Add description for runge kutta method

bibliography.bib

@@ -101,6 +101,29 @@ @online{REDPIC
   url={https://github.com/fuodorov/redpic},
   urldate={2024-01-01}
 }
+@ARTICLE{2020SciPy,
+  author  = {Virtanen, Pauli and Gommers, Ralf and Oliphant, Travis E. and
+            Haberland, Matt and Reddy, Tyler and Cournapeau, David and
+            Burovski, Evgeni and Peterson, Pearu and Weckesser, Warren and
+            Bright, Jonathan and {van der Walt}, St{\'e}fan J. and
+            Brett, Matthew and Wilson, Joshua and Millman, K. Jarrod and
+            Mayorov, Nikolay and Nelson, Andrew R. J. and Jones, Eric and
+            Kern, Robert and Larson, Eric and Carey, C J and
+            Polat, {\.I}lhan and Feng, Yu and Moore, Eric W. and
+            {VanderPlas}, Jake and Laxalde, Denis and Perktold, Josef and
+            Cimrman, Robert and Henriksen, Ian and Quintero, E. A. and
+            Harris, Charles R. and Archibald, Anne M. and
+            Ribeiro, Ant{\^o}nio H. and Pedregosa, Fabian and
+            {van Mulbregt}, Paul and {SciPy 1.0 Contributors}},
+  title   = {{{SciPy} 1.0: Fundamental Algorithms for Scientific
+            Computing in Python}},
+  journal = {Nature Methods},
+  year    = {2020},
+  volume  = {17},
+  pages   = {261--272},
+  adsurl  = {https://rdcu.be/b08Wh},
+  doi     = {10.1038/s41592-019-0686-2},
+}
 @article{Logatchev2011,
 author = {Logatchev, Pavel and Malyutin, Dmitriy and Starostenko, A.},
 year = {2011},

main.tex

@@ -56,6 +56,7 @@
 
 \input{src/texts/introduction_kenv}
 \input{src/texts/envelope_equations}
+\input{src/texts/runge_kutta}
 \input{src/texts/simulation}
 \input{src/texts/genetic_envelope}
 \input{src/texts/conclusion_kenv}

src/texts/abbreviations.tex

@@ -3,4 +3,5 @@
 	\item PIC "--- particle-in-cell (частицы в ячейке)
 	\item KENV "--- Kapchinsky-Vladimirsky envelope code (код на основе уравнений Капчинского-Владимирского)
 	\item REDPIC "--- Relativistic difference scheme particle-in-cell code (код на основе релятивистской разностной схемы)
+	\item ОДУ "--- обыкновенное дифференциальное уравнение
 \end{enumerate}

src/texts/appendix_kenv_listing.tex

@@ -337,10 +337,10 @@
 \end{lstlisting}
 
 \begin{lstlisting}[language=python]
-from scipy.integrate import odeint
+from scipy.integrate import solve_ivp
 from scipy.misc import derivative
 
-def dXdz(X, z):
+def dXdz(z, X):
 
     x     = X[0]
     sigma_x = X[1]
@@ -376,20 +376,20 @@
 
 \begin{lstlisting}[language=python]
 def find_sigma_x(z):
-    X0 = [dadz, a, dbdz, b]
+    X0 = np.array([dadz, a, dbdz, b])
 
-    sol = odeint(dXdz, X0, z, rtol = 0.001)
-    sigma_x = sol[:, 1] # m
+    sol = solve_ivp(dXdz, t_span=[z[0],z[-1]], y0=X0, t_eval=z)
+    sigma_x = sol.y[1, :]
 
     return sigma_x # m
 \end{lstlisting}
 
 \begin{lstlisting}[language=python]
 def find_sigma_y(z):
-    X0 = [dadz, a, dbdz, b]
+    X0 = np.array([dadz, a, dbdz, b])
 
-    sol = odeint(dXdz, X0, z, rtol = 0.001)
-    sigma_y = sol[:, 3] # m
+    sol = solve_ivp(dXdz, t_span=[z[0],z[-1]], y0=X0, t_eval=z)
+    sigma_y = sol.y[3, :] # m
 
     return sigma_y # m
 \end{lstlisting}

src/texts/envelope_equations.tex

@@ -1,6 +1,7 @@
 \section{Уравнения огибающей для пучка}\label{sec:envelope_equation}
 В ускорительных комплексах используются соленоидальные и квадрупольные линзы, при этом преимущественно соленоидальные линзы расположены вместе с ускоряющими модулями, а квадрупольные линзы только в каналах разводки.
 Рассмотрим два случая: уравнение огибающей для аксиально-симметричного пучка в канале с соленоидальными линзами и уравнения огибающей для эллиптического пучка с фокусировкой квадрупольными линзами.
+Подробный вывод уравнений Капчинского-Владимирского приведен в приложении~А.
 
