma em ordem, começando com a segunda coluna da matriz one-hot e terminando com a última coluna.

A função 'np.vstack' é usada para concatenar as colunas processadas da matriz one-hot em uma matriz resultante 'final'. A função 'np.vstack' adiciona uma nova linha a cada iteração do loop for, que é formada pela aplicação das matrizes de enigma às colunas da matriz one-hot.

O resultado final é uma matriz de tamanho (27, m), onde m é o número de caracteres na mensagem original, contendo a representação one-hot da mensagem cifrada. A matriz resultante é transposta e convertida de volta para uma string usando a função 'para_string', que retorna uma string correspondente à mensagem cifrada.

Matematicamente:

A função enigma pode ser expressa em equações matemáticas da seguinte forma:

• Seja msg uma string de tamanho m contendo a mensagem original.
• Seja P uma matriz de permutação 27 x 27.
• Seja E uma matriz de enigma 27 x 27.
• Seja hotMessage uma matriz 27 x m representando a mensagem original na forma one-hot, onde cada coluna corresponde a um caractere da mensagem.

A matriz cifrada resultante final pode ser calculada da seguinte forma:

1. Transpor a matriz hotMessage para obter uma matriz m x 27.

   $hotMessage^T = [h_1, h_2, \cdots, h_m]$

2. Calcular o produto matricial P @ hotMessage[0] para obter a primeira coluna da matriz cifrada final.

   $final[:,0] = P \cdot hotMessage^T_{:,0}$

3. Para as colunas restantes de hotMessage, calcular o produto matricial E @ x em um loop usando a função reduce para obter cada coluna correspondente de final.

   $final[:,i] = \left(\prod_{j=0}^{i-1} E \right) \cdot P \cdot hotMessage^T_{:,i}$

4. Converter a matriz cifrada final em uma string usando a função para_string.

   $cifra = para_string(final^T)$

Decriptografia

A decriptografia com Enigma segue uma lógica parecida com processo da criptografia. Sendo que essa é usada para descriptografar uma mensagem cifrada usando as matrizes de enigma e de permutação fornecidas.
O objetivo da função é reverter a cifragem feita pela função enigma, que converteu a mensagem original em uma matriz one-hot, aplicou a matriz de permutação à primeira coluna e, para cada coluna subsequente, aplicou a matriz de enigma E à matriz resultante da multiplicação da matriz one-hot correspondente com todas as matrizes de enigma anteriores usando o operador @ de multiplicação de matriz.

A função começa convertendo a mensagem cifrada em uma matriz one-hot usando a função para_one_hot, que retorna uma matriz de tamanho (27, m), onde m é o número de caracteres na mensagem cifrada.

Em seguida, a primeira coluna da matriz one-hot é desembaralhada aplicando a matriz de permutação inversa np.linalg.inv(P) à primeira coluna da matriz one-hot. A matriz de permutação inversa é encontrada usando a função np.linalg.inv, que calcula a matriz inversa de uma matriz quadrada.

Para cada coluna subsequente da matriz one-hot, a função percorre as matrizes de enigma de trás para frente, aplicando a matriz inversa de cada uma delas à coluna correspondente da matriz one-hot. O resultado da aplicação da matriz inversa de cada matriz de enigma é usado como entrada para a matriz inversa da matriz de permutação np.linalg.inv(P). A função reduce é usada para aplicar as matrizes inversas em ordem reversa, começando com a última matriz de enigma e terminando na primeira.

O resultado final é uma matriz de tamanho (27, m), onde m é o número de caracteres na mensagem cifrada, contendo a representação one-hot da mensagem original. A mensagem original é obtida convertendo a matriz de volta para uma string usando a função para_string, que retorna uma string correspondente à mensagem original.

Matematicamente:

Ela recebe três parâmetros: uma string msg representando a mensagem cifrada, uma matriz de permutação P e uma matriz de enigma E.

A matriz decifrada resultante final pode ser calculada da seguinte forma:

Seja msg uma matriz 27 x m representando a mensagem cifrada na forma one-hot, onde cada coluna corresponde a um caractere da mensagem.

