cube-rotato

Pedro Antônio Silva e Gustavo Lindenberg Pacheco

https://github.com/gustavolp1/cube-rotato

Como instalar e executar

git clone git@github.com:gustavolp1/cube-rotato.git

(Entre no diretório do repositório)

pip install -r "requirements.txt"

python cube-rotato.py

Como usar o programa

Para inicializar o cubo, apenas rode o arquivo "cube-rotato.py" na sua IDE de preferência. Uma vez com o programa aberto, você pode usar os seguintes comandos no teclado:

W/S - Gira o cubo no eixo X, em sentidos opostos dependendo do botão;

A/D - Gira o cubo no eixo Y, em sentidos opostos dependendo do botão;

Q/E - Gira o cubo no eixo Z, em sentidos opostos dependendo do botão;

I/O - Aumentam e diminuem a distância focal, respectivamente;

Roda do mouse - Aumenta ou diminui a distância focal;

Espaço - Aumenta o ângulo do cubo em todos os eixos simultaneamente enquanto é apertado.

Modelo Matemático

Antes de começarmos a elaborar equações, precisamos antes definir como repesentaremos os pontos do nosso cubo, além de definir quais alterações serão necessárias para representá-lo em 2D e realizar rotações.

• Definindo os Pontos:

Primeiro definimos um cubo de dimensões arbitrárias nos eixos x, y e z, além de uma dimensão adicional, w representada por uma linha de 1s.

$$ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} $$

Nosso objetivo será criar uma matriz generalizada T que faz todas as transformações necessárias nos pontos ao realizarmos uma multiplicação matricial. Isso será feito a seguir.

• Definindo a transformação

  Note que:

Este será o formato dos pontos:

$$ P = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{bmatrix} $$

• A dimensão w é usada somente para cálculos. Ela não representa uma coordenada em nosso plano. Seu uso é feito da seguinte forma:

$$ P = \begin{bmatrix} x/w \\ y/w \\ z \\ w \end{bmatrix} $$

A matriz T que será obtida até o final multiplicará com cada ponto.

$$ PontoFinal = TP $$

• Rotação:

O primeiro componente de nossa matriz T será o componente de rotação, constituido de três matrizes que representam uma rotação de $\theta$ graus nos eixos x, y e z.

Todas foram previamente adaptadas para rotacionar vetores de três dimensões e comportar uma dimensão a mais, que guarda uma variável de ajuste comumente usada para representação de objetos tridimensionais (mais detalhes na explicação da matriz T).

O ângulo $\theta$ é configurado manualmente no código para cada uma dessas matrizes, permitindo rotação em qualquer eixo.

$$ R_x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & -\sin(\theta) & 0 \\ 0 & \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \hspace{0.5in} R_y = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & 0 & \sin(\theta) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ -\sin(\theta) & 0 & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \hspace{0.5in} R_z = \begin{bmatrix} \cos(\theta) & - \sin(\theta) & 0 & 0 \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Por fim, as multiplicamos entre si para obtermos uma única matriz de rotação para todas as dimensões envolvidas:

$$ R = R_xR_yR_z $$

• Translação em Z (Profundidade):

O segundo componente será uma matriz comum de translação em Z, que definirá a distância aparente do cubo em relação à tela do computador, visto que Z será nosso eixo de profundidade:

$$ P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & Dz \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

Com Dz representando o deslocamento no eixo z por iteração do código/comando. Este componente estará multiplicando a matriz de Rotação diretamente, visto que altera a visualização 3D emulada dos pontos.

• Projeção:

A matriz de projeção será a responsável por projetar nossos pontos tridimensionais em duas dimensões representando uma transformação de 3D para 2D. Para criar uma matriz como essa, precisamos antes entender como e onde essa transformação já ocorre.

O exemplo que utilizaremos para identificar essa matriz será o de um "pin-hole" um mecanismo/técnica de projeção utilizada na criação de imagens de cameras, telas de cinema, etc...

A base do funcionamento de um pin-hole se dá de forma trigonométrica, significando que inicialmente usaremos equações de formato padrão.

