[LeetCode] 222. Count Complete Tree Nodes

[grandyang]

 

Given a complete binary tree, count the number of nodes.

Note:

Definition of a complete binary tree from Wikipedia:
In a complete binary tree every level, except possibly the last, is completely filled, and all nodes in the last level are as far left as possible. It can have between 1 and 2h nodes inclusive at the last level h.

Example:

Input: 
    1
   / \
  2   3
 / \  /
4  5 6

Output: 6

 

这道题给定了一棵完全二叉树，让我们求其节点的个数。很多人分不清完全二叉树和满二叉树的区别，下面让我们来看看维基百科上对二者的定义：

完全二叉树 (Complete Binary Tree)：

A Complete Binary Tree （CBT) is a binary tree in which every level, except possibly the last, is completely filled, and all nodes are as far left as possible.

对于一颗二叉树，假设其深度为d（d>1）。除了第d层外，其它各层的节点数目均已达最大值，且第d层所有节点从左向右连续地紧密排列，这样的二叉树被称为完全二叉树；

换句话说，完全二叉树从根结点到倒数第二层满足完美二叉树，最后一层可以不完全填充，其叶子结点都靠左对齐。

完美二叉树 (Perfect Binary Tree)：

A Perfect Binary Tree(PBT) is a tree with all leaf nodes at the same depth. All internal nodes have degree 2.

二叉树的第i层至多拥有  个节点数；深度为k的二叉树至多总共有  个节点数，而总计拥有节点数匹配的，称为“满二叉树”；

完满二叉树 (Full Binary Tree):

A Full Binary Tree (FBT) is a tree in which every node other than the leaves has two children.

换句话说，所有非叶子结点的度都是2。（只要你有孩子，你就必然是有两个孩子。）

 

其实这道题的最暴力的解法就是直接用递归来统计结点的个数，根本不需要考虑什么完全二叉树还是完美二叉树，递归在手，遇 tree 不愁。直接一行搞定碉堡了，这可能是我见过最简洁的 brute force 的解法了吧，参见代码如下：

 

解法一：

class Solution {
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        return root ? (1 + countNodes(root->left) + countNodes(root->right)) : 0;
    }
};

 

我们还是要来利用一下完全二叉树这个条件，不然感觉对出题者不太尊重。通过上面对完全二叉树跟完美二叉树的定义比较，可以看出二者的关系是，完美二叉树一定是完全二叉树，而完全二叉树不一定是完美二叉树。那么这道题给的完全二叉树就有可能是完美二叉树，若是完美二叉树，节点个数很好求，为2的h次方减1，h为该完美二叉树的高度。若不是的话，只能老老实实的一个一个数结点了。思路是由 root 根结点往下，分别找最靠左边和最靠右边的路径长度，如果长度相等，则证明二叉树最后一层节点是满的，是满二叉树，直接返回节点个数，如果不相等，则节点个数为左子树的节点个数加上右子树的节点个数再加1(根节点)，其中左右子树节点个数的计算可以使用递归来计算，参见代码如下：

 

解法二：

class Solution {
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        int hLeft = 0, hRight = 0;
        TreeNode *pLeft = root, *pRight = root;
        while (pLeft) {
            ++hLeft;
            pLeft = pLeft->left;
        }
        while (pRight) {
            ++hRight;
            pRight = pRight->right;
        }
        if (hLeft == hRight) return pow(2, hLeft) - 1;
        return countNodes(root->left) + countNodes(root->right) + 1;
    }
};

 

我们也可以全用递归的形式来解，如下所示：

 

解法三：

class Solution {
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        int hLeft = leftHeight(root);
        int hRight = rightHeight(root);
        if (hLeft == hRight) return pow(2, hLeft) - 1;
        return countNodes(root->left) + countNodes(root->right) + 1;
    }
    int leftHeight(TreeNode* root) {
        if (!root) return 0;
        return 1 + leftHeight(root->left);
    }
    int rightHeight(TreeNode* root) {
        if (!root) return 0;
        return 1 + rightHeight(root->right);
    }
};

