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김준원 9월 개인과제

_posts/2023-09-23-tree-compression.md

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+layout: post
+title: '트리 압축의 다른 접근'
+author: junis3
+date: 2023-09-23
+tags: []
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+## 문제 상황
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+아래의 문제 상황은 [BOJ 16216번 문제](https://www.acmicpc.net/problem/16216)에서 만나볼 수 있다.
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+정점이 가중치가 없는 트리 $T$가 주어진다. $T$는 $N$개의 정점과 $N-1$개의 간선을 가지고 있다. 정점들 가운데, 출발 정점 $v$와, 방문하고 싶은 $K$개의 정점들 $u_1, \cdots, u_K$이 주어진다. 정점 $v$에서 출발해서, $u_1, \cdots, u_K$ 중 1개, 2개, ..., K개를 방문하는 가장 짧은 경로의 길이를 각각 구하여라.
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+아래부터 이 문제에 대한 풀이로 개념에 대한 설명을 시작하려 하니, 아직 이 문제에 대해 고민해보지 않았다면 (스포일러를 피하고 싶다면) 스크롤을 내리지 않기를 권한다. 아래 단락에 서술할 풀이 자체도 재미있다.
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+## $O(NK)$ 발상
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+이 문제에 흔히 알려진 "트리 압축" 기법을 사용하기 위해서는 아래의 사고 과정을 거쳐와야 한다. 아래의 풀이로 이 문제를 $O(NK)$에 풀 수 있다.
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+- 정점 $v$를 트리의 루트로 두고 생각하자.
+- 문제에서 찾는 경로 ($K$개의 정점들 중 $i$ ($1 \le i \le K$)개를 방문하는 경로)는 정점 $v$에서 시작하는 DFS와 비슷한 형태가 될 것이다.
+- 구체적으로, 어떤 서브트리에 대해서, 이 서브트리를 방문하는 횟수는 최대 1번이다. 어떤 서브트리에 들어갔다가 나오는 행위를 두 번 이상 반복하지 않는다는 의미이다.
+- 어떤 정점 $x$의 자녀 정점 $c_1, \cdots, c_{\mathrm{childs}(x)}$에 대해, 각 $c_i$를 루트로 하는 서브트리에 대한 문제의 답은 모두 독립이다. 즉 트리 DP로 문제를 풀 수 있다.
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+이제 다음과 같이 DP 배열과 점화식을 정의할 수 있다. 마지막에 출발 정점으로 돌아올 필요가 없다는 조건 때문에, 두 개의 DP 배열을 정의해야 한다.
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+- $\mathrm{dp}_1(x, i)$ := 정점 $x$에서 출발해서, $x$를 루트로 하는 서브트리 안에서 찾고 싶은 정점 $i$개를 방문하고 $x$로 돌아오는 최단 경로의 길이
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+- $\mathrm{dp}_2(x, i)$ := 정점 $x$에서 출발해서, $x$를 루트로 하는 서브트리 안에서 찾고 싶은 정점 $i$개를 방문하는 ($x$로 돌아올 필요는 없음!) 최단 경로의 길이
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+$\mathrm{dp}(c_k, j_k)$ ($1 \le k \le \mathrm{childs}(x)$)의 값들을 이용해 $\mathrm{dp}(x, i)$의 값을 구할 수 있다. $j_1 + \cdots + j_{\mathrm{childs}(x)} = i$일 때에, 각 자식 정점을 루트로 하는 서브트리에서 만들어진 경로들을 합쳐서 총 $i$개의 '방문하고 싶은 정점'을 방문하는 하나의 경로를 만들 수 있게 된다. 자식 정점을 하나씩 방문하면서, 이들의 $\mathrm{dp}$ 값들을 $x$의 $\mathrm{dp}$ 배열에 업데이트해주는 방법으로 진행하게 된다. $k$번째 자식 정점 $c_k$를 방문했을 때, 다음과 같은 점화식을 통해 $\mathrm{dp}$ 배열을 업데이트하게 된다. (아래 식에는 $x$가 '방문하고 싶은 정점'일 때의 처리와 여러 가지 예외 케이스들에 대한 처리가 생략되어 있다)
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+- $\mathrm{dp}_1 (x, i+j) \Leftarrow \mathrm{dp}_1(x, i) + \mathrm{dp}_1(c_{k}(x), j) + \cdots$
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+- $\mathrm{dp}_2 (x, i+j) \Leftarrow \min(\mathrm{dp}_1(x, i) + \mathrm{dp}_2(c_k(x), j), \mathrm{dp}_2(x, i) + \mathrm{dp}_1(c_k(x), j)) + \cdots$
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+이와 같이 각 정점 $x$의 자식 정점들을 순회하면서 $\mathrm{dp}(x, i)$ ($0 \le i$, $i$는 $x$를 루트로 하는 서브트리의 '방문하고 싶은 정점'의 개수 이하) 들을 모두 채우는 데 드는 시간은 **모두 합쳐서** $O(NK)$가 된다. 각 정점을 방문할 때마다 2중 반복문을 돌려야 하므로 그렇게 되지 않을 것 같지만 놀랍게도 그건 사실이다. 이에 대한 증명도 재미있으니, 대략적으로 한 번 수행해보기 바란다.