 \subsection{Уравнение огибающей для аксиально симметричного пучка в канале с соленоидальными линзами}\label{subsec:envelope_equation_solenoid}
 Движение аксиально-симметричного пучка в транспортном канале при наличии соленоидов может быть описано следующим уравнением~\ref{eq:envelope_axial}~\cite{Louson}:

src/texts/runge_kutta.tex

@@ -0,0 +1,52 @@
+\section{Вычислительная сложность основных алгоритмов}\label{sec:algorithms_kenv}
+Ядром кода KENV служит функция solve\_ivp из библиотеки scipy~\cite{2020SciPy} для решения дифференциальных уравнений Капчинского-Владимирского.
+Авторами данной библиотеки рекомендуется использовать метод Рунге-Кутта 4 порядка для решения дифференциальных уравнений.
+Рассмотрим точность этого метода.
+
+Листинг основных функций KENV с комментариями приведен в приложении~Б.
+
+\subsection{Метод Рунге-Кутта 4-го порядка}\label{subsec:runge_kutta_4}
+
+Метод Рунге-Кутта 4-го порядка является одним из наиболее широко используемых численных методов для решения обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).
+Основное его преимущество заключается в высокой точности и относительной простоте реализации.
+Этот метод позволяет найти приближенное решение ОДУ, не требуя аналитического интегрирования.
+
+Для дифференциального уравнения вида:
+\begin{equation}
+    \label{eq:diff_equation}
+    \frac{dy}{dx} = f(x, y),
+\end{equation}
+где $y = y(x)$ — искомая функция, метод Рунге-Кутта 4-го порядка определяет значение $y$ в точке $x + h$ через значение в точке $x$ с помощью следующих вычислений:
+\begin{align*}
+    \label{eq:runge_kutta}
+    k_1 &= h f(x, y), \\
+    k_2 &= h f\left(x + \frac{h}{2}, y + \frac{k_1}{2}\right), \\
+    k_3 &= h f\left(x + \frac{h}{2}, y + \frac{k_2}{2}\right), \\
+    k_4 &= h f(x + h, y + k_3), \\
+    y_{n+1} &= y_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4).
+\end{align*}
+
+Здесь $h$ — шаг по переменной $x$, а $y_{n+1}$ — приближенное значение функции $y$ в точке $x + h$.
+Величины $k_1$, $k_2$, $k_3$ и $k_4$ представляют собой промежуточные наклоны,
+которые используются для вычисления конечного наклона, по которому и определяется следующее значение функции.
+
+Этот метод обладает четвертым порядком точности, что означает, что ошибка на каждом шаге пропорциональна пятой степени шага $h$.
+Благодаря этому, метод Рунге-Кутта 4-го порядка обеспечивает высокую точность при решении дифференциальных уравнений, что делает его особенно полезным для задач, требующих высокой точности, таких как решение уравнения Капчинского-Владимирского для огибающей пучка.
+
+
+\subsection{Порядок точности метода Рунге-Кутта 4-го порядка}\label{subsec:accuracy_runge_kutta}
+
+Порядок точности численного метода определяет, насколько быстро уменьшается ошибка приближенного решения с уменьшением шага $h$.
+Для метода Рунге-Кутта 4-го порядка можно показать, что ошибка на каждом шаге пропорциональна $h^5$, а суммарная ошибка после $N$ шагов пропорциональна $h^4$, если $Nh = const$.
+Это делает метод чрезвычайно эффективным для задач, где требуется высокая точность.
+
+Для вывода порядка точности рассмотрим разложение Тейлора для функции $y(x+h)$:
+\begin{equation}
+    \label{eq:teilor_y}
+    y(x+h) = y(x) + hy'(x) + \frac{h^2}{2!}y''(x) + \frac{h^3}{3!}y'''(x) + \frac{h^4}{4!}y^{(4)}(x) + O(h^5).
+\end{equation}
+
+Сравнивая это с выражением для $y_{n+1}$, полученным в методе Рунге-Кутта, можно увидеть, что первые четыре члена совпадают, если функция $f(x, y)$ и её производные непрерывны и ограничены.
+Различие начинается с членов порядка $O(h^5)$, что указывает на то, что ошибка одного шага метода Рунге-Кутта 4-го порядка имеет порядок $h^5$.
+
+Однако, поскольку общая ошибка складывается из ошибок на каждом шаге, а количество шагов обратно пропорционально величине шага $h$, то есть $N \propto \frac{1}{h}$, общая ошибка метода пропорциональна $h^4$.