1. Para a primeira coluna de msg, calcular o produto matricial da matriz inversa de P com a primeira coluna de msg.

   $final[:,0] = P^{-1} \cdot msg^T_{:,0}$

2. Para as colunas restantes de msg, calcular o produto matricial da matriz inversa de E multiplicada por todas as colunas anteriores de msg (usando a função reduce) com a matriz inversa de P e adicionar a coluna correspondente a final.

   $final[:,i] = P^{-1} \cdot \left(\prod_{j=0}^{i-1} E^{-1} \right) \cdot msg^T_{:,i}$

3. Converter a matriz decifrada final em uma string usando a função para_string.

   $cifra = para_string(final^T)$

Portanto, a equação matemática geral para a função de_enigma seria:

Dada uma mensagem cifrada msg, uma matriz de permutação P e uma matriz de enigma E, a mensagem original pode ser obtida pela seguinte equação:

$final[:,0] = P^{-1} \cdot msg^T_{:,0}$

$final[:,i] = P^{-1} \cdot \left(\prod_{j=0}^{i-1} E^{-1} \right) \cdot msg^T_{:,i}$

$cifra = para_string(final^T)$

Como rodar

Para rodar o demo da biblioteca Enigma, siga as instruções abaixo:

Como instalar a biblioteca

1. Certifique-se de ter o Python 3 instalado em seu computador.
2. Para instalar a biblioteca, execute o seguinte comando no terminal:

   pip install git+https://github.com/liviatanaka/criptografia_Enigma

Como rodar a API

1. Certifique-se de que o Python 3 ou superior está instalado no seu computador.

2. Clone ou faça o download do repositório no seu computador.

   2.1 Clonar o repositório:

   Primeiramente, é necessário que se clone o repositório do projeto.
   Obs.: Se você não sabe como clonar um repositório, não tem problema! Basta seguir o link a seguir para resolver isso: "https://docs.github.com/pt/repositories/creating-and-managing-repositories/cloning-a-repository"

3. Acesse a pasta raiz do projeto no terminal.

4. Instalar dependências:

   4.1 Após ter o repositório em sua máquina, é necessário que se instale as dependências as quais o projeto utiliza para o seu funcionamento. Para isso, é necessário que, com o projeto aberto em seu editor de código (VS Code, Intelli J, etc.), seja criado um terminal e que esse esteja também esteja com o diretório do projeto aberto (utilizar comandos 'cd' - Windows ou 'ls' - Linux) para muder de diretório.

   4.2 Certifique-se de que você tem o pip (gerenciador de pacotes Python) instalado. Caso contrário, você pode instalá-lo utilizando o comando sudo apt install python-pip (para sistemas baseados em Debian/Ubuntu) ou sudo yum install python-pip (para sistemas baseados em CentOS/Fedora).

   4.3 Com o diretório do projeto no terminal, podemos baixar todas as dependências necessárias. Para isso, utilize o seguinte comando:
   

   pip install -r requirements.txt 
   

   Esse comando instalará todas as dependências especificadas no arquivo "requirements.txt" automaticamente.

   4.4 Aguarde até que todas as dependências sejam instaladas. Isso pode levar algum tempo, dependendo do número de pacotes listados e suas respectivas dependências.

   4.5 Depois que todas as dependências forem instaladas com sucesso, você poderá executar o seu projeto Python normalmente, sem se preocupar com a falta de pacotes necessários.

5. Execute o seguinte comando para rodar o demo:

   python app.py

Isso iniciará o servidor Flask e o demo estará disponível no endereço http://localhost:5000. Para demonstração rápida, consulte o arquivo teste_api.ipynb.

Demonstração da biblioteca

Para aprender a usar a biblioteca enigmalille, consulte o arquivo teste_biblioteca.ipynb. Nele, você encontrará exemplos de como cifrar e decifrar diferentes tipos de mensagens usando as funções disponíveis, incluindo:

• Mensagens comuns
• Mensagens contendo caracteres que não pertencem ao alfabeto
• Mensagens vazias

Rotas da API

https://localhost:5000

Funcionalidade	URL path
Cifra	/enygma/encrypt/cifra
De_Cifra	/enygma/decrypt/de-cifra
Enigma	/enygma/encrypt/enigma
De_Enigma	/enygma/decrypt/de-enigma
Para_OneHot	/enygma/encrypt/onehot
Para_String	/enygma/decrypt/string