3D Cube Pygame

Descrição

Programa em pygame que utiliza algoritmo de pinhole fotográfico para projetar um cubo 3D sofrendo rotações sobre a tela 2D.

Como utilizar

• É possível instalar a aplicação de duas formas:
  • Clonagem do repositório utilizando o seguinte comando no terminal: git clone https://github.com/PedroPertusi/3d-Cube-Pygame-APS.
  • Ou baixar o arquivo zip desse repositório em Code > Download Zip. E descompactá-lo onde preferir.
• Em seguida, execute o comando: pip install -r requirements.txt no diretório principal do projeto clonado.
• Execute o programa com o seguinte comando: python demo.py

Modelo Matemático

O desafio desse projeto foi transformar um cubo com posições em 3D numa projeção em duas dimensões, que mantivesse sua forma mesmo com diversas transformações de rotação e expansão. A projeção do Cubo ocorreu por meio de Pinhole Fotográfico, técnica que consiste em posicionar uma pequena passagem de luz para gerar uma imagem no destino final, o anteparo. Na implementação, a projeção resultante do pinhole pode ser representada por uma matriz de transformação, gerada a partir da seguinte dedução matemática:

• (X0Z0 e XpZp): Posição objeto e projeção;
• Pinhole: Origem do plano;
• d: Distância entre pinhole e anteparo.

De acordo com a figura, é possível concluir que Zp = -d; O objeto e sua projeção geram o mesmo ângulo theta, em relação ao eixo vertical, e opostos pelo vértice. Assim, foi feita uma semelhança de triângulos para encontrar o valor de Xp.

$$ Tg\theta = \frac{X_0}{Z_0} = \frac{X_p}{Z_p} $$ $$ Xp = \frac{X_0 * Z_p}{Z_0} $$

Para evitar que houvesse divisão na matriz, substituiu-se a matriz por uma nova variável Wp.

$$ Wp = \frac{Z_0}{Z_p} = -\frac{Z_0}{d} $$

$$ X_0 = X_p * W_p $$

Podemos fazer esse mesmo processo, mas agora para Y em função de Z. Para encontrar:

$$ Y_0 = Y_p * W_p $$

Em seguida, podemos montar a matriz de projeção: T = Projeção @ X, sabendo:

$$ X = \begin{bmatrix} X_0 \\ Y_0 \\ Z_0 \\ 1 \end{bmatrix} T = \begin{bmatrix} X_pW_p \\ Y_pW_p \\ Z_p \\ W_p \end{bmatrix} $$

Como vimos que X0 = Xp * Wp, e Y0 = Yp * Wpa primeira e segunda linha da matriz projeção serão: [1,0,0,0] e [0,1,0,0], respectivamente. Sabemos que Y0 = -d, portanto, a terceira linha será: [0,0,-d,0]. Por fim, Wp = Y0/-d = -1/d a quarta linha será: [0,-1/d, 0].

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -d & 0\\ 0 & -1/d & 0 & 0\\ \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} X_0 \\ Y_0 \\ Z_0 \\ 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} X_pW_p \\ Y_pW_p \\ Z_p \\ W_p \end{bmatrix} $$

Concluindo, para finalmente encontrar os valores de Xp e Yp, basta divide-se as linhas 1 e 2 do vetor T por sua quarta linha: Xp*Wp/Wp = T[0]/T[2] e Yp*Wp/Wp = T[1]/T[2].

Implementação

• Inicialmente, foi feita a modelagem do cubo de aresta 1u por meio de uma matriz 4x8. Quando transposta, as linhas guardam as posições dos 8 vértices do Cubo, já as colunas 1,2,3 são as posições X,Y,Z, e a coluna restante é composta apenas de uns para auxiliar nas transformações futuras;
• Em seguida, foram aplicadas as transformações Rotação_X, Rotação_Y e Rotação_Z sobre o objeto, por meio de multiplicações matriciais: proj = rz @ ry @ rx @ objeto;
• Após isso, aplicou-se a matriz de projeção P: proj = P @ proj;
• Dividiu-se toda a matriz pela linha Wp, para encontrar os reais valores de destino da projeção. Lembrando, a dimensão Z pode agora ser descartada, pois essa será a dimensão perdida no processo de projeção 3D -> 2D.
• Por fim, houve uma etapa para acertar o posicionamento do cubo: Aumento de suas arestas em 200x e translação para o centro da tela.

Para criar o efeito de rotação do cubo, para cada frame, incrementa-se o ângulo theta para X, Y ou Z, de acordo com o input do usuário. Consequentemente, apresenta na tela a nova posição atualizada, assim, gerando movimento para o cubo.

Matrizes de Rotação:

$$ R_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \hspace{0.5in} R_y = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \hspace{0.5in} R_z = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & - \sin(\theta) & 0 & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Funcionalidades

Ação	Input
Zoom IN & OUT	Scroll
Rotacionar Eixo X	A, D
Rotacionar Eixo Y	W, S
Rotacionar Eixo Z	Z, X
Resetar Ângulo de Rotação	R