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+## 트리 압축
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+위 풀이는 DP 풀이이므로, 본질적으로 모든 정점에 대해 $\mathrm{dp}$ 배열 값을 구해야 한다. 채워야 하는 값의 개수가 최대 $O(NK)$개이므로, $O(NK)$ 미만의 시간에 문제를 푸는 것은 일견 불가능해 보인다. 이를 개선하는 데에 트리 압축을 사용할 수 있다.
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+우리는 전체 $N$개의 정점들 중 $K$개의 정점에만 관심이 있다. 나머지 정점들은 트리에서 '생략'해도 된다. 간선들을 합치는 방법으로, 트리에서 $K$개의 정점의 위상을 그대로 유지하면서 $O(K)$개의 정점만을 남길 수 있으며, 이 기법을 '트리 압축' 또는 virtual tree, auxiliary tree 등의 이름으로 부른다. 다음 두 조건 중 하나를 만족하는 정점을 남긴다.
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+- 자기 자신이 **관심 있는** 정점이다.
+- 자식 정점들 중 서로 다른 2개 이상이 다음을 만족한다: 이 정점을 루트로 하는 서브트리 안에 **관심 있는** 정점이 포함되어 있다.
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+트리의 오일러 회로(DFS와 동일하다)를 응용한 방법으로 이를 수행하는 방법은 [이 게시글](https://infossm.github.io/blog/2021/09/21/virtual-tree/)에 자세히 설명되어 있다.
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+'방문하고 싶은 $K$개의 정점'들에 대해 트리 압축을 수행하면 입력 트리의 정점의 개수가 $O(K)$로 줄어들며, 이제 위에 서술한 알고리즘을 $O(K^2)$에 수행할 수 있게 된다. 이 방법으로 시간 안에 문제의 답을 구할 수 있게 된다.
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+하지만, 사실 이와 같은 개념을 이해하고 있기만 하다면, 트리 압축을 명시적으로 수행할 필요가 없음을 알게 된다. 원래의 트리에서 동일한 DP를 수행한다고 하자. 압축된 트리에서 사라질 정점 (위 조건을 만족하지 **않는** 정점)의 DP 배열은, 자식 정점들 중 하나의 DP 배열과 같다. 따라서, 이 때는 해당 배열의 레퍼런스(포인터)를 복사하는 방법으로, 추가적인 시간을 들이지 않고 해당 정점의 DP 배열을 채울 수 있다. 트리 압축 전처리와 본질적으로는 동일한 방법이지만, 자주 등장하는 small-to-large 최적화와 유사한 방법으로 같은 효과를 낼 수 있다. 시간 복잡도는 $O(N+K^2)$이다.
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+## 유사한 문제
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+[BOJ 20535](https://www.acmicpc.net/problem/20535)는 트리 압축을 이용해 풀 수 있는 유명한 연습문제이다. 이 문제에서는 '관심 있는' 정점이 쿼리에 따라 바뀌고, 심지어 쿼리들의 '관심 있는' 정점의 합집합의 크기는 최대 100만이므로, 트리 압축을 전처리로 수행할 수 없다. 이 문제에서도 트리 압축을 동적으로 또는 암묵적으로 수행해야 하는데, 여기서는 트리의 오일러 회로를 이용한 트리 압축의 정의가 빛을 발한다.
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+쿼리로 $K$개의 정점 $q_1, \cdots, q_K$가 주어졌다고 하자. 이 쿼리에서 고려해야 하는 트리는, 이들 $K$개의 정점들과, $q_i$와 $q_j$의 LCA들만 남긴 트리이다. $K$개의 정점을 '오일러 투어 순서' (원래 트리의 중위 순회 순서)로 정렬하고 나면, $q_1$과 $q_K$의 LCA가 전체 정점들의 LCA와 같음을 알 수 있다. 전체 문제의 답을 $f(1, K)$ (i.e. $q_{1..K}$에 대한 답)이라고 두면, 전체의 LCA ($LCA(q_1, q_K)$)가 답이 되지 **않는** 쌍의 개수를 재귀적으로 구해 내려가는 방법으로 $O(K)$에 쿼리에 대한 답을 구할 수 있다.