• Neste gráfico, representamos o pin-hole pela origem.
• Estamos levando em conta duas dimensões do objeto ($X_0,Y_0$) e uma no anteparo (linha em $X_p$)
• Por conta disso podemos usar trigonometria simples para obter formulas.
• $d$ representa a distância entre anteparo e origem com $\theta$ sendo o angulo usado no calculo da semelhança de triângulos.

Com isso, obtemos as seguintes fórmulas para nosso sistema/matriz:

Por semelhança de triângulos temos que:

$$ \tan(\theta) = Y_p/X_p = Y_0 /X_0 $$

Elaborando mais essa fórmula, para isolar $Y_0$ e achar o fator que multiplica $Y_p$:

$$ Y_p * X_0/X_p = Y_0 $$

Como queremos passar esses calculos para uma matriz, precisamos colocar essa função em um formato com apenas somas ou multiplicações simples - atribuimos o valor W para esse fim, trocando a divisão por ele.

$$ X_0/X_p = W $$

Assim, a formula que usaremos será esta:

$$ Y_p * W = Y_0 $$

Como consequência dessa troca por $W$, precisamos colocar a definição desse valor dentro de nossa matriz para depois dividirmos $Y_p$ por ele e obtermos o ponto correto. Com $X_p = -d$.

$$ X_0 /-d = W $$

Com essa elaboração feita e sabendo que $Xp$ equivale a $-d$ para todo $Y$.

$$ X_p = -d $$

Podemos então gerar uma matriz com base nessas três funções, com todos os pontos recebendo coordendas homogenêas para podermos realizar o cálculo de W:

$$ \begin{bmatrix} Y_pW \\ X_p \\ W \end{bmatrix} \hspace{0.5in} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -d \\ 0 & -1/d & 0 \end{bmatrix} \hspace{0.5in} \begin{bmatrix} Y_0 & ... & Y_n \\ X_0 & ... & X_n \\ 1 & ... & 1 \end{bmatrix} $$

$$ P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -d \\ 0 & -1/d & 0 \end{bmatrix} $$

Para transferir para 3D, primeiro vamos trabalhar esse mesmo cálculo em 2D para os eixos $X$ e $Z$ ao invès de $X$ e $Y$ e ao fim do processo teremos:

$$ \begin{bmatrix} Z_pW \\ X_p \\ W \end{bmatrix} \hspace{0.5in} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -d \\ 0 & -1/d & 0 \end{bmatrix} \hspace{0.5in} \begin{bmatrix} Z_0 \\ X_0 \\ 1 \end{bmatrix} $$

Note que $X_p$ continua sendo equivalente a $-d$ e que W também não muda, portanto podemos adicionar a seguinte equação ao sistema:

$$ Z_pW = Z_0 $$

Com isso em mente, basta colocar o cálculo de $Z$ na formula:

$$ \begin{bmatrix} Y_pW \\ Z_pW \\ X_p \\ W \end{bmatrix} \hspace{0.5in} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -d \\ 0 & 0 &-1/d & 0 \end{bmatrix} \hspace{0.5in} \begin{bmatrix} Y_0 \\ Z_0 \\ X_0 \\ 1 \end{bmatrix} $$

Assim obtivemos a matrix de projeção 3D para 2D que funciona para n pontos no plano 3D.

$$ P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -d \\ 0 & 0 & -1/d & 0 \end{bmatrix} $$

• Traslação em x e y:

Depois de aplicada a projeção para o plano 2D, ou seja, a tela, basta trasladar nosso cubo para uma posição onde ele possa ser visualizado melhor, através de uma matriz de traslação comum redimensionada para 3 dimensões e com uma dimensão extra em padrão identidade.

$$ T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & H/2 \\ 0 & 1 & 0 & W/2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

• Matriz T:

Com todas as matrizes anteriores, obtemos uma matriz de transformação T quando as multiplicamos na ordem correta. Ou seja:

$$ T = T_xPT_zR $$

Que rotaciona, distância/aproxima e translada nosso cubo de uma vez!