 

这道题还有一个标签是 Binary Search，但是在论坛上看了一圈下来，并没有发现有经典的二分搜索的写法，只找到了下面这个类似二分搜索的解法，感觉应该不算严格意义上的二分搜素法吧，毕竟 left，right 变量和 while 循环都没有，只是隐约有点二分搜索法的影子在里面，即根据条件选左右分区。首先我们需要一个 getHeight 函数，这是用来统计当前结点的左子树的最大高度的，因为一直走的是左子结点，若当前结点不存在，则返回 -1。我们对当前结点调用 getHeight 函数，得到左子树的最大高度h，若为 -1，则说明当前结点不存在，直接返回0。否则就对右子结点调用 getHeight 函数，若返回值为 h-1，说明左子树是一棵完美二叉树，则左子树的结点个数是 2^h-1 个，再加上当前结点，总共是 2^h 个，即 1<<h，此时再加上对右子结点调用递归函数的返回值即可。若对右子结点调用 getHeight 函数的返回值不为 h-1，说明右子树一定是完美树，且高度为 h-1，则总结点个数为 2^(h-1)-1，加上当前结点为 2^(h-1)，即 1<<(h-1)，然后再加上对左子结点调用递归函数的返回值即可。这样貌似也算一种二分搜索法吧，参见代码如下：

 

解法四：

class Solution {
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        int res = 0, h = getHeight(root);
        if (h < 0) return 0;
        if (getHeight(root->right) == h - 1) return (1 << h) + countNodes(root->right);
        return (1 << (h - 1)) + countNodes(root->left);
    }
    int getHeight(TreeNode* node) {
        return node ? (1 + getHeight(node->left)) : -1;
    }
};

 

我们也可以写成迭代的形式，用一个 while 循环，感觉好处是调用 getHeight 函数的次数变少了，因为开头计算的高度h可以一直用，每下一层后，h自减1即可，参见代码如下：

 

解法五：

class Solution {
public:
    int countNodes(TreeNode* root) {
        int res = 0, h = getHeight(root);
        if (h < 0) return 0;
        while (root) {
            if (getHeight(root->right) == h - 1) {
                res += 1 << h;
                root = root->right;
            } else {
                res += 1 << (h - 1);
                root = root->left;
            }
            --h;
        }
        return res;
    }
    int getHeight(TreeNode* node) {
        return node ? (1 + getHeight(node->left)) : -1;
    }
};

 

Github 同步地址：

#222

 

类似题目：

Closest Binary Search Tree Value

 

参考资料：

https://leetcode.com/problems/count-complete-tree-nodes/

https://leetcode.com/problems/count-complete-tree-nodes/discuss/61958/Concise-Java-solutions-O(log(n)2)

https://leetcode.com/problems/count-complete-tree-nodes/discuss/61953/Easy-short-c%2B%2B-recursive-solution

https://leetcode.com/problems/count-complete-tree-nodes/discuss/61948/Accepted-Easy-Understand-Java-Solution

 

LeetCode All in One 题目讲解汇总(持续更新中...)

[butterfly0510]

思路是分别找出以当前节点为根节点的左子树和右子树的高度并对比，如果相等，则说明是满二叉树，直接返回节点个数

这个地方有点不理解: 这里比较的其实不是左子树和右子树的高度吧? 比较的其实是由 root 往下, 最靠左边和最靠右边的路径长度, 如果长度相等, 则证明二叉树最后一层节点是满的, thus the complete binary tree is a perfect binary tree, which means the number of node is pow(2, height) - 1.

[grandyang]

思路是分别找出以当前节点为根节点的左子树和右子树的高度并对比，如果相等，则说明是满二叉树，直接返回节点个数

这个地方有点不理解: 这里比较的其实不是左子树和右子树的高度吧? 比较的其实是由 root 往下, 最靠左边和最靠右边的路径长度, 如果长度相等, 则证明二叉树最后一层节点是满的, thus the complete binary tree is a perfect binary tree, which means the number of node is pow(2, height) - 1.

已修改，多谢指出～